Bài toán về chuyển động của hệ vật

Chọn chiều dương là chiều chuyển động

Ta có các lực tác dụng lên hệ vật như sau:

Áp dụng công thức của chuyển động biến đổi ta có: \(a = \dfrac{{v - {v_0}}}{t} = \dfrac{{10 - 0}}{{100}} = 0,1\left( {m/{s^2}} \right)\)

Áp dụng định luật II Newton cho xe con ta có:

\(\overrightarrow F  + \overrightarrow {{f_{m{\rm{s}}}}}  = m\overrightarrow a \)

chiếu lên chiều + của chuyển động ta được: \(F - {f_{m{\rm{s}}}} = ma\)

\(F = {f_{m{\rm{s}}}} + ma\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow F = 0,01P + ma\\ \Leftrightarrow F = 0,01.1000.10 + 1000.0,1 = 200N\end{array}\)

Ta có các lực tác dụng lên hệ vật như sau:

Chọn hệ tọa độ Oxy như hình vẽ.

Xét vật A, theo định II Newton ta có:

\(\overrightarrow {{P_1}}  + \overrightarrow {{N_1}}  + \overrightarrow F  + \overrightarrow {{T_1}}  + \overrightarrow {{F_{m{\rm{s}}1}}}  = {m_1}\overrightarrow {{a_1}} \)

Chiếu lên phương Oy ta được: \({N_1} - P = 0\)

\( \Rightarrow {N_1} = {P_1} \Rightarrow {N_1} = {m_1}g\)

Chiếu lên phương Ox ta được: \(F - {T_1} - {F_{m{\rm{s1}}}} = m{a_1}\)

\( \Leftrightarrow F - {T_1} - \mu {N_1} = {m_1}{a_1}\)

Thay \({N_1} = {m_1}g\) vào ta được: \(F - {T_1} - \mu {m_1}g = {m_1}{a_1}\) (1)

Xét vật B, theo định II Newton ta có:

\(\overrightarrow {{P_2}}  + \overrightarrow {{N_2}}  + \overrightarrow {{T_2}}  + \overrightarrow {{F_{m{\rm{s2}}}}}  = {m_2}\overrightarrow {{a_2}} \)

Chiếu lên phương Oy ta được: \({N_2} - {P_2} = 0\)

\( \Rightarrow {N_2} = {P_2} \Rightarrow {N_2} = {m_2}g\)

Chiếu lên phương Ox ta được: \({T_2} - {F_{m{\rm{s2}}}} = {m_2}{a_2}\)

\( \Leftrightarrow {T_2} - \mu {N_2} = {m_2}{a_2}\)

Thay \({N_2} = {m_2}g\) vào ta được: \({T_2} - \mu {m_2}g = {m_2}{a_2}\) (2)

mặt khác ta có: \({T_1} = {T_2} = T\) và \({a_1} = {a_2} = a\)

thay vào (1) và (2) ta có:

\(F - T - \mu {m_1}g = {m_1}a\) (3)

\(T - \mu {m_2}g = {m_2}a\) (4)

Cộng (3) và (4) ta được: \(F - \mu \left( {{m_1} + {m_2}} \right)g = \left( {{m_1} + {m_2}} \right)a\)

\( \Rightarrow a = \dfrac{{F - \mu \left( {{m_1} + {m_2}} \right)g}}{{{m_1} + {m_2}}} = \dfrac{{9 - 0,2\left( {2 + 1} \right)10}}{{2 + 1}} = 1\left( {m/{s^2}} \right)\)

- Chọn chiều dương hướng lên

- Các lực tác dụng lên hệ “thang máy và người” là: lực \(\overrightarrow F \), các trọng lực \(\overrightarrow P ,\overrightarrow p \)

- Áp dụng định luật II - Niutơn, ta có:

\(\overrightarrow F  + \overrightarrow P  + \overrightarrow p  = \left( {M + m} \right)\overrightarrow a {\rm{                    }}\left( 1 \right)\)

