Cơ năng và định luật bảo toàn cơ năng
Sách kết nối tri thức với cuộc sống
Trong quá trình rơi tự do của một vật thì:
Trong quá trình rơi tự do của một vật thì: Động năng tăng, thế năng giảm.
Một vật được ném từ dưới lên. Trong quá trình chuyển động của vật thì:
Một vật được ném từ dưới lên. Trong quá trình chuyển động của vật thì động năng giảm, thế năng tăng
Cơ năng là đại lượng:
Cơ năng là đại lượng vô hướng, có thể âm, dương hoặc bằng không.
Đại lượng nào không đổi khi một vật được ném theo phương nằm ngang?
Trong suốt quá trình chuyển động thì cơ năng là đại lượng được bảo toàn => cơ năng không đối
Từ điểm A của một mặt bàn phẳng nghiêng, người ta thả một vật có khối lượng \(m = 0,2kg\) trượt không ma sát với vận tốc ban đầu bằng 0 rơi xuống đất. Cho \(AB = 50cm\), \(BC = 100cm\), \(AD = 130cm\), \(g = 10m/{s^2}\). Bỏ qua lực cản không khí. Vận tốc của vật tại điểm B có giá trị là?
Chọn mốc thế năng tại mặt đất
Vì bỏ qua ma sát nên cơ năng của vật được bảo toàn
Ta có:
+ Cơ năng của vật tại A: ${{\rm{W}}_A} = mgAD$ (động năng của vật bằng 0 vì \({v_0} = 0\))
+ Cơ năng của vật tại B: ${{\rm{W}}_B} = \dfrac{1}{2}mv_B^2 + mgBC$
Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng, ta có cơ năng của vật tại A bằng cơ năng của vật tại B
$\begin{array}{l}{{\rm{W}}_A} = {{\rm{W}}_B} \leftrightarrow mg.AD = \dfrac{1}{2}mv_B^2 + mg.BC\\ \leftrightarrow g.AD = \dfrac{1}{2}v_B^2 + g.BC\\ \leftrightarrow 10.1,3 = \dfrac{1}{2}v_B^2 + 10.1\\ \to {v_B} = \sqrt 6 \approx 2,45m/s\end{array}$
Một con lắc lò xo có độ cứng k = 250N/m được đặt nằm ngang. Một đầu gắn cố định, một đầu gắn một vật có khối lượng M = 100g, có thể chuyển động không ma sát trên mặt phẳng nằm ngang. Kéo vật lệch khỏi vị trí cân bằng một đoạn Δl = 5cm rồi thả nhẹ. Xác định tốc độ lớn nhất của vật.
Tại vị trí vật lệch khỏi vị trí cân bằng một đoạn Δl = 5cm rồi thả nhẹ, ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}{v_1} = 0\\\Delta {l_1} = 5cm = 0,05m\end{array} \right. \Rightarrow {{\rm{W}}_1} = \dfrac{1}{2}k.\Delta l_1^2\)
Khi qua vị trí cân bằng, ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}{v_2} = {v_{\max }}\\\Delta {l_2} = 0\end{array} \right. \Rightarrow {{\rm{W}}_2} = \dfrac{1}{2}M.v_{\max }^2\)
Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng ta có:
\(\begin{array}{l}{{\rm{W}}_1} = {{\rm{W}}_2} \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}k.\Delta l_1^2 = \dfrac{1}{2}M.v_{\max }^2 \Rightarrow {v_{\max }} = \sqrt {\dfrac{{k.\Delta l_1^2}}{M}} \\ \Rightarrow {v_{\max }} = \sqrt {\dfrac{{250.0,{{05}^2}}}{{0,1}}} = 2,5m/s\end{array}\)
Thả một quả bóng tennit có khối lượng m = 20g từ độ cao h1 = 5m xuống mặt đất, nó nảy lên đến độ cao h2 = 3m. Lấy g = 10m/s2. Độ biến thiên cơ năng của quả tennis là
Chọn gốc thế năng tại mặt đất.
Độ biến thiên cơ năng của quả tennis là:
\({\rm{W}} = {{\rm{W}}_1} + {{\rm{W}}_2} = \left( {\dfrac{1}{2}mv_1^2 + mg{z_1}} \right) - \left( {\dfrac{1}{2}mv_2^2 + mg{z_2}} \right)\)
Do: \(\left\{ \begin{array}{l}{v_1} = 0\\{v_2} = 0\end{array} \right. \Rightarrow {{\rm{W}}_1} - {{\rm{W}}_2} = mg{z_1} - mg{z_2} = 0,02.10.\left( {5 - 3} \right) = 0,4J\)
Một vật rơi tự do từ độ cao 120m. Lấy g = 10m/s2. Bỏ qua sức cản của không khí. Động năng của vật gấp đôi thế năng tại độ cao
Chọn gốc thế năng tại mặt đất.
