Bài tập cơ năng và định luật bảo toàn cơ năng

Chọn mốc thế năng tại vị trí ném vật

Cơ năng tại vị trí ném là:

\({{\rm{W}}_1} = {{\rm{W}}_{d1}} + {{\rm{W}}_{t1}} = \dfrac{1}{2}mv_1^2 + mg{h_1} = \dfrac{1}{2}.0,{2.2^2} + 0,2.10.0 = 1J\)

Theo định luật bảo toàn cơ năng ta có cơ năng tại vị trí cao nhất bằng với cơ năng tại vị trí ném nên ta có cơ năng tại vị trí cao nhất là 1J

Mốc thế năng tại mặt đất.

Cơ năng của vật tại mặt đất là:

\({{\rm{W}}_1} = {{\rm{W}}_{d1}} + {{\rm{W}}_{t1}} = \dfrac{1}{2}mv_1^2 + mg{h_1} = \dfrac{1}{2}.0,{5.10^2} + 0,2.9,8.5 = 25J\)

Cơ năng tại độ cao \(h'\) là:

\({{\rm{W}}_2} = {{\rm{W}}_{d2}} + {{\rm{W}}_{t2}} = \dfrac{1}{2}mv_2^2 + mg{h_1} = \dfrac{1}{2}.0,{5.6^2} + 0,5.10.h' = 9 + 5h'\)

Theo định luật bảo toàn cơ năng ta có: \({{\rm{W}}_1} = {{\rm{W}}_2}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 9 + 4,9h' = 25\\ \Rightarrow h' = 3,2m\end{array}\)

Độ cao \(h' = 3,2m\)

Chọn mặt đất làm gốc tính thế năng, chiều từ mặt đất lên cao là chiều dương. Trường hợp này, vật chuyển động chậm dần đều từ độ cao \({z_0}\) với gia tốc \(g\) và vận tốc đầu \({v_0}\), nên vận tốc \(v\) và độ cao \(z\) của vật sau khoảng thời gian \(t\) được tính theo các công thức chuyển động biến đổi

Vận tốc của \(v\) của vật là: \(v = gt + {v_0} =  - 10.0,5 + 10 = 5m/s\)

Độ cao z của vật là: \(z = \dfrac{{g{t^2}}}{2} + {v_0}t + {z_0} = \dfrac{{ - 10.0,{5^2}}}{2} + 10.5 + 5 = 11,25\left( m \right)\)

Cơ năng tại vị trí độ cao z là: \({\rm{W}} = {{\rm{W}}_d} + {{\rm{W}}_t} = \dfrac{1}{2}m{v^2} + mg{\rm{z}}\)

Thay số ta tìm được \({\rm{W}} \approx 12,5J\)

Cơ năng khi cá heo mới vọt khỏi mặt biển: \({{\rm{W}}_1} = {{\rm{W}}_{d1}} + {{\rm{W}}_{t1}} = \dfrac{1}{2}m{v^2}\)

Cơ năng khi đạt tới độ cao 5m: \({{\rm{W}}_2} = {{\rm{W}}_{d2}} + {{\rm{W}}_{t2}} = mgh\)

Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng tại thời điểm mới vượt khỏi mặt biển và khi đạt độ cao 5m ta có:

\(\dfrac{1}{2}m{v^2} = mgh\)

\( \Rightarrow \dfrac{1}{2}{v^2} = 10.5 \Rightarrow v = 10m/s\)

Ta có \({\rm{W}} = {{\rm{W}}_d} + {{\rm{W}}_d}\)

mặt khác \({{\rm{W}}_d} = 3{W_t}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\rm{W}} = {{\rm{W}}_d} + {W_t} = 4{W_t}\\ \Rightarrow mgh = 4mgh'\\ \Rightarrow h' = \dfrac{h}{4} = \dfrac{{60}}{4} = 15m\end{array}\)

Chọn mặt đất làm gốc tính thế năng (\({W_t} = 0\)), chiều chuyển động của vật trên mặt dốc là chiều dương.

Do chịu tác dụng của lực ma sát (ngoại lực không phải là lực thế), nên cơ năng của vật không bảo toàn.

Trong trường hợp này, độ biến thiên cơ năng của vật có giá trị bằng công của lực ma sát:

\({{\rm{W}}_2} - {{\rm{W}}_1} = \left( {\dfrac{1}{2}m{v^2} + mg{\rm{z}}} \right) - \left( {\dfrac{1}{2}mv_0^2 + mg{{\rm{z}}_0}} \right) = {A_{m{\rm{s}}}}\)

\( \Rightarrow {A_{m{\rm{s}}}} = \left( {\dfrac{1}{2}{{.10.15}^2} - 10.20} \right) =  - 875J\)

Trong quá trình chuyển động từ A → B → C cơ năng của vật được bảo toàn.

