Một thanh kim loại có hệ số nở dài là \(1,{2.10^{ - 6}}{K^{ - 1}}\) ở 250C thanh kim loại có chiều dài là 1,5m. Chiều dài của thanh kim loại khi nhiệt độ tăng lên 400C là:
Ta có: \(\Delta l = l - {l_0} = \alpha {l_0}\Delta t \to l = {l_0}(1 + \alpha \Delta t)\)
Chiều dài của thanh kim loại khi nhiệt độ tăng lên 400C là:
\( \to l = 1,5(1 + 1,{2.10^{ - 6}}(40 - 25)) = 1,500027m\)
Ở nhiệt độ 600C một thanh kim loại có chiều dài là 2,34m. Chiều dài của thanh kim loại trên là bao nhiêu sau khi nhiệt độ giảm xuống đến 200C? Biết hệ số nở dài của thanh kim loại là 1,14.10-6K-1.
Ta có: \(\Delta l = l - {l_0} = \alpha {l_0}\Delta t \to l = {l_0}(1 + \alpha \Delta t)\)
Chiều dài của thanh kim loại khi nhiệt độ giảm xuống đến 200C là:
\( \to l = 2,34(1 + 1,{14.10^{ - 6}}(20-60)) = 2,3399m\)
Chiều dài của thanh kim loại tăng thêm bao nhiêu phần trăm khi nhiệt độ tăng từ 250C lên đến 450C? Biết hệ số nở dài của thanh là 1,2.10-6K-1.
Ta có:
\(\begin{array}{l}\Delta l = l - {l_0} = \alpha {l_0}\Delta t\\ \to \frac{{\Delta l}}{{{l_0}}} = \alpha \Delta t = 1,{2.10^{ - 6}}.(45 - 25) = 2,{4.10^{ - 5}} = 2,{4.10^{ - 3}}\% \end{array}\)
Một thanh thép hình trụ có hệ số nở dài \(\alpha = {11.10^{ - 6}}{K^{ - 1}}\), ban đầu có chiều dài 100m. Để chiều dài của nó là 100,11m thì độ tăng nhiệt độ bằng:
Ta có:
\(\begin{array}{l}\Delta l = l - {l_0} = \alpha {l_0}\Delta t\\ \to \Delta t = \frac{{l - {l_0}}}{{\alpha {l_0}}} = \frac{{100,11 - 100}}{{{{11.10}^{ - 6}}.100}} = {100^0}C\end{array}\)
Hai thanh ray xe lửa dài $10m$ phải đặt cách nhau một khoảng tối thiểu bao nhiêu để khi nhiệt độ tăng từ $18^0C$ lên nhiệt độ $49^0C$ thì vẫn còn đủ khoảng trống để chúng dài ra. Coi hai thanh ray xe lửa bằng thép có hệ số nở dài là $1,14.10^{-7}{K^{-1}}$.
Ta có khoảng cách tối thiểu giữa hai thanh ray phải bằng tổng độ nở dài của hai thanh ray:
\(\begin{array}{l}\Delta x = \Delta l = \alpha {l_0}\Delta t\\ = 1,{14.10^{ - 7}}.10.(49 - 18) = 3,{534.10^{ - 5}}(m)\end{array}\)
Một thanh kim loại hình trụ đồng chất có tiết diện ngang là 10cm2. Một đầu thanh kim loại được giữ cố định bằng tấm chắn, đầu còn lại chịu tác dụng của một lực bằng bao nhiêu để khi nhiệt độ môi trường tăng từ 00C đến 200C thanh kim loại không thể dài ra. Biết suất đàn hồi của thanh kim loại là 2.1011Pa, hệ số nở dài của thanh kim loại là 1,14.10-7K-1
Ta có:
+ Độ nở dài của thanh kim loại: \(\Delta l = \alpha {l_0}\Delta t\)
+ Trong điều kiện nhiệt độ không đổi để kéo dài thanh kim loại trên cần một lực là:
\(F = \frac{{ES}}{{{l_0}}}\Delta l\)
=>Để thanh kim loại không thể nở dài khi nhiệt độ thay đổi ta cần tác dụng một lực nén dọc theo trục thanh kim loại có độ lớn:
\(F = \frac{{ES}}{{{l_0}}}\Delta l = ES\alpha \Delta t = {2.10^{11}}.({10.10^{ - 4}}).1,{14.10^{ - 7}}.20 = 456N\)
Biết hệ số nở dài của thanh kim loại bằng đồng là 18.10-6K-1, của thanh kim loại bằng sắt là 12.10-6K-1. Tổng chiều dài ban đầu của thanh đồng và thanh sắt ở nhiệt độ 00C là 6m. Hiệu chiều dài của hai thanh kim loại luôn không đổi. Xác định chiều dài ban đầu của mỗi thanh ở nhiệt độ 00C
Ta có:
- Thanh đồng: \({\alpha _1} = {18.10^{ - 6}}{K^{ - 1}}\)
- Chiều dài ở nhiệt độ 00C: \({l_{01}}\)
- Chiều dài ở nhiệt độ t0C: \({l_1} = {l_{01}}(1 + {\alpha _1}t)\)
- Thanh sắt: \({\alpha _2} = {12.10^{ - 6}}{K^{ - 1}}\)
- Chiều dài ở nhiệt độ 00C: \({l_{02}}\)
- Chiều dài ở nhiệt độ t0C: \({l_2} = {l_{02}}(1 + {\alpha _2}t)\)
- Tổng chiều dài hai thanh ở 00C: \({l_{01}} + {l_{02}} = 6m\)(1)
- Hiệu chiều dài hai thanh ở nhiệt độ t0C:
\(\begin{array}{l}{l_1} - {l_2} = {l_{01}}(1 + {\alpha _1}t) - {l_{02}}(1 + {\alpha _2}t)\\ = ({l_{01}} - {l_{02}}) + ({l_{01}}{\alpha _1}t - {l_{02}}{\alpha _2}t)\end{array}\)
Theo đầu bài, hiệu chiều dài của hai thanh kim loại luôn không đổi
=>\({l_1} - {l_2}\) không phụ thuộc vào nhiệt độ t
\(({l_{01}}{\alpha _1}t - {l_{02}}{\alpha _2}t) = 0 \to {l_{01}}{\alpha _1} = {l_{02}}{\alpha _2}\)(2)
Từ (1) và (2), ta suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l}{l_{01}} + {l_{02}} = 6m\\{18.10^{ - 6}}{l_{01}} = {12.10^{ - 6}}{l_{02}}\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}{l_{01}} = 2,4m\\{l_{02}} = 3,6m\end{array} \right.\)
Khối lượng riêng của thủy ngân ở 00C là 13600kg/m3. Tính khối lượng riêng của thủy ngân ở 500C. Cho hệ số nở khối của thủy ngân là 1,82.10-4K-1
Ta có:
+ Khối lượng riêng: \(\rho = \dfrac{m}{V}\)
Ở nhiệt độ 00C: \({\rho _0} = \dfrac{m}{{{V_0}}}\) (1)
Ở nhiệt độ 500C: \(\rho = \dfrac{m}{V}\)
+ Mặt khác ta có: \(V = {V_0}(1 + \beta \Delta t) = {V_0}(1 + 3\alpha \Delta t)\)
Ta suy ra: \(\rho = \dfrac{m}{{{V_0}(1 + \beta \Delta t)}}\) (2)
Từ (1) và (2), ta suy ra:
\(\begin{array}{l}\dfrac{\rho }{{{\rho _0}}} = \dfrac{1}{{1 + \beta \Delta t}}\\ \to \rho = \dfrac{{{\rho _0}}}{{1 + \beta \Delta t}}\\ = \dfrac{{13600}}{{1 + 1,{{82.10}^{ - 4}}.50}} = 13477,36kg/{m^3}\end{array}\)
Một thước nhôm có các độ chia đúng ở $5^0C$. Dùng thước này đo chiều dài của một vật ở $35^0C$. Kết quả đọc được là $88,45cm$. Phần trăm sai số do ảnh hưởng của nhiệt độ và chiều dài đúng của vật là bao nhiêu? Biết hệ số nở dài của nhôm là \(\alpha = {2,3.10^{ - 5}}{K^{ - 1}}\)
Ta có:
+ Ở 350C chiều dài của thước là: \({l_2} = {l_0}(1 + \alpha {t_2})\)