Cơ năng của vật tại vị trí vật bắt đầu rơi tự do:
\({{\rm{W}}_1} = {{\rm{W}}_{d1}} + {{\rm{W}}_{t1}} = \dfrac{1}{2}m.v_1^2 + mg.{z_1} = m.g.120 = 120.mg\,\,\left( J \right)\)
Cơ năng của vật tại vị trí có động năng gấp đôi thế năng là:
\(\left\{ \begin{array}{l}{{\rm{W}}_2} = {{\rm{W}}_{d2}} + {{\rm{W}}_{t2}}\\{{\rm{W}}_{d2}}{\rm{ = 2}}{{\rm{W}}_{t2}}\end{array} \right. \Rightarrow {{\rm{W}}_2} = {\rm{2}}{{\rm{W}}_{t2}} + {{\rm{W}}_{t2}} = 3{{\rm{W}}_{t2}}\)
Cơ năng được bảo toàn nên:
\(\begin{array}{l}{{\rm{W}}_1} = {{\rm{W}}_2} \Leftrightarrow 3{{\rm{W}}_{t2}} = {{\rm{W}}_1} \Leftrightarrow 3.mg.{z_2} = 120.mg\\ \Leftrightarrow {z_2} = \dfrac{{120}}{3} = 40\,\left( m \right)\end{array}\)
Một vật nặng nhỏ m chuyển động từ đỉnh A có độ cao 3m theo mặt phẳng nghiêng AB, sau đó chuyển động thẳng đứng lên trên đến C có độ cao 4m. Bỏ qua mọi ma sát, lấy g = 10m/s2. Tính vận tốc ban đầu của vật tại A và B.
Trong quá trình chuyển động từ A → B → C cơ năng của vật được bảo toàn.
Chọn mốc thế năng tại B, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{z_B} = 0\\{z_A} = 3m\\{z_C} = 4m\end{array} \right.\)
Cơ năng tại C:
\(\begin{array}{l}{{\rm{W}}_C} = {{\rm{W}}_{tC}} + {{\rm{W}}_{dC}} = mg{z_C} + \dfrac{1}{2}mv_C^2 = mg{z_C} = 10.m.4\\ \Rightarrow {{\rm{W}}_C} = 40.m\,\,\left( J \right)\end{array}\)
Cơ năng tại A:
\(\begin{array}{l}{{\rm{W}}_A} = {{\rm{W}}_{tA}} + {{\rm{W}}_{dA}} = mg{z_A} + \dfrac{1}{2}mv_A^2 = 10.m.3 + \dfrac{1}{2}mv_A^2\\ \Rightarrow {{\rm{W}}_A} = 30m + \dfrac{1}{2}mv_A^2\,\,\left( J \right)\end{array}\)
Cơ năng được bảo toàn nên:
\({{\rm{W}}_A} = {{\rm{W}}_C} \Leftrightarrow 30m + \dfrac{1}{2}mv_A^2\, = 40m \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}v_A^2\, = 10 \Rightarrow {v_A} = \sqrt {20} \,m/s\)
Cơ năng tại B:
\({{\rm{W}}_B} = {{\rm{W}}_{tB}} + {{\rm{W}}_{dB}} = mg{z_B} + \dfrac{1}{2}mv_B^2 = \dfrac{1}{2}mv_B^2\,\,\,\left( J \right)\)
Cơ năng được bảo toàn nên:
\({{\rm{W}}_B} = {{\rm{W}}_C} \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}mv_B^2 = 40m \Rightarrow {v_B} = \sqrt {80} \,m/s\)
Một vật có khối lượng 600g trượt không tốc độ đầu từ đỉnh mặt phẳng nghiêng AB dài 3m, nghiêng 1 góc a = 300 so với mặt phẳng ngang. Cho g = 10m/s2. Chọn gốc thế năng tại chân mặt phẳng nghiêng. Bỏ qua ma sát tính cơ năng của vật ở đỉnh mặt phẳng nghiêng và tốc độ vật khi tới chân mặt phẳng nghiêng
Vật chỉ chịu tác dụng của trọng lực nên cơ năng của vật được bảo toàn.