Chiếu (1), ta được:

\(\begin{array}{l}F - Mg - mg = \left( {M + m} \right)a\\ \to a = \frac{{F - \left( {M + m} \right)g}}{{\left( {M + m} \right)}} = \frac{F}{{M + m}} - g{\rm{           }}\left( 2 \right)\end{array}\)

 Thay số, ta được:

\(a = \frac{{600}}{{100 + 3}} - 10 =  - 4,17m/{s^2}\)

Chọn chiều dương là chiều chuyển động chuyển động của các vật

Phân tích các lực tác dụng lên vật ta có:

Ta có khi thả vật A đi xuống và vật B sẽ đi lên do đó \({m_A} > {m_B}\) và có \({T_A} = {T_B} = T\), \({a_A} = {a_B} = a\)

Áp dụng định vật II Newton ta với vật A ta được: \(\overrightarrow {{T_A}}  + \overrightarrow {{P_A}}  = {m_A}a\)

chiếu lên chiều dương ta được: \({P_A} - T = {m_A}a\)

\( \Leftrightarrow {m_A}g - T = {m_A}a\)(1)

Áp dụng định vật II Newton ta với vật B ta được: \(\overrightarrow {{T_B}}  + \overrightarrow {{P_B}}  = {m_B}a\)

chiếu lên chiều dương ta được: \({P_B} + T = {m_B}a\)

\( \Leftrightarrow {m_B}g - T = {m_B}a\)(2)

Cộng 2 vế của (1) và (2) ta được: \(\left( {{m_A} + {m_B}} \right)g = \left( {{m_A} + {m_B}} \right)a\)

\( \Rightarrow a = \dfrac{{{m_A} - {m_B}}}{{{m_A} + {m_B}}}g = 10.\dfrac{{600 - 400}}{{600 + 400}} = 2\left( {m/{s^2}} \right)\)

- Vì bỏ qua khối lượng ròng rọc nên ta có: \(T' = 2T \to T = \frac{{T'}}{2} = \frac{{52,3}}{2} = 26,15N\)

\({m_1} > {m_2} \to {m_1}\) đi xuống, \({m_2}\) đi lên.

- Chọn chiều dương là chiều chuyển động của hệ

- Các lực tác dụng lên hệ gồm: các trọng lực \(\overrightarrow {{P_1}} ;\overrightarrow {{P_2}} \)

- Viết phương trình định luật II - Niutơn, ta được:

 \(\overrightarrow {{P_1}}  + \overrightarrow {{P_2}}  = \left( {{m_1} + {m_2}} \right)\overrightarrow a {\rm{               }}\left( 1 \right)\)

- Chiếu (1) lên chiều dương, ta được:

\(\begin{array}{l}{P_1} - {P_2} = \left( {{m_1} + {m_2}} \right)a \leftrightarrow {m_1}g - {m_2}g = \left( {{m_1} + {m_2}} \right)a\\ \to a = \frac{{{m_1} - {m_2}}}{{{m_1} + {m_2}}}g = \frac{{2{m_2} - {m_2}}}{{2{m_2} + {m_2}}}g = \frac{1}{3}.9,8 = 3,27m/{s^2}\end{array}\)

Xét riêng vật \({m_2}\), ta có:

\(\begin{array}{l}T - {P_2} = {m_2}a \to T - {m_2}g = {m_2}a\\ \to {m_2} = \frac{T}{{g + a}} = \frac{{26,15}}{{9,8 + 3,27}} = 2kg\end{array}\)

Chọn chiều dương và phân tích các lực tác dụng như hình vẽ sau:

Áp dụng định luật II Newton ta có:

\(\overrightarrow {{F_3}}  + \overrightarrow {{P_3}}  + \overrightarrow {{N_3}}  + \overrightarrow {{T_4}}  + \overrightarrow {{T_3}}  + \overrightarrow {{F_{m{\rm{s}}}}}  + \overrightarrow {{P_2}}  + \overrightarrow {{N_2}}  + \overrightarrow {{T_2}}  + \overrightarrow {{T_1}}  + \overrightarrow {{P_1}}  = m\overrightarrow a \)

