Hai quả cầu có khối lượng 200kg đặt cách nhau 100m. Lực hấp dẫn giữa chúng bằng:
Ta có, lực hấp dẫn giữa hai quả cầu đó là: \({F_{h{\rm{d}}}} = G\dfrac{{Mm}}{{{R^2}}} = G\dfrac{{{M^2}}}{{{R^2}}} = 6,{67.10^{^{ - 11}}}.\dfrac{{{{200}^2}}}{{{{100}^2}}} = 2,{668.10^{ - 10}}N\)
Hai vật cách nhau một khoảng ${r_1}$ lực hấp dẫn giữa chúng là ${F_1}$. Để lực hấp dẫn tăng lên 4 lần thì khoảng cách ${r_2}$ giữa hai vật bằng bao nhiêu?
Xét tỉ lệ: \(\dfrac{{{F_1}}}{{{F_2}}} = \dfrac{{G\dfrac{{Mm}}{{{r_1}^2}}}}{{G\dfrac{{Mm}}{{{r_2}^2}}}} = \dfrac{{{r_2}^2}}{{{r_1}^2}} = \dfrac{1}{4}\)
\( \to \dfrac{{{r_2}^2}}{{{r_1}^2}} = \dfrac{1}{4}\)
\( \to {r_2} = \dfrac{1}{2}{r_1}\)
Biết bán kính của Trái Đất là R. Lực hút của Trái Đất đặt vào một vật khi vật ở mặt đất là 45N, khi lực hút là 5N thì vật ở độ cao h=?
+ Khi vật ở mặt đất có trọng lượng: \(P = G\dfrac{{Mm}}{{{R^2}}} = 45N\)
+ Khi vật được lên độ cao h, trọng lượng của vật: \(P' = G\frac{{Mm}}{{{{(R + h)}^2}}} = 5N\)
Ta có: \(\dfrac{p}{{p'}} = \dfrac{{{{(R + h)}^2}}}{{{R^2}}} = \dfrac{{45}}{5} = 9\)
\( \to R + h = 3R\)
\( \to h = 2R\)
Gia tốc trọng trường tại mặt đất là ${g_0} = 9,8m/{s^2}$. Gia tốc trọng trường ở độ cao $h = \dfrac{R}{2}$ (với R- bán kính của Trái Đất ) có giá trị là:
+ Gia tốc trọng trường tại mặt đất là : \(g = G\dfrac{M}{{{R^2}}} = 9,8m/{s^2}\)
+ Gia tốc trọng trường tại nơi có độ cao h là :
\(g' = G\dfrac{M}{{{{(R + h)}^2}}} = G\dfrac{M}{{{{(R + \dfrac{R}{2})}^2}}} \\= G\dfrac{M}{{\dfrac{9}{4}{R^2}}} = \dfrac{4}{9}g = \dfrac{4}{9}.9,8 = 4,36m/{s^2}\)
Cho biết khoảng cách giữa tâm Mặt Trăng và tâm Trái Đất là ${38.10^7}m$; khối lượng Mặt Trăng và Trái Đất tương ứng là $7,{37.10^{22}}kg$ và ${6.10^{24}}kg$; hằng số hấp dẫn $G = 6,{67.10^{ - 11}}N.{m^2}/k{g^2}$. Lực hấp dẫn giữa Trái Đất và Mặt Trăng có độ lớn là:
Lực hấp dẫn giữa Trái Đất và Mặt Trăng có độ lớn là:
\({F_{h{\rm{d}}}} = G\dfrac{{Mm}}{{{R^2}}} \\= 6,{67.10^{ - 11}}.\dfrac{{7,{{37.10}^{22}}{{.6.10}^{24}}}}{{{{({{38.10}^7})}^2}}}\\ = 2,{04.10^{20}}N\)
Coi khoảng cách trung bình giữa tâm Trái Đất và tâm Mặt Trăng gấp \(60\) lần bán kính Trái Đất; khối lượng Mặt Trăng nhỏ hơn khối lượng Trái Đất \(81\) lần. Xét vật M nằm trên đường thẳng nối tâm Trái Đất và tâm Mặt Trăng mà ở đó có lực hấp dẫn của Trái Đất và của Mặt Trăng cân bằng nhau. So với bán kính Trái Đất, khoảng cách từ M đến tâm Trái Đất gấp
Ta có:
- Trái Đất: $\left\{ \begin{array}{l}
M\\
R
\end{array} \right.$
- Mặt Trăng có khối lượng: $M' = \dfrac{M}{{81}}$
Gọi M là điểm mà tại đó lực hấp dẫn của Mặt Trăng tới điểm đó cân bằng với lực hấp dẫn của Trái Đất tới điểm đó.