Chọn gốc thế năng tại chân mặt phẳng nghiêng
+ Xét tại A:
Cơ năng: \({{\rm{W}}_A} = {{\rm{W}}_{dA}} + {{\rm{W}}_{tA}} = \dfrac{1}{2}mv_A^2 + mg{z_A}\)
Với:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{v_A} = 0\\{z_A} = AH = AB.\sin \alpha = 3.\sin 30 = 1,5m\end{array} \right.\\ \Rightarrow {{\rm{W}}_A} = 0,6.10.1,5 = 9J\end{array}\)
+ Xét tại B:
Cơ năng: \({{\rm{W}}_B} = {{\rm{W}}_{dB}} + {{\rm{W}}_{tB}} = \dfrac{1}{2}mv_B^2 + mg{z_B}\)
Với \({{\rm{z}}_B}{\rm{ = 0}} \Rightarrow {{\rm{W}}_B} = \dfrac{1}{2}mv_B^2 = 0,3.v_B^2\)
Có: \({{\rm{W}}_A}{\rm{ = }}{{\rm{W}}_B} \Leftrightarrow 0,3.v_B^2 = 9 \Rightarrow {v_B} = 5,48m/s\)
Một hòn bi có khối lượng 50g được ném thẳng đứng lên cao với vận tốc 6m/s từ độ cao 1,2m so với mặt đất. Chọn gốc thế năng tại mặt đất, lấy g = 10m/s2. Độ cao cực đại mà bi đạt được
+ Tại vị trí ném ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}{v_1} = 6m/s\\{z_1} = 1,2m\end{array} \right.\)
Cơ năng của vật : \({{\rm{W}}_1} = \dfrac{1}{2}mv_1^2 + mg{z_1} = \dfrac{1}{2}.0,{05.6^2} + 0,05.10.1,2 = 1,5J\)
+ Tại vị trí vật có độ cao cực đại : \(\left\{ \begin{array}{l}{v_2} = 0\\{z_2} = {h_{\max }}\end{array} \right.\)
Cơ năng của vật : \({{\rm{W}}_2} = mg{z_2} = 0,05.10.{h_{\max }} = 0,5.{h_{\max }}\,\,\left( J \right)\)
+ Cơ năng của vật được bảo toàn nên :
\({{\rm{W}}_1}{\rm{ = }}{{\rm{W}}_2} \Leftrightarrow 0,5.{h_{\max }} = 1,5 \Rightarrow {h_{\max }} = 3m\)
Một vật có khối lượng 1 kg được ném thẳng đứng lên từ mặt đất với vận tốc đầu là 10 m/s. Lấy g = 10 m/s2.
a) Tính động năng, thế năng, của vật ở mặt đất và ở vị trí có độ cao cực đại?
b) Tính độ cao cực đại?
c) Ở độ cao nào thế năng của vật bằng 1/3 động năng của nó?
Chọn mốc thế năng ở mặt đất.
Vì vật chỉ chịu tác dụng của trọng lực nên cơ năng bảo toàn
a) Ở mặt đất:
Wđ = 0,5mv2 = 0,5.1.102 = 50J
Wt = mgh = 0
Khi vật lên đến độ cao cực đại vận tốc bằng 0 nên động năng = 0
Thế năng khi đó = Cơ năng nên Wt’ Wđ + Wt = 50J
b) Gọi h0 là độ cao cực đại của vật:
Wt’ = mgh0 => 1.10.h0 = 50 => h0 = 5m
c) Khi \({{\text{W}}_{t}}=\frac{1}{3}{{\text{W}}_{d}}\Rightarrow {{\text{W}}_{t}}=\frac{1}{4}\text{W}\Rightarrow mgh'=\frac{1}{4}.50\Rightarrow h'=1,25m\)
Vật đang chuyển động với vận tốc 15 m/s thì trượt lên dốc. Biết dốc dài 50m, cao 25m, hệ số ma sát giữa vật và dốc là 0,2. Lấy g = 10m/s2. Quãng đường vật đi được đến khi dừng lại là bao nhiêu? Vật có lên hết dốc không?
Vì có ma sát nên cơ năng không bảo toàn. Chọn mốc thế năng tại chân dốc
Gọi C là vị trí có vận tốc bằng 0.
