Tập hợp tất cả các giá trị của m để hàm số \(y = - {x^3} + 2m{x^2} - \left( {m + \dfrac{1}{3}} \right)x - 4\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) là
Ta có:
\(\begin{array}{l}y' = - 3{x^2} + 4mx - \left( {m + \dfrac{1}{3}} \right) < 0\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \Delta ' \le 0\\ \Leftrightarrow 4{m^2} - 3\left( {m + \dfrac{1}{3}} \right) \le 0 \Leftrightarrow 4{m^2} - 3m - 1 \le 0\\ \Leftrightarrow - \dfrac{1}{4} \le m \le 1\end{array}\)
Tập hợp tất cả các giá trị \(m\) để hàm số \(y = 3\sin 2x - 4\cos 2x - mx + 2020\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) là
Bước 1: Tính y’.
\(y' = 6\cos 2x + 8\sin 2x - m\)
Bước 2: Tìm m
Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\)
\( \Leftrightarrow y' \ge 0\forall x \in \mathbb{R}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 6\cos 2x + 8\sin 2x - m \ge 0\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow m \le 6\cos 2x + 8\sin 2x\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow m \le \mathop {\min }\limits_\mathbb{R} \left( {6\cos 2x + 8\sin 2x} \right)\\ \Leftrightarrow m \le - 10\end{array}\)
Vì \(6\cos 2x + 8\sin 2x\) \( = 10.\left( {\dfrac{3}{5}\cos 2x + \dfrac{4}{5}\sin 2x} \right)\)
\( = 10.\sin \left( {2x + \alpha } \right) \le - 10\)
Dấu “=” xảy ra khi \(6\cos 2x + 8\sin 2x = - 10\) \( \Leftrightarrow \sin \left( {2x + \alpha } \right) = - 1\)