Chọn mốc thế năng tại B, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{z_B} = 0\\{z_A} = 3m\\{z_C} = 4m\end{array} \right.\)

Cơ năng tại C:

\(\begin{array}{l}{{\rm{W}}_C} = {{\rm{W}}_{tC}} + {{\rm{W}}_{dC}} = mg{z_C} + \dfrac{1}{2}mv_C^2 = mg{z_C} = 10.m.4\\ \Rightarrow {{\rm{W}}_C} = 40.m\,\,\left( J \right)\end{array}\)

Cơ năng tại A:

\(\begin{array}{l}{{\rm{W}}_A} = {{\rm{W}}_{tA}} + {{\rm{W}}_{dA}} = mg{z_A} + \dfrac{1}{2}mv_A^2 = 10.m.3 + \dfrac{1}{2}mv_A^2\\ \Rightarrow {{\rm{W}}_A} = 30m + \dfrac{1}{2}mv_A^2\,\,\left( J \right)\end{array}\)

Cơ năng được bảo toàn nên:

\({{\rm{W}}_A} = {{\rm{W}}_C} \Leftrightarrow 30m + \dfrac{1}{2}mv_A^2\, = 40m \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}v_A^2\, = 10 \Rightarrow {v_A} = \sqrt {20} \,m/s\)

 Chọn mốc thế năng là vị trí va chạm

- Xét thời điểm ngay khi va chạm mềm giữa viên đạn và bao cát là hệ kín

- Áp dụng định luật bảo toàn động lượng của hệ

\({m_1}\overrightarrow {{v_1}}  = \left( {{m_1} + {m_2}} \right)\overrightarrow v \)

\(\overrightarrow v \) cùng hướng với \(\overrightarrow v \)

Vận tốc của đạn và bao cát sau va chạm:

\(v = {v_{12}} = \dfrac{{{m_1}{v_1}}}{{{m_1} + {m_2}}} = \dfrac{{m{v_0}}}{{m + M}} = \dfrac{{0,1.10}}{{0,1 + 0,4}} = 2\left( {m/s} \right)\)

Cơ năng của hệ ban đầu ( trước khi va chạm):

\(\begin{array}{l}{{\rm{W}}_1} = \left( {{{\rm{W}}_{d1}} + {{\rm{W}}_{t1}}} \right) + \left( {{{\rm{W}}_{d2}} + {{\rm{W}}_{t2}}} \right)\\ = \left( {\dfrac{1}{2}{m_1}v_1^2 + 0} \right) + \left( {0 + 0} \right) = \dfrac{1}{2}mv_0^2 = \dfrac{1}{2}.0,{1.10^2} = 5J\end{array}\)

Cơ năng của hệ lúc sau ( ngay sau va chạm):

\(\begin{array}{l}{{\rm{W}}_1} = \left( {{{\rm{W}}_{d12}} + {{\rm{W}}_{t12}}} \right) + \left( {{{\rm{W}}_{d2}} + {{\rm{W}}_{t2}}} \right)\\ = \left( {\dfrac{1}{2}{m_{12}}v_{12}^2 + 0} \right) = \dfrac{1}{2}\left( {0,1 + 0,2} \right){2^2} = 1J\end{array}\)

Sau khi cắm vào bao cát hệ chuyển động lên đến vị trí dây treo lệch với phương thẳng đứng một góc lớn nhất \({\alpha _0}\)  ứng với thế năng lớn nhất động năng bằng không vậy ta có:

\(\begin{array}{l}{\rm{W}} = {{\rm{W}}_{ma{\rm{x}}}} = {m_{12}}gl\left( {1 - co{\rm{s}}{\alpha _0}} \right)\\ \Rightarrow 1 = \left( {0,1 + 0,4} \right).10.1.\left( {1 - co{\rm{s}}{\alpha _0}} \right)\\ \Rightarrow co{\rm{s}}{\alpha _0} = 0,8 \Rightarrow {\alpha _0} \approx {37^ \circ }\end{array}\)

Khi viên đạn va chạm mềm vào hộp cát

\(mv = \left( {M + m} \right)u\;\left( 1 \right)\)

Khi viên đạn và hộp cát chuyển động lên cao

\(0 + (M + m)gh = \dfrac{1}{2}(M + m){u^2} + 0\)

\( =  > 2{\rm{ }}\left( {M + m} \right)gh = \left( {M + m} \right){v^2}\)

Từ (1) và (2) 

\( \Rightarrow v = \dfrac{{M + m}}{m}\sqrt {2gh} \)

Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng và có cơ năng bằng tổng động năng và thế năng

từ đó ta có: \({{\rm{W}}_d} + {{\rm{W}}_t} = \)\(\dfrac{1}{2}m{v^2} + mgh = con{\rm{s}}t\) hay \(mg{z_1} + \dfrac{{m{v_1}^2}}{2} = mg{z_2} + \dfrac{{m{v_2}^2}}{2}\)

Trong quá trình chuyển động từ M đến N, vật chỉ chịu tác dụng của trọng lực nên cơ năng của vật được bảo toàn.

Ta có cơ năng bằng tổng động năng và thế năng

Theo định luật bảo toàn cơ năng ta có khi con lắc đạt độ cao cực đại tức là \(h = {h_{ma{\rm{x}}}} \Rightarrow {{\rm{W}}_{tma{\rm{x}}}}\)

Chọn mốc thế năng tại mặt đất

Khi vật tại độ cao 50m thì cơ năng bằng thế năng của vật:

\({\rm{W = }}{{\rm{W}}_t} = mgh = 1.10.50 = 500J\)

Ngay trước khi vật chạm đất cơ năng của vật chính bằng động năng của vật

\( \Leftrightarrow {{\rm{W}}_d} = 500J\)