Bài tập cơ năng - Định luật bảo toàn cơ năng

Gọi C là điểm tại đó động năng của vật bằng 3 lần thế năng.

Cơ năng tại B (mặt đất): \({{\rm{W}}_B} = \dfrac{1}{2}.m.v_B^2\)

Cơ năng tại C:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{{\rm{W}}_C} = {{\rm{W}}_{dC}} + {{\rm{W}}_{tC}}\\{{\rm{W}}_{dC}}{\rm{ = 3}}{{\rm{W}}_{tC}} \Rightarrow {{\rm{W}}_{tC}} = \dfrac{{{{\rm{W}}_{dC}}}}{3}\end{array} \right.\\ \Rightarrow {{\rm{W}}_C} = {{\rm{W}}_{dC}} + \dfrac{{{{\rm{W}}_{dC}}}}{3} = \dfrac{4}{3}{{\rm{W}}_{dC}} = \dfrac{4}{3}.\dfrac{1}{2}mv_C^2\end{array}\)

Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng tại B và C ta có:

\(\begin{array}{l}{{\rm{W}}_C} = {{\rm{W}}_B} \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}.m.v_B^2 = \dfrac{4}{3}.\dfrac{1}{2}.m.v_C^2\\ \Leftrightarrow {v_C} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.{v_B} = 30\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = 15\sqrt 3 m/s\end{array}\)

Cơ năng tại O (vị trí ném): \({{\rm{W}}_O} = \dfrac{1}{2}.m.v_0^2 + m.g.{z_O}\)

Cơ năng tại B (mặt đất): \({{\rm{W}}_B} = \dfrac{1}{2}.m.v_B^2\)

Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng tại O và A ta có:\(\begin{array}{l}{{\rm{W}}_O} = {{\rm{W}}_B} \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}.m.v_O^2 + m.g.{z_O} = \dfrac{1}{2}.m.v_B^2\\ \Leftrightarrow v_O^2 + 2.gh = v_B^2 \Rightarrow h = \dfrac{{v_B^2 - v_O^2}}{{2g}} = \dfrac{{{{30}^2} - {{20}^2}}}{{2.10}} = 25m\end{array}\)

Chọn gốc thế năng tại vị trí ném

- Tại vị trí ném vật ta có:

+ Thế năng của vật tại đó: ${{\rm{W}}_t} = 0$

+ Động năng của vật tại đó: ${{\rm{W}}_d} = \dfrac{1}{2}mv_0^2 = \dfrac{1}{2}.0,{1.20^2} = 20J$

=> Cơ năng của vật: ${\rm{W}} = {{\rm{W}}_d} + {{\rm{W}}_t} = 20 + 0 = 20J$

- Tại vị trí cao nhất, ta có:

+ Thế năng: ${{\rm{W}}_t} = mg{h_{max}}$

+ Động năng: ${{\rm{W}}_d} = 0$

=> Cơ năng của vật tại vị trí cao nhất: ${{\rm{W}}_{{h_{max}}}} = {{\rm{W}}_t} + {{\rm{W}}_d} = mg{h_{max}}$

- Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho 2 vị trí (lúc ném vật và khi vật đạt độ cao cực đại), ta có:

\(\dfrac{1}{2}mv_0^2 = mg{h_{max}} \to {h_{max}} = \dfrac{{v_0^2}}{{2g}} = \dfrac{{{{20}^2}}}{{2.10}} = 20m\)

Chọn vị trí cân bằng của hệ vật làm gốc tính thế năng đàn hồi.

+ Tại vị trí quả cầu rời khỏi vị trí cân bằng 1 đoạn 5cm:

 \({{\rm{W}}_1} = {{\rm{W}}_{dh1}} + {{\rm{W}}_{d1}} = \dfrac{1}{2}k.\Delta {l^2}\)

+ Tại vị trí cân bằng: \({{\rm{W}}_2} = {{\rm{W}}_{dh2}} + {{\rm{W}}_{d2}} = \dfrac{1}{2}m.{v^2}\)

Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng:

\(\begin{array}{l}{{\rm{W}}_1} = {{\rm{W}}_2} \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}k.\Delta {l^2} = \dfrac{1}{2}m.{v^2}\\ \Rightarrow v = \sqrt {\dfrac{{k.\Delta {l^2}}}{m}}  = \sqrt {\dfrac{{100.0,{{05}^2}}}{{0,05}}}  = \sqrt 5 m/s\end{array}\)