Khi chiếu lên hệ trục ta có:

\(\begin{array}{l}mg - {T_1} = m{a_1}\\{T_2} - {T_3} - {F_{m{\rm{s}}}} = m{a_2}\\{T_4} - {F_{m{\rm{s}}}} = m{a_3}\end{array}\) (I)

ta có: \(\begin{array}{l}{T_1} = {T_2} = T\\{T_3} = {T_4} = T'\\{a_1} = {a_2} = {a_3} = {a_4} = a\end{array}\)

thay vào  (I) ta được:

\(\begin{array}{l}mg - T = ma\\T - T' - {F_{m{\rm{s}}}} = ma\\T' - {F_{m{\rm{s}}}} = ma\end{array}\)

Cộng các vế của 3 phương trình ta được: \(mg - 2{F_{m{\rm{s}}}} = 3ma\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow mg - 2\mu N = 3ma\\ \Leftrightarrow mg - 2\mu mg = 3ma\\ \Rightarrow a = \dfrac{{1 - 2\mu }}{3}g = \dfrac{{1 - 0,2.2}}{3}.10 = 2m/{s^2}\end{array}\)

- Các lực tác dụng lên vật \({m_1}\): trọng lực \(\overrightarrow {{P_1}} \) , phản lực \(\overrightarrow {{Q_1}} \) của mặt sàn, lực căng \(\overrightarrow {{T_1}} \) của dây.

- Các lực tác dụng lên vật \({m_2}\): trọng lực \(\overrightarrow {{P_2}} \) , lực căng \(\overrightarrow {{T_2}} \)  của dây.

- Áp dụng định luật II - Niutơn, ta được:

\(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{P_1}}  + \overrightarrow {{Q_1}}  + \overrightarrow {{T_1}}  = {m_1}\overrightarrow {{a}} {\rm{                }}\left( 1 \right)\\\overrightarrow {{P_2}}  + \overrightarrow {{T_2}}  = {m_2}\overrightarrow a {\rm{                        }}\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

+ Chiếu (1) lên chiều chuyển động của vật 1, ta được: \({T_1} = {m_1}a{\rm{              }}\left( 3 \right)\)  

+ Chiếu (2) lên chiều chuyển động của vật 2, ta được: \({P_2} - {T_2} = {m_2}a{\rm{             }}\left( 4 \right)\)

Vì dây không dãn và khối lượng không đáng kể nên ta có: \({T_1} = {T_2}\)  

Từ (3) và (4), ta suy ra: \(a = \frac{{{m_2}g}}{{{m_1} + {m_2}}} = \frac{{0,4.10}}{{1,6 + 0,4}} = 2m/{s^2}\)

Lực nén lên ròng rọc: \(\overrightarrow F  = \overrightarrow {T{'_1}}  + \overrightarrow T {'_2}\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}T{'_1} = {T_1} = {m_1}a = 1,6.2 = 3,2N\\T{'_2} = {T_2} = {T_1} = 3,2N\end{array} \right.\)

Vì  \(\overrightarrow {T{'_1}}  \bot \overrightarrow {T{'_2}} \)

suy ra \(F = \sqrt {3,{2^2} + 3,{2^2}}  = 3,2\sqrt 2 N\)

Chọn hệ trục Oxy và phân tích các lực tác dụng như hình vẽ sau:

Áp dụng định luật Newton ta được:

\(\overrightarrow P  + \overrightarrow N  + \overrightarrow {{F_{m{\rm{s}}}}}  = m\overrightarrow a \)

Chiếu lên trục Oy ta được: \( - Pco{\rm{s}}\alpha {\rm{ + N = 0}}\)

\( \Rightarrow N = mgcos\alpha \)(1)

