Lực hấp dẫn

Ta có, lực hấp dẫn giữa hai quả cầu đó là: ${F_{h{\rm{d}}}} = G\dfrac{{Mm}}{{{R^2}}} = G\dfrac{{{M^2}}}{{{R^2}}} = 6,{67.10^{^{ - 11}}}.\dfrac{{{{200}^2}}}{{{{100}^2}}} = 2,{668.10^{ - 10}}N$

Xét tỉ lệ: $\dfrac{{{F_1}}}{{{F_2}}} = \dfrac{{G\dfrac{{Mm}}{{{r_1}^2}}}}{{G\dfrac{{Mm}}{{{r_2}^2}}}} = \dfrac{{{r_2}^2}}{{{r_1}^2}} = \dfrac{1}{4}$

$\to \dfrac{{{r_2}^2}}{{{r_1}^2}} = \dfrac{1}{4}$

$\to {r_2} = \dfrac{1}{2}{r_1}$

+ Khi vật ở mặt đất có trọng lượng: $P = G\dfrac{{Mm}}{{{R^2}}} = 45N$

+ Khi vật được lên độ cao h, trọng lượng của vật: $P' = G\frac{{Mm}}{{{{(R + h)}^2}}} = 5N$

Ta có: $\dfrac{p}{{p'}} = \dfrac{{{{(R + h)}^2}}}{{{R^2}}} = \dfrac{{45}}{5} = 9$

$\to R + h = 3R$

$\to h = 2R$

+ Gia tốc trọng trường tại mặt đất là : $g = G\dfrac{M}{{{R^2}}} = 9,8m/{s^2}$

+ Gia tốc trọng trường tại nơi có độ cao h là :

$g' = G\dfrac{M}{{{{(R + h)}^2}}} = G\dfrac{M}{{{{(R + \dfrac{R}{2})}^2}}} \\= G\dfrac{M}{{\dfrac{9}{4}{R^2}}} = \dfrac{4}{9}g = \dfrac{4}{9}.9,8 = 4,36m/{s^2}$

Lực hấp dẫn giữa Trái Đất và Mặt Trăng có độ lớn là:

${F_{h{\rm{d}}}} = G\dfrac{{Mm}}{{{R^2}}} \\= 6,{67.10^{ - 11}}.\dfrac{{7,{{37.10}^{22}}{{.6.10}^{24}}}}{{{{({{38.10}^7})}^2}}}\\ = 2,{04.10^{20}}N$

Ta có:

- Trái Đất:  $\left\{ \begin{array}{l} M\\ R \end{array} \right.$

- Mặt Trăng có khối lượng:  $M' = \dfrac{M}{{81}}$

Gọi M là điểm mà tại đó lực hấp dẫn của Mặt Trăng tới điểm đó cân bằng với lực hấp dẫn của Trái Đất tới điểm đó.

Khoảng cách từ tâm Trái Đất đến điểm đó là $h$

=> Khoảng cách từ điểm đó tới Mặt Trăng là:  $60{\rm{R}} - h$

Áp dụng biểu thức tính lực hấp dẫn, ta có:

+ Lực hấp dẫn do Trái Đất tác dụng lên điểm đó:  ${F_{T{\rm{D}}}} = G\dfrac{{Mm}}{{{h^2}}}$

+ Lực hấp dẫn do Mặt Trăng tác dụng lên điểm đó:  ${F_{MT}} = G\dfrac{{Mm}}{{81{{\left( {60{\rm{R}} - h} \right)}^2}}}$

Ta có:

$\begin{array}{l} {F_{T{\rm{D}}}} = {F_{MT}} \leftrightarrow G\dfrac{{Mm}}{{{h^2}}} = G\dfrac{{Mm}}{{81{{\left( {60{\rm{R}} - h} \right)}^2}}}\\ \leftrightarrow 81{\left( {60{\rm{R}} - h} \right)^2} = {h^2}\\ \to 9(60{\rm{R}} - h) = h\\ \to h = 54{\rm{R}} \end{array}$

Từ đầu bài, ta có:

$\left\{ \begin{array}{l} {M_{SH}} = 0,1{M_{T{\rm{D}}}}\\ {R_{SH}} = 0,53{{\rm{R}}_{TD}} \end{array} \right.$

  và gia tốc trọng trường trên mặt đất  $g = 9,8m/{s^2}$

Áp dụng biểu thức tính gia tốc trọng trường ta có:

+ Gia tốc trọng trường trên mặt đất: $g = G\dfrac{M}{{R_{T{\rm{D}}}^2}}{\rm{ }}\left( 1 \right)$

+ Gia tốc trọng trường trên sao Hỏa: ${g_{SH}} = G\dfrac{{{M_{SH}}}}{{R_{SH}^2}}{\rm{ }}\left( 2 \right)$

Lấy $\frac{{\left( 1 \right)}}{{\left( 2 \right)}}$ ta được:

$\begin{array}{l} \dfrac{g}{{{g_{SH}}}} = \dfrac{{{M_{T{\rm{D}}}}R_{SH}^2}}{{{M_{SH}}R_{T{\rm{D}}}^2}} = \dfrac{{{M_{T{\rm{D}}}}.0,{{53}^2}R_{T{\rm{D}}}^2}}{{0,1{M_{T{\rm{D}}}}.R_{T{\rm{D}}}^2}} = 2,809\\ \to {g_{SH}} = \dfrac{g}{{2,809}} = \dfrac{{9,8}}{{2,809}} = 3,49m/{s^2} \end{array}$

Ta có:

+ Gia tốc trọng trường tại mặt đất: $g = G\dfrac{M}{{{R^2}}} = 9,83m/{s^2}{\rm{              }}\left( 1 \right)$

+ Gia tốc trọng trường tại độ cao h: ${g_h} = G\dfrac{M}{{{{\left( {R + h} \right)}^2}}} = 9,65m/{s^2}{\rm{             }}\left( 2 \right)$

Lấy  $\dfrac{{\left( 1 \right)}}{{\left( 2 \right)}}$ta được:

$\begin{array}{l} \dfrac{g}{{{g_h}}} = \dfrac{{{{\left( {R + h} \right)}^2}}}{{{R^2}}} = \dfrac{{9,83}}{{9,65}} = 1,0187\\ \\\to h = 9,{3.10^{ - 3}}R \\= 9,{3.10^{ - 3}}.6400 = 59,5km \end{array}$

Ta có:

+ Trọng lượng của vật ở mặt đất: $P = G\dfrac{{mM}}{{{R^2}}}$

+ Trọng lượng của vật ở độ cao h: ${P_h} = G\dfrac{{mM}}{{{{\left( {R + h} \right)}^2}}}$

Theo đề bài, ta có:

  ${P_h} = \dfrac{2}{3}P \leftrightarrow G\dfrac{{Mm}}{{{{(R + h)}^2}}} = \dfrac{2}{3}G\dfrac{{Mm}}{{{R^2}}}$

$\Leftrightarrow \dfrac{2}{3}{(R + h)^2} = {R^2} \\\to h = 0,225R \\= 0,225.6400 = 1438,37km$

Ta có:

+ Trọng lượng của vật ở mặt đất: $P = G\dfrac{{mM}}{{{R^2}}}$

+ Trọng lượng của vật ở độ cao h: ${P_h} = G\dfrac{{mM}}{{{{\left( {R + h} \right)}^2}}}$

Theo đề bài, ta có:

  ${P_h} = \dfrac{2}{3}P \leftrightarrow G\dfrac{{Mm}}{{{{(R + h)}^2}}} = \dfrac{2}{3}G\dfrac{{Mm}}{{{R^2}}}$

$\Leftrightarrow \dfrac{2}{3}{(R + h)^2} = {R^2} \\\to h = 0,225R \\= 0,225.6400 = 1438,37km$

Ta có:

+ Gia tốc trọng trường tại mặt đất: $g = G\dfrac{M}{{{R^2}}} = 10m/{s^2}$

Gia tốc trọng trường ở độ cao: $h = \dfrac{1}{9}R$

${g_h} = G\dfrac{M}{{{{(R + \dfrac{1}{9}R)}^2}}} = \dfrac{g}{{{{(\frac{{10}}{9})}^2}}} = 8,1m/{s^2}$

+ Trọng lượng của vật tại độ cao h đó: ${p_h} = m{g_h} = 37.8,1 = 299,7N$

+ Mặt khác, trọng lượng đóng vai trò như lực hướng tâm trong chuyển động tròn đều xung quanh Trái Đất, ta có:

${P_h} = {F_{ht}} = m\dfrac{{{v^2}}}{r}$

$\leftrightarrow 299,7 = 37.\dfrac{{{v^2}}}{{(6400 + \dfrac{1}{9}.6400).1000}} \\\to v = 7589,5m/s$     

+ Tốc độ góc:  $\omega  = \dfrac{v}{r} = \dfrac{{7589,5}}{{(6400 + \dfrac{1}{9}.6400).1000}} = 0,001$

+ Chu kì chuyển động của vật: $T = \dfrac{{2\pi }}{\omega } = \dfrac{{2\pi }}{{0,001}} = 6280s = 1,74h.$

Một người khối lượng 50kg hút Trái Đất với một lực bằng :

$P = m.g = 9,81.50 = 490,5N$

+ Gia tốc rơi tự do tại mặt đất: $g = \dfrac{{GM}}{{{R^2}}} = 9,8m/{s^2}\,\,\,\left( 1 \right)$

+ Tại độ cao bằng $\dfrac{1}{5}$ bán kính Trái Đất: $h = \dfrac{R}{5}$

${g_h} = \dfrac{{GM}}{{{{\left( {R + \dfrac{R}{5}} \right)}^2}}} = \dfrac{{GM}}{{{{\left( {\dfrac{6}{5}R} \right)}^2}}} = \dfrac{{25}}{{36}}.\dfrac{{GM}}{{{R^2}}}\,\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) ${g_h} = \dfrac{{25}}{{36}}.g = \dfrac{{25}}{{36}}.9,8 = 6,8m/{s^2}$