Chọn gốc thế năng tại vị trí ném

Tại vị trí ném vật ta có:

+ Thế năng của vật tại đó: ${{\rm{W}}_t} = 0$

+ Động năng của vật tại đó: ${{\rm{W}}_d} = \dfrac{1}{2}mv_0^2 = \dfrac{1}{2}.0,{1.20^2} = 20J$

=> Cơ năng của vật: ${\rm{W}} = {{\rm{W}}_d} + {{\rm{W}}_t} = 20 + 0 = 20J$

Chọn gốc thế năng tại vị trí ném

Tại vị trí ném vật ta có:

+ Thế năng của vật tại đó: ${{\rm{W}}_t} = 0$

+ Động năng của vật tại đó: ${{\rm{W}}_d} = \dfrac{1}{2}mv_0^2 = \dfrac{1}{2}.0,{1.20^2} = 20J$

=> Cơ năng của vật: ${\rm{W}} = {{\rm{W}}_d} + {{\rm{W}}_t} = 20 + 0 = 20J$

Chọn gốc thế năng tại vị trí cân bằng (C)

+ Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng tại hai điểm A và B, ta có:

${{\rm{W}}_A} = {{\rm{W}}_B} \leftrightarrow mg{h_1} = mg{h_2} \to {h_1} = {h_2}$  (1)

Mặt khác, ta có: \({h_1} = l\left( {1 - cos\alpha } \right)\)

Thế vào (1) ta suy ra: \({h_1} = {h_2} = l\left( {1 - cos\alpha } \right) = 1,8\left( {1 - cos{{30}^0}} \right) = 0,24m\)

 Từ hình ta có:

$\begin{array}{l}cos\beta  = \dfrac{{O'H}}{{O'B}} = \dfrac{{\dfrac{l}{2} - {h_1}}}{{\dfrac{l}{2}}} = \dfrac{{\dfrac{{1,8}}{2} - 0,24}}{{\dfrac{{1,8}}{2}}} = 0,7333\\ \to \beta  = 42,{8^0}\end{array}$

+ Ta có cơ năng tại B: ${{\rm{W}}_B} = mg{h_2}$

Cơ năng tại C: ${{\rm{W}}_C} = \dfrac{1}{2}mv_C^2$

+ Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng tại 2 vị trí B và C, ta có:

${{\rm{W}}_B} = {{\rm{W}}_C} \leftrightarrow mg{h_2} = \dfrac{1}{2}mv_C^2 \to {v_C} = \sqrt {2g{h_2}}  = \sqrt {2.10.0,24}  = 2,2m/s$

+ Khi quay lại C, dây bị đứt chuyển động của vật coi như chuyển động ném ngang với vận tốc ban đầu \({v_0} = 2,2m/s\)

Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho điểm C và D (chọn gốc thế năng tại mặt đất)

${{\rm{W}}_C} = {{\rm{W}}_D} \leftrightarrow \dfrac{1}{2}mv_C^2 + mg{h_3} = \dfrac{1}{2}mv_D^2$  (2)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}m = 200g = 0,2kg\\{v_C} = 2,2m/s\\{h_3} = 2,3 - l = 0,5m\end{array} \right.\)

Thế vào (2), ta được:

\(\dfrac{1}{2}.0,2.2,{2^2} + 0,2.10.0,5 = \dfrac{1}{2}0,2.v_D^2 \to {v_D} = 3,85m/s\)

Chọn mốc tính thế năng trọng trường tại vị trí ném.

Tại vị trí ném cơ năng chỉ gồm động năng, đến vị trí có độ cao cực đại thì cơ năng chỉ có thế năng hấp dẫn.

Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng ta có:

\(\frac{1}{2}m.v_0^2 = m.g.z \Rightarrow \frac{1}{2}.m{.20^2} = m.10.z \Rightarrow z = 20\left( m \right)\)

Chọn gốc thế năng tại vị trí cân bằng (C)

+ Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng tại hai điểm A và B, ta có:

${{\rm{W}}_A} = {{\rm{W}}_B} \leftrightarrow mg{h_1} = mg{h_2} \to {h_1} = {h_2}$  (1)

Mặt khác, ta có: \({h_1} = l\left( {1 - cos\alpha } \right)\)

Thế vào (1) ta suy ra: \({h_1} = {h_2} = l\left( {1 - cos\alpha } \right) = 1,8\left( {1 - cos{{30}^0}} \right) = 0,24m\)

 Từ hình ta có:

$\begin{array}{l}cos\beta  = \dfrac{{O'H}}{{O'B}} = \dfrac{{\dfrac{l}{2} - {h_1}}}{{\dfrac{l}{2}}} = \dfrac{{\dfrac{{1,8}}{2} - 0,24}}{{\dfrac{{1,8}}{2}}} = 0,7333\\ \to \beta  = 42,{8^0}\end{array}$

Vật rơi tự do nên nó chỉ chịu tác dụng của trọng lực, nên cơ năng được bảo toàn. Tại vị trí cao nhất, vật chỉ có thế năng.

Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng:

\(\begin{array}{l}
{{\rm{W}}_1} = {{\rm{W}}_2} \Leftrightarrow m.g.{z_1} = \frac{1}{2}.m.{v^2} + m.g.{z_2} = 2.m.g.{z_2}\\
\Rightarrow {z_1} = 2{z_2} \Rightarrow {z_2} = \frac{{{z_1}}}{2} = \frac{{10}}{2} = 5\left( m \right)
\end{array}\)

Chọn gốc thế năng tại vị trí cân bằng (C)

+ Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng tại hai điểm A và B, ta có:

${{\rm{W}}_A} = {{\rm{W}}_B} \leftrightarrow mg{h_1} = mg{h_2} \to {h_1} = {h_2}$  (1)

Mặt khác, ta có: \({h_1} = l\left( {1 - cos\alpha } \right)\)

Thế vào (1) ta suy ra: \({h_1} = {h_2} = l\left( {1 - cos\alpha } \right) = 1,8\left( {1 - cos{{30}^0}} \right) = 0,24m\)

 Từ hình ta có:

$\begin{array}{l}cos\beta  = \dfrac{{O'H}}{{O'B}} = \dfrac{{\dfrac{l}{2} - {h_1}}}{{\dfrac{l}{2}}} = \dfrac{{\dfrac{{1,8}}{2} - 0,24}}{{\dfrac{{1,8}}{2}}} = 0,7333\\ \to \beta  = 42,{8^0}\end{array}$

Vật thả rơi tự do có vận tốc ban đầu bằng 0.

Tại B có: \(\left\{ \begin{array}{l}m = 400g = 0,4kg\\h = 20m\\v = 0\\g = 10m/{s^2}\end{array} \right.\)

Cơ năng tại B: \({W_B} = {W_d} + {W_t}\)

\( \Rightarrow {W_B} = \frac{1}{2}m{v^2} + mgh = 0 + 0,4.10.20 = 80J\)

Bỏ qua ma sát \( \Rightarrow \) Cơ năng được bảo toàn nên: \({W_C} = {W_B} = 80J\)

Chọn gốc thế năng tại mặt đất

Ta có,

+ Cơ năng của vật tại vị trí ném: ${\rm{W}} = mgh + \dfrac{1}{2}mv_0^2$

+ Cơ năng của vật tại mặt đất: ${{\rm{W}}_{dat}} = \dfrac{1}{2}m{v^2}$  (thế năng lúc này bằng 0)

Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho 2 vị trí trên, ta được:

$\begin{array}{l}{\rm{W}} = {{\rm{W}}_{dat}} \leftrightarrow mgh + \dfrac{1}{2}mv_0^2 = \dfrac{1}{2}m{v^2}\\ \leftrightarrow gh + \dfrac{1}{2}v_0^2 = \dfrac{1}{2}{v^2}\\ \leftrightarrow 10.4 + \dfrac{1}{2}{4^2} = \dfrac{1}{2}{v^2}\\ \to v = 4\sqrt 6 m/s\end{array}$

a) Biểu thức động năng và thế năng của vật tại vị trí có độ cao z so với mặt đất:

\(\left\{ \begin{array}{l}{W_d} = \dfrac{1}{2}m{v^2}\\{W_t} = mgz\end{array} \right.\)

Với \(v\) là vận tốc của vật tại vị trí có độ cao\(z\).