Khoảng cách từ tâm Trái Đất đến điểm đó là \(h\)
=> Khoảng cách từ điểm đó tới Mặt Trăng là: $60{\rm{R}} - h$
Áp dụng biểu thức tính lực hấp dẫn, ta có:
+ Lực hấp dẫn do Trái Đất tác dụng lên điểm đó: ${F_{T{\rm{D}}}} = G\dfrac{{Mm}}{{{h^2}}}$
+ Lực hấp dẫn do Mặt Trăng tác dụng lên điểm đó: ${F_{MT}} = G\dfrac{{Mm}}{{81{{\left( {60{\rm{R}} - h} \right)}^2}}}$
Ta có:
$\begin{array}{l}
{F_{T{\rm{D}}}} = {F_{MT}} \leftrightarrow G\dfrac{{Mm}}{{{h^2}}} = G\dfrac{{Mm}}{{81{{\left( {60{\rm{R}} - h} \right)}^2}}}\\
\leftrightarrow 81{\left( {60{\rm{R}} - h} \right)^2} = {h^2}\\
\to 9(60{\rm{R}} - h) = h\\
\to h = 54{\rm{R}}
\end{array}$
Biết sao Hỏa có bán kính bằng 0,53 bán kính Trái Đất và có khối lượng bằng 0,1 lần khối lượng Trái Đất. Một vật có gia tốc rơi tự do ở trên mặt đất là $9,8m/{s^2}$, nếu vật này rơi tự do trên sao Hỏa thì gia tốc rơi là
Từ đầu bài, ta có:
$\left\{ \begin{array}{l}
{M_{SH}} = 0,1{M_{T{\rm{D}}}}\\
{R_{SH}} = 0,53{{\rm{R}}_{TD}}
\end{array} \right.$
và gia tốc trọng trường trên mặt đất $g = 9,8m/{s^2}$
Áp dụng biểu thức tính gia tốc trọng trường ta có:
+ Gia tốc trọng trường trên mặt đất: \(g = G\dfrac{M}{{R_{T{\rm{D}}}^2}}{\rm{ }}\left( 1 \right)\)
+ Gia tốc trọng trường trên sao Hỏa: ${g_{SH}} = G\dfrac{{{M_{SH}}}}{{R_{SH}^2}}{\rm{ }}\left( 2 \right)$
Lấy $\frac{{\left( 1 \right)}}{{\left( 2 \right)}}$ ta được:
$\begin{array}{l}
\dfrac{g}{{{g_{SH}}}} = \dfrac{{{M_{T{\rm{D}}}}R_{SH}^2}}{{{M_{SH}}R_{T{\rm{D}}}^2}} = \dfrac{{{M_{T{\rm{D}}}}.0,{{53}^2}R_{T{\rm{D}}}^2}}{{0,1{M_{T{\rm{D}}}}.R_{T{\rm{D}}}^2}} = 2,809\\
\to {g_{SH}} = \dfrac{g}{{2,809}} = \dfrac{{9,8}}{{2,809}} = 3,49m/{s^2}
\end{array}$
Tính độ cao mà tại đó gia tốc trọng trường là $9,56m/{s^2}$?