Chiếu lên trục Ox ta được: \(P\sin \alpha  - {F_{m{\rm{s}}}} = m{a_x}\)

\( \Rightarrow mg\sin \alpha  - \mu N = m{a_x}\)(2)

từ (1) và (2) suy ra được: \(mg\sin \alpha  - \mu mgco{\rm{s}}\alpha {\rm{ = m}}{{\rm{a}}_x}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {a_x} = g\left( {\sin \alpha  - \mu co{\rm{s}}\alpha } \right)\\ \Rightarrow {a_x} = 10\left( {\sin {{30}^ \circ } - \mu co{\rm{s}}{{30}^ \circ }} \right)\\ \Rightarrow {a_x} = 10\left( {\dfrac{1}{2} - 0,3464.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) = 2\left( {m/{s^2}} \right)\end{array}\)

Phân tích các lực tác dụng ta có hình vẽ:

Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ

Áp dụng định luật II Newton ta có: \(\overrightarrow F  + \overrightarrow P  + \overrightarrow N  + \overrightarrow {{F_{m{\rm{s}}}}}  = 0\)(1)

(a = 0 khi vật đứng yên trên mặt phẳng nghiêng )

Chiếu (1) lên Oy ta được: \(N - Pco{\rm{s}}\alpha {\rm{ - F}}\sin \alpha  = 0\)

\( \Rightarrow N = Pco{\rm{s}}\alpha {\rm{ + F}}\sin \alpha \)

ta có: \({F_{m{\rm{s}}}} = \mu N \Rightarrow {F_{m{\rm{s}}}} = \mu \left( {Pco{\rm{s}}\alpha {\rm{ + F}}\sin \alpha } \right) = \mu \left( {mgco{\rm{s}}\alpha {\rm{ + F}}\sin \alpha } \right)\)

Chiếu (1) lên Ox ta được: \(P\sin \alpha  - Fco{\rm{s}}\alpha  - {{\rm{F}}_{m{\rm{s}}}} = 0\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow Fco{\rm{s}}\alpha  = P\sin \alpha  - {F_{m{\rm{s}}}}\\ \Rightarrow Fco{\rm{s}}\alpha  = mg\sin \alpha  - \mu mgco{\rm{s}}\alpha {\rm{ - }}\mu {\rm{F}}\sin \alpha \\ \Rightarrow F = \dfrac{{mg\left( {\sin \alpha  - \mu co{\rm{s}}\alpha } \right)}}{{co{\rm{s}}\alpha {\rm{ + }}\mu {\rm{sin}}\alpha }}\\ \Rightarrow F = \dfrac{{mg\left( {tg\alpha  - \mu } \right)}}{{1 + \mu .tg\alpha }}\end{array}\)

Phân tích các lực tác dụng ta có hình vẽ:

Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ.

Giả thiết m1 trượt xuống mặt phẳng nghiêng và m2 đi lên, lúc đó hệ lực có chiều như hình vẽ. Vật chuyển động nhanh dần đều nên với chiều dương đã chọn, nếu ta tính được a > 0 thì chiều chuyển động đã giả thiết là đúng.

Áp dụng định luật II Newton cho vật I: \(\overrightarrow {{P_1}}  + \overrightarrow N  + \overrightarrow {{T_1}}  + \overrightarrow {{F_{m{\rm{s}}}}}  = {m_1}\overrightarrow {{a_1}} \)

Chiếu lên hệ tọa độ Ox ta được: \({m_1}g{\rm{sin}}\alpha  - T - \mu N = ma\)(1)

Chiếu lên Oy ta có: \( - {m_1}gco{\rm{s}}\alpha {\rm{ + N = 0}}\)

thay vào (1) ta được: \({m_1}g\sin \alpha  - T - \mu {m_1}gco{\rm{s}}\alpha {\rm{ = ma}}\)(2)

Áp dụng định luật II Newton cho vật II: \(\overrightarrow {{P_2}}  + \overrightarrow {{T_2}}  = {m_2}\overrightarrow {{a_2}} \)

chiếu lên hệ Oxy ta được: \( - {m_2}g + T = {m_2}a\)(3)