+ Tại B có:
\(\left\{ \begin{array}{l}{v_B} = 15m/s\\{z_B} = 0\end{array} \right.\) \( \Rightarrow {{\rm{W}}_B} = {{\rm{W}}_{dB}} + {{\rm{W}}_{tB}} = \dfrac{1}{2}mv_B^2 = 112,5.m\,\,\left( J \right)\)
+ Tại C có:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{v_C} = 0\\{z_C} = BC.\sin \alpha = BC.\dfrac{{25}}{{50}} = 0,5.BC\,\,\,\left( m \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow {{\rm{W}}_C} = {{\rm{W}}_{tC}} = mg{z_C} = m.10.0,5.BC = 5.BC.m\,\,\left( J \right)\end{array}\)
Độ lớn lực ma sát :
\({F_{ms}} = \mu mg.\cos \alpha = \mu mg.\sqrt {1 - 0,{5^2}} = 0,2.m.10.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 \,.m\,\left( N \right)\)
Do công của lực ma sát bằng độ biến thiên của cơ năng nên:
\(\begin{array}{l}{{\rm{W}}_C} - {{\rm{W}}_B} = {A_{\overrightarrow {{F_{ms}}} }} \Leftrightarrow 5.BC.m - 112,5.m = \sqrt 3 .m.BC.\cos 180\\ \Leftrightarrow 5.BC - 112,5 = - \sqrt 3 .BC \Rightarrow BC = 16,71m\end{array}\)
Vì BC < AB → Vật không lên được hết dốc
Tại điểm A cách mặt đất 5m một vật có khối lượng 4 kg được ném thẳng đứng lên trên với vận tốc đầu 10 m/s. Lấy g = 10 m/s2. Chọn mốc thế năng tại mặt đất. Bỏ qua lực cản không khí.Tốc độ của vật khi vật đi được quãng đường 7 m kể từ vị trí ném vật là:
+ Cơ năng tại A:
\({{\rm{W}}_A} = \dfrac{1}{2}.m.{v^2} + m.g.z = \dfrac{1}{2}{.4.10^2} + 4.10.5 = 400\left( J \right)\)
Gọi vị trí cao nhất mà vật có thể đạt được là D. Gọi C là vị trí vật đi được 7m kể từ vị trí ném.
+ Cơ năng tại D: \({W_D} = m.g.{z_D}\)
Áp dụng bảo toàn cơ năng cho A và D ta có:
\({{\rm{W}}_A} = {{\rm{W}}_D} \Rightarrow 400 = m.g.{z_D} \Rightarrow {z_D} = 10m\)
Vậy độ cao cực đại vật có thể đạt được là : \({h_{max}} = 10m\)
Vậy khi đi lên từ A đến D, vật đi được quãng đường 5m; sau đó rơi xuống 2m thì vật sẽ đi được quãng đường 7m.
Vậy tọa độ của điểm C là: \({z_C} = 8m\)
Áp dụng bảo toàn cơ năng cho A và C ta có:
\(\begin{array}{l}{{\rm{W}}_A} = {{\rm{W}}_C} = 400J \Rightarrow 400 = m.g.{z_C} + \dfrac{1}{2}.m.v_C^2\\ \Rightarrow 400 = 4.10.8 + \dfrac{1}{2}.4.v_C^2 \Rightarrow {v_C} = 2\sqrt {10} \left( {m/s} \right)\end{array}\)
Một vật \(m = 1kg\) rơi từ O không vận tốc đầu ở độ cao \(120m\) xuống mặt đất. Chọn mốc thế năng tại mặt đất. Lấy \(g = 10m/{s^2}\).
a) Tính thế năng của vật tại vị trí thả vật.
b) Xác định độ cao mà tại đó vật có động năng bằng hai thế năng?
Chọn mốc thế năng tại mặt đất.
a) Tại vị trí thả vật có: \(\left\{ \begin{array}{l}v = 0\\m = 1kg\\g = 10m/{s^2}\\{h_0} = 120m\end{array} \right.\)
Thế năng của vật tại vị trí đó là:
\({W_t} = mgh = 1.10.120 = 1200J\)
b)
Cơ năng của vật tại vị trí thả vật:
\({W_0} = {W_{d0}} + {W_{t0}} = \frac{1}{2}m{v^2} + mg{h_0} = mg{h_0}\)
Cơ năng của vật tại vị trí động năng bằng hai lần thế năng \({W_d} = 2{W_t}\) là:
\(W = {W_t} + {W_d} = {W_t} + 2{W_d} = 3{W_t} = 3mg.h\)
Cơ năng được bảo toàn nên:
\(W' = W \Leftrightarrow 3mg.h = mg.{h_0}\)
\( \Rightarrow h = \dfrac{{{h_0}}}{3} = \dfrac{{120}}{3} = 40m\)
Một viên bi khối lượng m chuyển động trên mặt phẳng ngang không ma sát với vận tốc \(\overrightarrow {{v_0}} \) rồi đi lên mặt phẳng nhẵn và nghiêng góc \(\alpha \) (hình vẽ). Bi đi được quãng đường s thì dừng lại, khi đó nó có độ cao H so với mặt đất. Phương trình nào sau đây diễn tả định luật bảo toàn cơ năng của bi:
Cơ năng của vật khi vật chuyển động trên mặt phẳng ngang: \(W = \dfrac{1}{2}mv_0^2\)
Cơ năng của vật khi vật ở độ cao h so với mặt đất: \(W' = mgH\)
Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng ta có: \(W = W' \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}mv_0^2 = mg.H\).