Ta có:
+ Gia tốc trọng trường tại mặt đất: $g = G\dfrac{M}{{{R^2}}} = 9,83m/{s^2}{\rm{ }}\left( 1 \right)$
+ Gia tốc trọng trường tại độ cao h: ${g_h} = G\dfrac{M}{{{{\left( {R + h} \right)}^2}}} = 9,65m/{s^2}{\rm{ }}\left( 2 \right)$
Lấy $\dfrac{{\left( 1 \right)}}{{\left( 2 \right)}}$ta được:
$\begin{array}{l}
\dfrac{g}{{{g_h}}} = \dfrac{{{{\left( {R + h} \right)}^2}}}{{{R^2}}} = \dfrac{{9,83}}{{9,65}} = 1,0187\\
\\\to h = 9,{3.10^{ - 3}}R \\= 9,{3.10^{ - 3}}.6400 = 59,5km
\end{array}$
Ở độ cao nào so với mặt đất trọng lượng của vật bằng $\dfrac{2}{3}$ lần trọng lượng của vật ở trên mặt đất?
Ta có:
+ Trọng lượng của vật ở mặt đất: $P = G\dfrac{{mM}}{{{R^2}}}$
+ Trọng lượng của vật ở độ cao h: ${P_h} = G\dfrac{{mM}}{{{{\left( {R + h} \right)}^2}}}$
Theo đề bài, ta có:
\({P_h} = \dfrac{2}{3}P \leftrightarrow G\dfrac{{Mm}}{{{{(R + h)}^2}}} = \dfrac{2}{3}G\dfrac{{Mm}}{{{R^2}}}\)
\( \Leftrightarrow \dfrac{2}{3}{(R + h)^2} = {R^2} \\\to h = 0,225R \\= 0,225.6400 = 1438,37km\)
Ở độ cao nào so với mặt đất trọng lượng của vật bằng $\dfrac{2}{3}$ lần trọng lượng của vật ở trên mặt đất?
Ta có:
+ Trọng lượng của vật ở mặt đất: $P = G\dfrac{{mM}}{{{R^2}}}$
+ Trọng lượng của vật ở độ cao h: ${P_h} = G\dfrac{{mM}}{{{{\left( {R + h} \right)}^2}}}$
Theo đề bài, ta có:
\({P_h} = \dfrac{2}{3}P \leftrightarrow G\dfrac{{Mm}}{{{{(R + h)}^2}}} = \dfrac{2}{3}G\dfrac{{Mm}}{{{R^2}}}\)
\( \Leftrightarrow \dfrac{2}{3}{(R + h)^2} = {R^2} \\\to h = 0,225R \\= 0,225.6400 = 1438,37km\)
Bán kính Trái Đất là $R = 6400km$, gia tốc trọng trường ở sát mặt đất là $10m/{s^2}$. Một vật có khối lượng \(37kg\) ở độ cao bằng $\dfrac{1}{9}$ lần bán kính Trái Đất. Coi vật chuyển động tròn đều xung quanh Trái Đất. Chu kì chuyển động của vật quanh Trái Đất là:
Ta có:
+ Gia tốc trọng trường tại mặt đất: $g = G\dfrac{M}{{{R^2}}} = 10m/{s^2}$
Gia tốc trọng trường ở độ cao: \(h = \dfrac{1}{9}R\)
\({g_h} = G\dfrac{M}{{{{(R + \dfrac{1}{9}R)}^2}}} = \dfrac{g}{{{{(\frac{{10}}{9})}^2}}} = 8,1m/{s^2}\)
+ Trọng lượng của vật tại độ cao h đó: \({p_h} = m{g_h} = 37.8,1 = 299,7N\)
+ Mặt khác, trọng lượng đóng vai trò như lực hướng tâm trong chuyển động tròn đều xung quanh Trái Đất, ta có:
\({P_h} = {F_{ht}} = m\dfrac{{{v^2}}}{r}\)
\( \leftrightarrow 299,7 = 37.\dfrac{{{v^2}}}{{(6400 + \dfrac{1}{9}.6400).1000}} \\\to v = 7589,5m/s\)
+ Tốc độ góc: \(\omega = \dfrac{v}{r} = \dfrac{{7589,5}}{{(6400 + \dfrac{1}{9}.6400).1000}} = 0,001\)
+ Chu kì chuyển động của vật: \(T = \dfrac{{2\pi }}{\omega } = \dfrac{{2\pi }}{{0,001}} = 6280s = 1,74h.\)
Một người có khối lượng 50kg hút Trái Đất với một lực bằng bao nhiêu ? Lấy g = 9,81m/s2.