b) + Vị trí vật được thả rơi có: \(\left\{ \begin{array}{l}{v_0} = 0\\{h_0} = 45m\end{array} \right.\)

Cơ năng tại đó: \({W_0} = {W_d} + {W_t} = mg{h_0}\)

+ Tại vị trí động năng bằng nửa thế năng: \({W_d} = \dfrac{1}{2}{W_t}\) có cơ năng:

\(W = \dfrac{1}{2}{W_t}\, + {W_t} = \dfrac{3}{2}{W_t} = 1,5.mgh\)

+ Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng ta có:

\({W_0} = W \Leftrightarrow 1,5.mgh = mg{h_0} \Rightarrow h = \dfrac{{{h_0}}}{{1,5}} = \dfrac{{45}}{{1,5}} = 30m\)

Chọn mốc thế năng tại mặt đất, ta có:

+ Cơ năng tại vị  trí vật đạt độ cao cực đại = Thế năng cực đại vật đạt được: ${{\rm{W}}_{{t_{max}}}} = mg{h_{max}}$

+ Cơ năng của vật khi chạm đất: ${{\rm{W}}_{cd}} = \dfrac{1}{2}m{v^2}$ (do thế năng lúc này bằng 0)

Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho 2 vị trí trên, ta có:

$\begin{array}{l}{{\rm{W}}_{{t_{max}}}} = {{\rm{W}}_{cd}} \leftrightarrow mg{h_{max}} = \dfrac{1}{2}m{v^2}\\ \to {h_{max}} = \dfrac{{{v^2}}}{{2g}} = \dfrac{{{{12}^2}}}{{2.10}} = 7,2m\end{array}$

+ Cơ năng của vật tại vị trí ném: ${\rm{W}} = mgh + \dfrac{1}{2}mv_0^2$

+ Cơ năng tại vị  trí vật đạt độ cao cực đại = Thế năng cực đại vật đạt được: ${{\rm{W}}_{{t_{max}}}} = mg{h_{max}}$

Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho 2 vị trí trên (vị trí ném và vị trí độ cao cực đại), ta được:

\(\begin{array}{l}mgh + \dfrac{1}{2}mv_0^2 = mg{h_{max}}\\ \leftrightarrow gh + \dfrac{1}{2}v_0^2 = g{h_{max}}\\ \leftrightarrow 10.4 + \dfrac{1}{2}v_0^2 = 10.7,2\\ \to {v_0} = 8m/s\end{array}\)

Chọn gốc thế năng tại H.

+ Cơ năng của vật tại H:

\({{\rm{W}}_H} = {{\rm{W}}_{tH}} + {{\rm{W}}_{dH}} = \dfrac{1}{2}mv_H^2\)

+ Cơ năng của vật tại B:

\({{\rm{W}}_B} = {{\rm{W}}_{tB}} + {{\rm{W}}_{dB}} = mg.{z_B} = mg.l.\left( {1 - \cos {\alpha _0}} \right)\)

Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng tại H và B ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{{{\rm{W}}_H} = {{\rm{W}}_B} \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}mv_{\max }^2 = mgl.\left( {1 - \cos {\alpha _0}} \right)}\\{\begin{array}{*{20}{l}}{ \Rightarrow {v_H} = \sqrt {2gl.\left( {1 - \cos {\alpha _0}} \right)} }\\{{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \,\,\,\,\, = \sqrt {2.10.2.\left( {1 - \cos 60} \right)}  = 4,47m/s}\end{array}}\end{array}\)

Chọn mốc thế năng tại mặt đất, ta có:

+ Cơ năng tại vị  trí vật đạt độ cao cực đại = Thế năng cực đại vật đạt được: ${{\rm{W}}_{{t_{max}}}} = mg{h_{max}}$

+ Cơ năng của vật khi chạm đất: ${{\rm{W}}_{cd}} = \dfrac{1}{2}m{v^2}$ (do thế năng lúc này bằng 0)

Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho 2 vị trí trên, ta có:

$\begin{array}{l}{{\rm{W}}_{{t_{max}}}} = {{\rm{W}}_{cd}} \leftrightarrow mg{h_{max}} = \dfrac{1}{2}m{v^2}\\ \to {h_{max}} = \dfrac{{{v^2}}}{{2g}} = \dfrac{{{{12}^2}}}{{2.10}} = 7,2m\end{array}$