Cộng (2) và (3) ta được: \({m_1}g\sin \alpha  - \mu {m_1}gco{\rm{s}}\alpha {\rm{ = }}\left( {{m_1} + {m_2}} \right)a\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow a = \dfrac{{{m_1}g\sin \alpha  - \mu {m_1}co{\rm{s}}\alpha  - {{\rm{m}}_2}g}}{{{m_1} + {m_2}}}\\ \Rightarrow a = \dfrac{{3.10.\dfrac{1}{2} - 0,1.3\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} - 1.10}}{4} \approx 0,6\left( {m/{s^2}} \right)\end{array}\)

a > 0 nên chiều chuyển động giả sử là đúng

từ đó: \(T = {m_2}\left( {g + a} \right) = 1\left( {10 + 0,6} \right) = 10,6N\)

Phân tích các lực tác dụng ta có:

Áp dụng định luật Newton cho vật 1 ta có: \(\overrightarrow F  + \overrightarrow N  + \overrightarrow {{P_1}}  + \overrightarrow {{T_1}}  = {m_1}\overrightarrow {{a_1}} \)

chiếu lên chiều dương ta có: \(Fco{\rm{s}}\alpha  - {T_1} = {m_1}{a_1}\)(1)

Áp dụng định luật Newton cho vật 2 ta có: \(\overrightarrow {{T_2}}  = {m_2}\overrightarrow {{a_2}} \)

chiếu lên chiều dương ta có: \({T_2} = {m_2}{a_2}\)(2)

Ta có: \(\begin{array}{l}{a_1} = {a_2} = a\\{T_1} = {T_2} = T\end{array}\)

thay a và T vào (1) và (2), từ đó ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{Fco{\rm{s}}\alpha  - T = {m_1}a}\\{T = {m_2}a}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow T = \dfrac{{Fco{\rm{s3}}{{\rm{0}}^ \circ }{m_2}}}{{{m_1} + {m_2}}} = \dfrac{{2.6.co{\rm{s3}}{{\rm{0}}^ \circ }}}{3} = 2\sqrt 3 \left( N \right)\)

ta có: \(a = {a_2} = \dfrac{T}{{{m_2}}} = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 \left( {m/{s^2}} \right)\)

Ta có:

\({V_1} = 1{\rm{d}}{m^3} = 0,001{m^3}\)

\({\rho _1} = 7800{\rm{ }}kg/{m^3}\)

\({\rho _2} = 1000kg/{m^3}\)

Khối lượng khối sắt đó là:

\({m_1} = {\rho _1}{V_1} = 7800.0,001 = 7,8\left( g \right)\)

Để cân thăng bằng thì khối lượng nước bằng với khối lượng khối sắt đó, thể tích nước là:

\({V_2} = \frac{{{m_1}}}{{{\rho _2}}} = \frac{{7,8}}{{1000}} = 0,0078\left( {{m^3}} \right) = 7,8\left( l \right)\)

Thể tích của hình hộp chữ nhật là: \(V = 2{\rm{x}}3{\rm{x1,5 = 9}}\left( {{m^3}} \right)\)

Áp dụng công thức tính khối lượng riêng: \(\rho  = \dfrac{m}{V}\)

ta có khối lượng của khối đá đó là: \(m = \rho .V = 2750.9 = 24750\left( {kg} \right)\)

Gọi V là thể tích của vật; \({V_{cn}}\) là phần thể tích vật bị chìm trong nước; \({V_{cd}}\) là phần thể tích vật bị chìm trong dầu.