Nếu ở 50C thì chiều dài thước là: \({l_1} = {l_0}(1 + \alpha {t_1})\)
+ Sai số do ảnh hưởng của nhiệt độ là do thước dãn nở một đoạn: \(\Delta l = \left| {{l_2} - {l_1}} \right| = \alpha {l_0}\Delta t\)
\(\begin{array}{l} \to \Delta l = \frac{{{l_2}}}{{1 + \alpha {t_2}}}\alpha \Delta t\\ = \frac{{88,45}}{{1 + 2,{{3.10}^{ - 5}}.(35 + 273)}}.2,{3.10^{ - 5}}.(35 - 5) = 0,0606cm\end{array}\)
Chiều dài đúng của vật là: \(l' = {l_2} - \Delta l = 88,45 - 0,0606 = 88,3894cm\)
Phần trăm sai số của phép đo: \(\delta = \frac{{\Delta l}}{{l'}}.100\% = \frac{{0,0606}}{{88,3894}}.100\% \approx 0,07\% \)
Ở 300C một quả cầu thép có đường kính 6cm và không lọt qua một lỗ tròn khoét trên một tấm đồng thau vì đường kính của lỗ kém hơn 0,01mm. Ta phải đưa quả cầu thép và tấm đồng thau tới cùng nhiệt độ bao nhiêu thì quả cầu lọt qua lỗ tròn. Biết các hệ số nở dài của thép và đồng thau lần lượt là 12.10-6K-1 và 19.10-6 K-1
Gọi:
\({l_{01}},{l_{02}}\) lần lượt là đường kính của quả cầu thép và của lỗ tròn trên tấm đồng thau ở nhiệt độ 300C
\({l_1},{l_2}\)lần lượt là đường kính của quả cầu thép và của lỗ tròn trên tấm đồng thau ở nhiệt độ t
\({\alpha _1},{\alpha _2}\) lần lượt là hệ số nở dài của thép và đồng thau
+ Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{l_1} = {l_{01}}(1 + {\alpha _1}\Delta t){\rm{ (1)}}\\{l_2} = {l_{02}}(1 + {\alpha _2}\Delta t){\rm{ (2)}}\end{array} \right.\)
+ Mặt khác, điều kiện để quả cầu lọt qua lỗ tròn: \({l_1} = {l_2}{\rm{ (3)}}\)
Thay (1) và (2) vào (3) ta có: \({l_{01}}(1 + {\alpha _1}\Delta t) = {l_{02}}(1 + {\alpha _2}\Delta t)\)
\( \to \Delta t = \frac{{{l_{01}} - {l_{02}}}}{{{l_{02}}{\alpha _2} - {l_{01}}{\alpha _1}}} = \frac{{0,{{01.10}^{ - 3}}}}{{0,{{06001.19.10}^{ - 6}} - 0,{{06.12.10}^{ - 6}}}} \approx 23,{8^0}C\)
Nhiệt độ để quả cầu lọt qua lỗ tròn là: \(t = {t_0} + \Delta t = 30 + 23,8 = 53,{8^0}C\)
Một quả cầu đồng chất có hệ số nở khối \(\beta = {72.10^{ - 6}}{K^{ - 1}}\). Ban đầu thể tích của quả cầu là \({V_0}\), để thể tích của quả cầu tăng 0,36% thì độ tăng nhiệt độ của quả cầu bằng:
Ta có: \(\Delta V = V - {V_0} = \beta {V_0}\Delta t = 3\alpha {V_0}\Delta t\)
$ \to \Delta t = \frac{1}{\beta }\frac{{\Delta V}}{{{V_0}}} = \frac{1}{{{{72.10}^{ - 6}}}}\frac{{0,36}}{{100}} = 50K$
Khối lượng riêng của sắt ở 00C là 7,8.103kg/m3. Biết hệ số nở khối của sắt là 33.10-6K-1. Ở nhiệt độ 1600C, khối lượng riêng của sắt là:
Ta có:
+ khối lượng riêng của sắt: \(\rho \sim \frac{1}{V}\)
+ Mặt khác, ta có: \(\Delta V = V - {V_0} = \beta {V_0}\Delta t \to V = {V_0}(1 + \beta \Delta t)\)
Ta suy ra:
\(\begin{array}{l}\frac{{{\rho _{{0^0}C}}}}{{{\rho _{{{160}^0}C}}}} = \frac{{{V_{{{160}^0}C}}}}{{{V_{{0^0}C}}}} = \frac{{{V_{{0^0}C}}(1 + \beta \Delta t)}}{{{V_{{0^0}C}}}} = (1 + \beta \Delta t)\\ \to {\rho _{{{160}^0}C}} = \frac{{{\rho _{{0^0}C}}}}{{(1 + \beta \Delta t)}} = \frac{{7,{{8.10}^3}}}{{(1 + {{33.10}^{ - 6}}.160)}} = 7759kg/{m^3}\end{array}\)
Một vật rắn hình khối lập phương đồng chất, đẳng hướng có hệ số nở dài là \(\alpha = {24.10^{ - 6}}{K^{ - 1}}\). Nếu tăng nhiệt độ của vật thêm 1000C thì độ tăng diện tích tỉ đối của mặt ngoài vật rắn là:
Ta có: \(\Delta S = S - {S_0} = \beta '{S_0}\Delta t = 2\alpha {S_0}\Delta t\)
=>Độ tăng diện tich tỉ đối:
\(\frac{{\Delta S}}{{{S_0}}} = \beta '\Delta t = 2\alpha \Delta t = {2.24.10^{ - 6}}.100 = 4,{8.10^{ - 3}} = 0,48\% \)
Tiết diện thẳng của một thanh thép là $1,3cm^2$. Thanh này được giữ chặt giữa hai điểm cố định ở $30^0C$. Lực tác dụng vào thanh khi nhiệt độ giảm xuống còn $20^0C$. Cho hệ số nở dài của thép \(\alpha = {11.10^{ - 6}}{K^{ - 1}}\) và suất đàn hồi \(E = {2,28.10^{11}}Pa\).
Gọi:
\(l,{l_0}\) lần lượt là chiều dài của thanh thép ở 200C và 300C
\(\Delta l\) độ co của thanh thép khi nhiệt độ giảm từ 300 xuống 200C
+ Ta có: \(\Delta l = l - {l_0} = \alpha {l_0}\Delta t\) (1)
+ Mặt khác, theo định luật Húc, ta có: \(F = \frac{{ES}}{{{l_0}}}\Delta l\) (2)
Từ (1) và (2), ta có:
\(F = ES\alpha \Delta t = 2,{28.10^{11}}.1,{3.10^{ - 4}}{.11.10^{ - 6}}.10 = 3260N\)
Vậy lực tác dụng vào thanh khi nhiệt độ giảm xuống còn 200C là \(F = 3260N\)
Ở nhiệt độ 00C bình thủy tinh chứa được khối lượng \({m_0}\) thủy ngân. Khi nhiệt độ là \({t_1}\) thì bình chứa được khối lượng \({m_1}\) thủy ngân. Ở cả hai trường hợp thủy ngân có cùng nhiệt độ với bình. Biết hệ số nở khối của thủy ngân là \(\beta \).Biểu thức tính hệ số nở dài \(\alpha \) của thủy tinh là:
Gọi:
+ \({V_0}\): thể tích của \({m_0}\)(kg) thủy ngân và của bình thủy tinh ở nhiệt độ 00C
+ \({V_2}\): thể tích của bình thủy tinh ở nhiệt độ t1
+ \({V_1}\): thể tích của \({m_1}\)(kg) thủy ngân ở nhiệt độ 00C
+ \({V_2}'\): thể tích của \({m_1}\)(kg) thủy ngân ở nhiệt độ t1
+ \(\rho \): khối lượng riêng của thủy ngân.
Ta có:
\({V_0} = \frac{{{m_0}}}{\rho };{V_1} = \frac{{{m_1}}}{\rho }\)
\({V_2} = {V_0}(1 + 3\alpha \Delta t) = \frac{{{m_0}}}{\rho }(1 + 3\alpha \Delta t)\) (1)
\({V_2}' = {V_1}(1 + \beta \Delta t) = \frac{{{m_1}}}{\rho }(1 + \beta \Delta t)\) (2)
Ta có: \({V_2} = {V_2}'\) (3)
Thay (1) và (2) vào (3), ta được: \(\frac{{{m_0}}}{\rho }(1 + 3\alpha \Delta t) = \frac{{{m_1}}}{\rho }(1 + \beta \Delta t)\)
Lại có: \(\Delta t = {t_1} - 0 = {t_1}\)
\( \to \alpha = \frac{{{m_1}(1 + \beta {t_1}) - {m_0}}}{{3{m_0}{t_1}}}\)