Một người khối lượng 50kg hút Trái Đất với một lực bằng :
\(P = m.g = 9,81.50 = 490,5N\)
Cho gia tốc rơi tự do tại mặt đất là \(9,8m/{s^2}\). Tìm gia tốc rơi tự do tại độ cao bằng \(\dfrac{1}{5}\) bán kính Trái đất?
+ Gia tốc rơi tự do tại mặt đất: \(g = \dfrac{{GM}}{{{R^2}}} = 9,8m/{s^2}\,\,\,\left( 1 \right)\)
+ Tại độ cao bằng \(\dfrac{1}{5}\) bán kính Trái Đất: \(h = \dfrac{R}{5}\)
\({g_h} = \dfrac{{GM}}{{{{\left( {R + \dfrac{R}{5}} \right)}^2}}} = \dfrac{{GM}}{{{{\left( {\dfrac{6}{5}R} \right)}^2}}} = \dfrac{{25}}{{36}}.\dfrac{{GM}}{{{R^2}}}\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) \({g_h} = \dfrac{{25}}{{36}}.g = \dfrac{{25}}{{36}}.9,8 = 6,8m/{s^2}\)
Biết bán kính Trái Đất là 6400km. Một quả cầu khối lượng m. Để trọng lượng của quả cầu bằng \(\dfrac{1}{9}\) trọng lượng của nó trên mặt đất thì phải đưa nó lên độ cao h bằng
Trọng lượng trên mặt đất (h = 0): \(P = mg = G.\dfrac{{m.M}}{{{R^2}}}\)
Trọng lượng ở độ cao h (h ≠ 0): \(P' = mg' = G.\dfrac{{m.M}}{{{{\left( {R + h} \right)}^2}}}\)
Để \(P' = \dfrac{1}{9}P \Leftrightarrow \dfrac{P}{{P'}} = 9 \Leftrightarrow \dfrac{g}{{g'}} = \dfrac{{{{\left( {R + h} \right)}^2}}}{{{R^2}}} = 9 \Leftrightarrow \dfrac{{R + h}}{R} = 3 \Rightarrow h = 2R = 12800km\)
Một phi hành gia khi ở mặt đất chịu tác dụng của trong lực là \(700N.\) Khi phi hành gia đến một điểm cách tâm Trái Đất \(5R\) (\(R\) là bán kính trái đất) thì trọng lực tác dụng lên người phi hành gia đó là bao nhiêu?
Trọng lượng của phi hành gia tại mặt đất là:
\(P = G\dfrac{{mM}}{{{R^2}}} = 700{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( N \right)\,\,\left( 1 \right)\)
Tại điểm cách tâm trái đất \(5R\) thì trọng lượng của người đó là:
\(P' = G\dfrac{{mM}}{{{{\left( {R + h} \right)}^2}}} = G\dfrac{{mM}}{{{{\left( {5R} \right)}^2}}} = \dfrac{1}{{25}}.G\dfrac{{mM}}{{{R^2}}}\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) ta có: \(P' = \dfrac{1}{{25}}P = \dfrac{1}{{25}}.700 = 28{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( N \right)\)
Lực hút của trái đất đặt vào một vật khi vật ở mặt đất là \(45N,\) khi vật ở độ cao \(h\) là \(5N.\) Biết bán kính Trái Đất là \(R.\) Độ cao của \(h\) là
+ Lực hút của Trái Đất lên vật ở độ cao \(h:\) \({F_{hd}} = G\dfrac{{Mm}}{{{{\left( {R + h} \right)}^2}}}.\)
+ Khi vật ở mặt đất: \(F = G\dfrac{{Mm}}{{{R^2}}} = 45N\,\,\,\left( 1 \right)\)
+ Khi vật ở độ cao \(h:\) \({F_h} = G\dfrac{{Mm}}{{{{\left( {R + h} \right)}^2}}} = 5N\,\,\,\left( 2 \right)\)
Lấy \(\dfrac{{\left( 1 \right)}}{{\left( 2 \right)}} \Rightarrow \dfrac{{{{\left( {R + h} \right)}^2}}}{{{R^2}}} = 9 \Rightarrow \dfrac{{R + h}}{R} = 3 \Rightarrow h = 2R\)
Ở độ cao nào so với mặt đất trọng lượng của vật bằng \(0,4\) lần trọng lượng của vật ở trên mặt đất?
