Biến dạng cơ của vật rắn

Biến dạng cơ là sự thay đổi kích thước và hình dạng của vật rắn do tác dụng của ngoại lực. Tùy thuộc độ lớn của lực tác dụng, biến dạng của vật rắn có thể là đàn hồi hoặc không đàn hồi.

Đặc điểm của biến dạng đàn hồi là vật lấy lại hình dạng và kích thước ban đầu khi ngoại lực ngừng tác dụng.

Giới hạn mà trong đó vật rắn còn giữ được tính đàn hồi gọi là giới hạn đàn hồi của vật rắn.

Mức độ biến dạng của thanh rắn phụ thuộc vào các yếu tố:

+ Bản chất của thanh rắn

+ Độ lớn của ngoại lực tác dụng vào thanh

+ Tiết diện ngang của thanh

Ta có, ứng suất là đại lượng vật lý đặc trưng cho tác dụng nén hoặc kéo của lực F tác dụng dọc theo trục của một vật rắn đồng chất hình trụ có tiết diện S: \(\sigma  = \frac{F}{S}\)

Trong đó:

     + \(F\): lực nén hoặc kéo (N)
     + \(S\): tiết diện của vật rắn hình trụ đồng chất (m²)

     + \(\sigma \): ứng suất của vật rắn (N/m² hoặc Pa)

Ta suy ra:

B, C, D - đúng

A - sai

Giới hạn bền của vật liệu là ứng suất lớn nhất có thể đặt vào vật để vật không bị hỏng.

Ta có:

- Trụ cầu, móng nhà, cột nhà chịu biến dạng nén

- Dây cáp của cần cẩu đang chuyển động chịu biến dạng kéo

Ta có:

- Dây cáp của cầu treo, thanh nối các toa xe lửa đang chạy chịu biến dạng kéo

- Trụ cầu chịu biến dạng nén

Trong giới hạn đàn hồi, độ biến dạng tỉ đối của vật rắn đồng chất, hình trụ tỉ lệ thuận với ứng suất tác dụng vào vật đó.

\(\varepsilon  = \frac{{\left| {\Delta l} \right|}}{{{l_0}}} = \alpha \sigma \)

với \(\alpha \) là hệ số tỉ lệ phụ thuộc chất liệu của vật rắn

Hệ ssô đàn hồi của thanh thép được xác định bởi biểu thức: \(k = E\frac{S}{{{l_0}}}\)

=> Tỉ lệ thuận với tiết diện ngang và tỉ lệ nghịch với chiều dài ban đầu

Ta có:

+ Lực đàn hồi xuất hiện trên hai thanh có độ lớn bằng nhau

\({F_{dh1}} = {F_{dh2}} \leftrightarrow {k_1}\Delta {l_1} = {k_2}\Delta {l_2}\)(1)

+ Ta có độ cứng k được xác định bởi biểu thức: \(k = E\frac{S}{{{l_0}}}\) (2)

Từ (1) và (2), ta suy ra: \(\frac{{\Delta {l_1}}}{{\Delta {l_2}}} = \frac{{{k_2}}}{{{k_1}}} = \frac{{{E_2}\frac{{{S_2}}}{{{l_{02}}}}}}{{{E_1}\frac{{{S_1}}}{{{l_{01}}}}}}\)

Do hai thanh cùng bản chất \( \to {E_1} = {E_2} = E\)

\( \to \frac{{\Delta {l_1}}}{{\Delta {l_2}}} = \frac{{{S_2}{l_{01}}}}{{{S_1}{l_{02}}}} = \frac{1}{2}\)

+ Lực đàn hồi xuất hiện trên hai thanh: \({F_{dh}} = k.\Delta l\)

+ Ta có, độ cứng của vật rắn: \(k = E\dfrac{S}{{{l_0}}}\)

Theo đầu bài, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{l_{{0_{F{\rm{e}}}}}} = 2{l_{{0_{Cu}}}}\\{S_{F{\rm{e}}}} = \dfrac{1}{2}{S_{Cu}}\end{array} \right.\) và \({E_{F{\rm{e}}}} = 1,6{E_{Cu}}\)

Lại có, độ lớn lực đàn hồi xuất hiện ở hai thanh có giá trị như nhau (vì được treo vào đầu dưới một vật có khối lượng như nhau)

\(\begin{array}{l}{F_{d{h_{F{\rm{e}}}}}} = {F_{d{h_{Cu}}}} \leftrightarrow {k_{F{\rm{e}}}}\Delta {l_{F{\rm{e}}}} = {k_{Cu}}\Delta {l_{Cu}}\\ \to \dfrac{{\Delta {l_{F{\rm{e}}}}}}{{\Delta {l_{Cu}}}} = \dfrac{{{k_{Cu}}}}{{{k_{F{\rm{e}}}}}} = \dfrac{{{E_{Cu}}\dfrac{{{S_{Cu}}}}{{{l_{{0_{Cu}}}}}}}}{{{E_{F{\rm{e}}}}\dfrac{{{S_{F{\rm{e}}}}}}{{{l_{{0_{F{\rm{e}}}}}}}}}}\\ = \dfrac{{{E_{Cu}}\dfrac{{{S_{Cu}}}}{{{l_{{0_{Cu}}}}}}}}{{1,6{E_{Cu}}\dfrac{{\dfrac{1}{2}{S_{Cu}}}}{{2{l_{{0_{Cu}}}}}}}} = \dfrac{5}{2}\\ \to \Delta {l_{F{\rm{e}}}} = 2,5\Delta {l_{Cu}}\end{array}\)

Ta có, lực kéo đàn hồi cần tác dụng lên đầu kia của thanh thép để thanh dài thêm $2,5mm$ là:

\(\begin{array}{l}{F_{dh}} = k.\Delta l = E\frac{S}{{{l_0}}}\left| {\Delta l} \right|\\ = {2.10^{11}}\frac{{(1,{{5.10}^{ - 4}})}}{5}\left( {2,{{5.10}^{ - 3}}} \right) = 15000N\end{array}\)

Ta có, hệ số đàn hồi:\(k = E\frac{S}{{{l_0}}}\)(1)

Theo đề bài, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{l_0} = 3,6m\\d = 1,2mm = 1,{2.10^{ - 3}}m\\E = {2.10^{11}}Pa\end{array} \right.\)

=>Tiết diện của vật rắn: \(S = \frac{{\pi {d^2}}}{4} = \frac{{\pi {{(1,{{2.10}^{ - 3}})}^2}}}{4} = 3,6\pi {.10^{ - 7}}({m^2})\)

Thay vào (1), ta được: \(k = E\frac{S}{{{l_0}}} = {2.10^{11}}.\frac{{3,6\pi {{.10}^{ - 7}}}}{{3,6}} = 20000\pi (N/m)\)

Ta có, thanh dài thêm 1,6cm do trọng lực của vật m tác dụng vào thanh.

Độ lớn của trọng lực đúng bằng độ lớn của lực đàn hồi xuất hiện khi thanh bị kéo dãn.

\(\begin{array}{l}{F_{dh}} = P \leftrightarrow k.\Delta l = mg\\ \to m = \frac{{k.\Delta l}}{g} = \frac{{100.(1,{{6.10}^{ - 2}})}}{{10}} = 0,16(kg)\end{array}\)

Ta có,

+ Lực nén đàn hồi: \({F_{dh}} = k.\Delta l = E\frac{S}{{{l_0}}}\left| {\Delta l} \right|\) (1)

+ Mặt khác, độ biến dạng tỉ đối được xác định: \(\varepsilon  = \frac{{\left| {\Delta l} \right|}}{{{l_0}}} = \alpha \sigma \) (2)

Từ (1) và (2), ta suy ra: \(\varepsilon  = \frac{{{F_{dh}}}}{{E.S}}\)

Tiết diện của thanh: \(S = \pi {r^2} = \pi \frac{{{d^2}}}{4} = \pi \frac{{{{({{20.10}^{ - 3}})}^2}}}{4} = \pi {.10^{ - 4}}({m^2})\)

Thay vào (3), ta được: \(\varepsilon  = \frac{{{F_{dh}}}}{{E.S}} = \frac{{3,{{14.10}^5}}}{{{{2.10}^{11}}.\pi {{.10}^{ - 4}}}} \approx {5.10^{ - 3}}\)

Ta có:

+ Độ dãn của dây: \(\Delta l = 101 - 100 = 1cm = 0,01m\)

+ Khi cân bằng lực kéo đàn hồi cân bằng với trọng lực của vật:

\(\begin{array}{l}{F_{dh}} = P \leftrightarrow k\Delta l = mg\\ \leftrightarrow E\frac{S}{{{l_0}}}\Delta l = mg \leftrightarrow E\frac{{\pi \frac{{{d^2}}}{4}}}{{{l_0}}}\Delta l = mg\\ \to d = 2\sqrt {\frac{{mg{l_0}}}{{\pi E.\Delta l}}}  = 2\sqrt {\frac{{100.10.1}}{{\pi {{.2.10}^{11}}.0,01}}}  \approx 7,{98.10^{ - 4}}m\end{array}\)

Ta có, khi cân bằng thì lực đàn hồi có độ lớn bằng độ lớn của trọng lực của vật nặng:

\(\begin{array}{l}{F_{dh}} = P \leftrightarrow k\Delta l = mg\\ \to k = \frac{{mg}}{{\Delta l}} = \frac{{6.10}}{{1,{{2.10}^{ - 3}}}} = 50000(N/m)\end{array}\)

Theo đề bài, ta có: \(\Delta l = 1\% {l_0} = 0,01{l_0}\)

Ta có, lực đàn hồi: \({F_{dh}} = k.\Delta l = E\frac{S}{{{l_0}}}\left| {\Delta l} \right| = E\frac{{\pi {d^2}}}{{4{l_0}}}\left| {\Delta l} \right| = {9.10^{10}}\frac{{\pi {{({{10}^{ - 3}})}^2}}}{4}.0,01 = 225\pi (N)\)

+ Vì quả cầu chuyển động đu đưa theo cung tròn nên,  ta có: \(F - P = m{a_{ht}}\)

\(\begin{array}{l} \leftrightarrow k.x - mg = m\frac{{{v^2}}}{R}\\ \leftrightarrow \frac{{ES}}{{{l_0}}}x - mg = \frac{{m{v^2}}}{{{l_0} + x + \frac{D}{2}}}\\ \leftrightarrow \frac{{E\pi {d^2}}}{{4{l_0}}}x - mg \approx \frac{{m{v^2}}}{{{l_0} + \frac{D}{2}}}\\ \to x = \frac{{4{l_0}m}}{{E\pi {d^2}}}\left( {\frac{{{v^2}}}{{{l_0} + \frac{D}{2}}} + g} \right)\\ = \frac{{4.2,8.4}}{{1,{{86.10}^{11}}.\pi .{{(0,{{9.10}^{ - 3}})}^2}}}\left( {\frac{{{5^2}}}{{2,8 + \frac{{0,1}}{2}}} + 10} \right)\\ \approx 1,{8.10^{ - 3}}m\end{array}\)

Khoảng trống tối thiểu từ quả cầu đến sàn là: \({l_{\min }} = 3 - (2,8 + 0,1 + 0,0018) = 0,0982m = 9,82cm\)