Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Ta có:

$\begin{array}{l}y' =  - 3{x^2} + 4mx - \left( {m + \dfrac{1}{3}} \right) < 0\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \Delta ' \le 0\\ \Leftrightarrow 4{m^2} - 3\left( {m + \dfrac{1}{3}} \right) \le 0 \Leftrightarrow 4{m^2} - 3m - 1 \le 0\\ \Leftrightarrow  - \dfrac{1}{4} \le m \le 1\end{array}$

Bước 1: Tính y’.

$y' = 6\cos 2x + 8\sin 2x - m$

Bước 2: Tìm m

Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$

$\Leftrightarrow y' \ge 0\forall x \in \mathbb{R}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 6\cos 2x + 8\sin 2x - m \ge 0\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow m \le 6\cos 2x + 8\sin 2x\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow m \le \mathop {\min }\limits_\mathbb{R} \left( {6\cos 2x + 8\sin 2x} \right)\\ \Leftrightarrow m \le  - 10\end{array}$

Vì $6\cos 2x + 8\sin 2x$ $= 10.\left( {\dfrac{3}{5}\cos 2x + \dfrac{4}{5}\sin 2x} \right)$

$= 10.\sin \left( {2x + \alpha } \right) \le  - 10$

Dấu “=” xảy ra khi $6\cos 2x + 8\sin 2x =  - 10$  $\Leftrightarrow \sin \left( {2x + \alpha } \right) =  - 1$