Ta có:
+ Trọng lượng của vật ở mặt đất: \(P = G\frac{{mM}}{{{R^2}}}\)
+ Trọng lượng của vật ở độ cao h: \({P_h} = G\frac{{mM}}{{{{\left( {R + h} \right)}^2}}}\)
Theo đề bài, ta có:
\(\begin{array}{l}{P_h} = 0,4P \leftrightarrow G\frac{{mM}}{{{{\left( {R + h} \right)}^2}}} = 0,4G\frac{{mM}}{{{R^2}}}\\ \leftrightarrow {R^2} = 0,4{\left( {R + h} \right)^2}\\ \to h = 0,581{\rm{R}} = 0,581.6400 = 3718,4km\end{array}\)
Tính độ cao mà tại đó gia tốc trọng trường là \(9,65m/{s^2}\)?
Ta có:
+ Gia tốc trọng trường tại mặt đất: \(g = G\frac{M}{{{R^2}}} = 9,83m/{s^2}{\rm{ }}\left( 1 \right)\)
+ Gia tốc trọng trường tại độ cao h: \({g_h} = G\frac{M}{{{{\left( {R + h} \right)}^2}}} = 9,65m/{s^2}{\rm{ }}\left( 2 \right)\)
Lấy \(\frac{{\left( 1 \right)}}{{\left( 2 \right)}}\) ta được:
\(\begin{array}{l}\frac{g}{{{g_h}}} = \frac{{{{\left( {R + h} \right)}^2}}}{{{R^2}}} = \frac{{9,83}}{{9,65}} = 1,0187\\ \to h = 9,{3.10^{ - 3}}R = 9,{3.10^{ - 3}}.6400 = 59,5km\end{array}\)
Ở độ cao nào so với mặt đất trọng lượng của vật bằng \(0,4\) lần trọng lượng của vật ở trên mặt đất?
Ta có:
+ Trọng lượng của vật ở mặt đất: \(P = G\frac{{mM}}{{{R^2}}}\)
+ Trọng lượng của vật ở độ cao h: \({P_h} = G\frac{{mM}}{{{{\left( {R + h} \right)}^2}}}\)
Theo đề bài, ta có:
\(\begin{array}{l}{P_h} = 0,4P \leftrightarrow G\frac{{mM}}{{{{\left( {R + h} \right)}^2}}} = 0,4G\frac{{mM}}{{{R^2}}}\\ \leftrightarrow {R^2} = 0,4{\left( {R + h} \right)^2}\\ \to h = 0,581{\rm{R}} = 0,581.6400 = 3718,4km\end{array}\)
Ở độ cao nào so với mặt đất trọng lượng của vật bằng \(0,4\) lần trọng lượng của vật ở trên mặt đất?
Ta có:
+ Trọng lượng của vật ở mặt đất: \(P = G\frac{{mM}}{{{R^2}}}\)
+ Trọng lượng của vật ở độ cao h: \({P_h} = G\frac{{mM}}{{{{\left( {R + h} \right)}^2}}}\)
Theo đề bài, ta có:
\(\begin{array}{l}{P_h} = 0,4P \leftrightarrow G\frac{{mM}}{{{{\left( {R + h} \right)}^2}}} = 0,4G\frac{{mM}}{{{R^2}}}\\ \leftrightarrow {R^2} = 0,4{\left( {R + h} \right)^2}\\ \to h = 0,581{\rm{R}} = 0,581.6400 = 3718,4km\end{array}\)