Trọng lượng trên mặt đất (h = 0): $P = mg = G.\dfrac{{m.M}}{{{R^2}}}$

Trọng lượng ở độ cao h (h ≠ 0): $P' = mg' = G.\dfrac{{m.M}}{{{{\left( {R + h} \right)}^2}}}$

Để $P' = \dfrac{1}{9}P \Leftrightarrow \dfrac{P}{{P'}} = 9 \Leftrightarrow \dfrac{g}{{g'}} = \dfrac{{{{\left( {R + h} \right)}^2}}}{{{R^2}}} = 9 \Leftrightarrow \dfrac{{R + h}}{R} = 3 \Rightarrow h = 2R = 12800km$

Trọng lượng của phi hành gia tại mặt đất là:

$P = G\dfrac{{mM}}{{{R^2}}} = 700{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( N \right)\,\,\left( 1 \right)$

Tại điểm cách tâm trái đất $5R$ thì trọng lượng của người đó là:

$P' = G\dfrac{{mM}}{{{{\left( {R + h} \right)}^2}}} = G\dfrac{{mM}}{{{{\left( {5R} \right)}^2}}} = \dfrac{1}{{25}}.G\dfrac{{mM}}{{{R^2}}}\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) ta có:  $P' = \dfrac{1}{{25}}P = \dfrac{1}{{25}}.700 = 28{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( N \right)$

+ Lực hút của Trái Đất lên vật ở độ cao  $h:$ ${F_{hd}} = G\dfrac{{Mm}}{{{{\left( {R + h} \right)}^2}}}.$

+ Khi vật ở mặt đất: $F = G\dfrac{{Mm}}{{{R^2}}} = 45N\,\,\,\left( 1 \right)$

+ Khi vật ở độ cao $h:$ ${F_h} = G\dfrac{{Mm}}{{{{\left( {R + h} \right)}^2}}} = 5N\,\,\,\left( 2 \right)$

Lấy $\dfrac{{\left( 1 \right)}}{{\left( 2 \right)}} \Rightarrow \dfrac{{{{\left( {R + h} \right)}^2}}}{{{R^2}}} = 9 \Rightarrow \dfrac{{R + h}}{R} = 3 \Rightarrow h = 2R$

Ta có:

+ Trọng lượng của vật ở mặt đất: $P = G\frac{{mM}}{{{R^2}}}$

+ Trọng lượng của vật ở độ cao h: ${P_h} = G\frac{{mM}}{{{{\left( {R + h} \right)}^2}}}$

Theo đề bài, ta có:

$\begin{array}{l}{P_h} = 0,4P \leftrightarrow G\frac{{mM}}{{{{\left( {R + h} \right)}^2}}} = 0,4G\frac{{mM}}{{{R^2}}}\\ \leftrightarrow {R^2} = 0,4{\left( {R + h} \right)^2}\\ \to h = 0,581{\rm{R}} = 0,581.6400 = 3718,4km\end{array}$

Ta có:

+ Gia tốc trọng trường tại mặt đất: $g = G\frac{M}{{{R^2}}} = 9,83m/{s^2}{\rm{              }}\left( 1 \right)$

+ Gia tốc trọng trường tại độ cao h: ${g_h} = G\frac{M}{{{{\left( {R + h} \right)}^2}}} = 9,65m/{s^2}{\rm{             }}\left( 2 \right)$

Lấy $\frac{{\left( 1 \right)}}{{\left( 2 \right)}}$ ta được:

$\begin{array}{l}\frac{g}{{{g_h}}} = \frac{{{{\left( {R + h} \right)}^2}}}{{{R^2}}} = \frac{{9,83}}{{9,65}} = 1,0187\\ \to h = 9,{3.10^{ - 3}}R = 9,{3.10^{ - 3}}.6400 = 59,5km\end{array}$ 

Ta có:

+ Trọng lượng của vật ở mặt đất: $P = G\frac{{mM}}{{{R^2}}}$

+ Trọng lượng của vật ở độ cao h: ${P_h} = G\frac{{mM}}{{{{\left( {R + h} \right)}^2}}}$

Theo đề bài, ta có:

$\begin{array}{l}{P_h} = 0,4P \leftrightarrow G\frac{{mM}}{{{{\left( {R + h} \right)}^2}}} = 0,4G\frac{{mM}}{{{R^2}}}\\ \leftrightarrow {R^2} = 0,4{\left( {R + h} \right)^2}\\ \to h = 0,581{\rm{R}} = 0,581.6400 = 3718,4km\end{array}$

Ta có:

+ Trọng lượng của vật ở mặt đất: $P = G\frac{{mM}}{{{R^2}}}$

+ Trọng lượng của vật ở độ cao h: ${P_h} = G\frac{{mM}}{{{{\left( {R + h} \right)}^2}}}$

Theo đề bài, ta có:

$\begin{array}{l}{P_h} = 0,4P \leftrightarrow G\frac{{mM}}{{{{\left( {R + h} \right)}^2}}} = 0,4G\frac{{mM}}{{{R^2}}}\\ \leftrightarrow {R^2} = 0,4{\left( {R + h} \right)^2}\\ \to h = 0,581{\rm{R}} = 0,581.6400 = 3718,4km\end{array}$