Chọn mốc thế năng tại mặt đất, ta có:

+ Cơ năng tại vị  trí vật đạt độ cao cực đại = Thế năng cực đại vật đạt được: ${{\rm{W}}_{{t_{max}}}} = mg{h_{max}}$

+ Cơ năng của vật khi chạm đất: ${{\rm{W}}_{cd}} = \dfrac{1}{2}m{v^2}$ (do thế năng lúc này bằng 0)

Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho 2 vị trí trên, ta có:

$\begin{array}{l}{{\rm{W}}_{{t_{max}}}} = {{\rm{W}}_{cd}} \leftrightarrow mg{h_{max}} = \dfrac{1}{2}m{v^2}\\ \to {h_{max}} = \dfrac{{{v^2}}}{{2g}} = \dfrac{{{{12}^2}}}{{2.10}} = 7,2m\end{array}$

Gọi vị trí vật khi dây treo có phương thẳng đứng là H (Chọn H làm gốc thế năng)

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{z_A} = OH - OM = l - l.\cos {60^0} = l.\left( {1 - \cos {{60}^0}} \right) = 0,5m\\{z_B} = OH - ON = l - l.\cos {30^0} = l.\left( {1 - \cos {{30}^0}} \right) = \dfrac{{2 - \sqrt 3 }}{2}\end{array} \right.\)

Cơ năng tại A:  

Cơ năng tại B: \({W_B} = {W_{tB}} = mg{z_B} + \dfrac{1}{2}mv_B^2\)

Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng ta có:

\(\begin{array}{l}{W_A} = {W_B} \Leftrightarrow mg{z_A} = mg{z_B} + \dfrac{1}{2}mv_B^2\\ \Rightarrow {v_B} = \sqrt {2g.\left( {{z_A} - {z_B}} \right)}  = \sqrt {2.10.\left( {0,5 - \dfrac{{2 - \sqrt 3 }}{2}} \right)} \\ \Rightarrow {v_B} = \sqrt {10\sqrt 3  - 10} \,\left( {m/s} \right)\end{array}\)

Ta có:

+ Cơ năng tại A: \({{\rm{W}}_A} = mgh = 1.9,8.1 = 9,8J\)

+ Trong khi vật chuyển động từ A đến B, tại B cơ năng chuyển hóa thành động năng tại B và công để thắng lực ma sát

Áp dụng định luật bảo toàn chuyển hóa năng lượng, ta có:

\({{\rm{W}}_A} = {{\rm{W}}_{{d_B}}} + {A_{{F_{ms}}}}\)  (1)

Chọn chiều dương trùng chiều chuyển động của vật

Ta có:

+ Động năng tại B: \({{\rm{W}}_{{d_B}}} = \dfrac{1}{2}mv_B^2\)

+ Công của lực ma sát: \(A = {F_{ms}}.s.cos\beta  =  - {F_{ms}}.l =  - \mu P.\sin \alpha .l\)

Thay vào (1) ta được:

\(\begin{array}{l}{{\rm{W}}_A} = {{\rm{W}}_{{d_B}}} + \left| {{A_{{F_{ms}}}}} \right|\\ \leftrightarrow 9,8 = \dfrac{1}{2}mv_B^2 + \left| { - \mu .P.\sin \alpha .l} \right|\\ \leftrightarrow 9,8 = \dfrac{1}{2}m.v_B^2 + \left| { - \mu mg.\dfrac{h}{l}.l} \right|\\ \leftrightarrow 9,8 = \dfrac{1}{2}1.v_B^2 + \left| { - 0,05.1.9,8.\dfrac{1}{{10}}.10} \right|\\ \to v_B^2 = 18,62\\ \to {v_B} \approx 4,32m/s\end{array}\)

+ Tại điểm C, vật dừng lại

=> Toàn bộ động năng tại B đã chuyển thành năng lượng để thắng lực ma sát trên đoạn BC

Ta có:

\(\begin{array}{l}{{\rm{W}}_{{d_B}}} = \left| {{A_{BC}}} \right| = \mu mg.BC\\ \leftrightarrow \dfrac{1}{2}mv_B^2 = \mu mg.BC\\ \leftrightarrow \dfrac{1}{2}.1.4,{32^2} = 0,05.1.9,8.BC\\ \to BC = 19m\end{array}\)