Thể tích của vật là: \(V = 20.20.5 = 1000c{m^3} = {10^{ - 3}}{m^3}\)

Trọng lượng của vật là: \(P = mg = \rho Vg = {1840.10^{ - 3}}.10 = 18,4N\)

Mặt bàn nằm ngang nên áp lực đúng bằng trọng lượng của vật:\(F = P = 18,4N\)

Ta có khi diện tích tiếp xúc là lớn nhất thì áp suất tác dụng lên bàn là nhỏ nhất

Diện tích mặt tiếp xúc lớn nhất giữa vật với mặt bàn: \(S = 20.10 = 200c{m^2} = {2.10^{ - 2}}{m^2}\)

Áp suất nhỏ nhất tác dụng lên mặt bàn: \(p = \dfrac{F}{{{S_1}}} = \dfrac{{18,4}}{{{{2.10}^{ - 2}}}} = 920Pa\)

Tại một điểm trong lòng chất lỏng, áp suất tác dụng theo mọi phương và có giá trị như nhau.

* Đối với vật A ta có:  \(\overrightarrow {{P_1}}  + \overrightarrow {{Q_1}}  + \overrightarrow F  + \overrightarrow {{T_1}}  + \overrightarrow {{F_{ms1}}}  = {m_1}\overrightarrow {{a_1}} \)

Chiếu theo phương chuyển động và phương vuông góc với phương chuyển động (chiều dương hướng lên) ta có: 

\(\left\{ \begin{array}{l}
F - {T_1} - {\rm{ }}{F_{1ms}} = {m_1}{a_1}\\
- {m_1}g + {Q_1} = 0
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
F - {T_1} - {\rm{ }}{F_{1ms}} = {m_1}{a_1}\\
{Q_1} = {m_1}g \Rightarrow {N_1} = {Q_1} = {m_1}g
\end{array} \right.\)

Với \({F_{1ms}} = \mu {N_1} = \mu {m_1}g \Rightarrow F - {T_1} - {\rm{ }}\mu {m_1}g = {m_1}{a_1}\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)         

* Đối với vật B: \(\overrightarrow {{P_2}}  + \overrightarrow {{Q_2}}  + \overrightarrow {{T_2}}  + \overrightarrow {{F_{ms2}}}  = {m_2}\overrightarrow {{a_2}} \)

Chiếu theo phương chuyển động và phương vuông góc với phương chuyển động (chiều dương hướng lên) ta có: 

\(\left\{ \begin{array}{l}
{T_2} - {F_{2ms}} = {m_2}{a_2}\\
- {m_2}g + {Q_2} = 0
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{T_2} - {F_{2ms}} = {m_2}{a_2}\\
{Q_2} = {m_2}g \Rightarrow {N_2} = {Q_2} = {m_2}g
\end{array} \right.\)

Với \({F_{2ms}} = \mu {N_2} = \mu {m_2}g \Rightarrow {T_2} - {\rm{ }}\mu {m_2}g = {m_2}{a_2}\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Vì  dây không dãn nên: 

\(\left\{ \begin{array}{l}
{T_1} = {T_2} = T\\
{a_1} = {a_2} = a
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
F - T - {\rm{ }}\mu {m_1}g = {m_1}a\,\,\,\left( 3 \right)\\
T - {\rm{ }}\mu {m_2}g = {m_2}a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 4 \right)
\end{array} \right.\)

Cộng (3) và (4) ta được : \(F - \mu \left( {{m_1} + {m_2}} \right)g = \left( {{m_1} + {m_2}} \right)a\)

\( \Rightarrow a = \dfrac{{F - \mu ({m_1} + {m_2}).g}}{{{m_1} + {m_2}}} = \dfrac{{9 - 0,2(2 + 1).10}}{{2 + 1}} = 1m/{s^2}\)

Độ cao của cột nước trong bình là: \(h = \dfrac{V}{S} = \dfrac{{0,001}}{{{{50.10}^{ - 4}}}} = 0,2\left( m \right)\)

Áp dụng phương trình cơ bản của chất lưu đứng yên ta có độ chênh lệch áp suất suất giữa đáy bình và mặt thoáng của nước là:

\(\Delta p = \rho g\Delta h = 1000.9,8.0,2 = 1960\left( {Pa} \right)\)