Bài tập động lượng và định luật bảo toàn động lượng

Ta có công thức tính động lượng \(\overrightarrow p  = m.\overrightarrow v \)

\( \Rightarrow \)Động lượng của một vật có độ lớn bằng tích khối lượng và tốc độ của vật, là đại lượng vectơ và trong hệ kín động lượng được bảo toàn.

Ta có trong hệ kín vectơ động lượng toàn phần được bảo toàn.

Va chạm mềm có những đặc điểm sau: Sau va chạm hai vật nhập vào nhau làm một, chuyển động cùng vận tốc. Trong va chạm mềm, tổng động lượng của hai vật trước và sau va chạm bằng nhau, một phần động năng của vật chuyển hóa thành dạng năng lượng khác

Hệ vật – Trái Đất chỉ gần đúng là hệ kín vì vẫn luôn tồn tại các lực hấp dẫn từ các thiên thể trong vũ trụ tác dụng lên hệ.

Định luật bảo toàn động lượng chỉ đúng khi hệ là hệ kín – hệ cô lập, là hệ không có ngoại lực, nếu có ngoại lực thì các ngoại lực cân bằng.

Động lượng ban đầu của hệ: \(\overrightarrow {{p_1}}  = \overrightarrow 0 \)

Động lượng của hệ khi đạn thoát khỏi nòng súng: \(\overrightarrow {{p_2}}  = m\overrightarrow v  + M.\overrightarrow V \)

Áp dụng định luật bảo toàn động lượng trước và sau va chạm ta có:

\(m\overrightarrow v  + M.\overrightarrow V  = \overrightarrow 0  \Rightarrow \overrightarrow V  =  - \dfrac{m}{M}\overrightarrow v \)

Đổi \(43,2km/h = 12m/s\)

Áp dụng công thức tính động lượng ta có: \(\overrightarrow p  = m\overrightarrow v  \Rightarrow p =  - 0,5.12 =  - 6\left( {kg.m/s} \right)\)

Ta có động lượng của vật trước và sau va chạm là:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {{p_1}}  = m\overrightarrow {{v_1}} \\\overrightarrow {{p_2}}  = m\overrightarrow {{v_2}} \end{array}\)

Độ biến thiên động lượng của vật sau va chạm là: \(\Delta \overrightarrow p  = \overrightarrow {{p_2}}  - \overrightarrow {{p_1}}  = m\overrightarrow {{v_2}}  - m\overrightarrow {{v_1}} \)

Do \(\overline {{v_2}}  \uparrow  \downarrow \overline {{v_1}} \) và \(\overrightarrow {{v_2}}  = \overrightarrow {{v_1}} \)

\( \Rightarrow \overline {{v_2}}  =  - \overline {{v_1}} \)

\( \Rightarrow \Delta \overrightarrow p  =  - 2m\overrightarrow {{v_1}}  =  - 2\overrightarrow {{p_1}}  =  - 2\overrightarrow p \)

Ta có xung của lực tác dụng lên một vật trong khoảng thời gian t bằng độ biến thiên động lượng trong khoảng thời gian đó

Lực tác dụng lên vật bằng trọng lượng của vật: \(P = mg = 10.1 = 10N\)

Độ biến thiên động lượng của vật trong 0,5s là: \(\Delta p = F.\Delta t = P.\Delta t = 10.0,5 = 5\left( {kg.m/s} \right)\)

Chọn chiều dương là chiều chuyển động

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{p_1} = {m_1}{v_1} = 3.4 = 12\left( {kg.m/s} \right)}\\{{p_2} = {m_2}{v_2} = 2.8 = 16\left( {kg.m/s} \right)}\end{array}} \right.\)

\(\overrightarrow {{p_1}} ,\overrightarrow {{p_2}} \) vuông góc nên ta có động lượng tổng hợp của hệ là: \(p = \sqrt {p_1^2 + p_1^2}  = \sqrt {{{12}^2} + {{16}^2}}  = 20\left( {kg.m/s} \right)\)

Chọn chiều chuyển động rơi của viên bi là chiều dương.

Ngay trước khi chạm đất, viên bi đạt vận tốc: \(v = \sqrt {2gh} \)

Khi bị mặt đất cản lại và nằm yên đó thì viên bi có vận tốc \(v' = 0\)

Áp dụng công thức về độ biến thiên động lượng: \(\Delta p = F.\Delta t\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow p' - p = F\Delta t\\ \Leftrightarrow m.0 - mv = F\Delta t\\ \Rightarrow F\Delta t =  - mv =  - m\sqrt {2gh}  =  - {10.10^{ - 3}}\sqrt {2.10.20}  =  - 0,2N.s\end{array}\)

Dấu (-) chứng tỏ xung lượng của lực do mặt đất tác dụng lên viên bi ngược hướng với vận tốc rơi của viên bi

Gọi vận tốc lúc đầu và lúc sau của xe lần lượt là v và v’

Ta có: \(\Delta p = p' - p = mv' - mv = mv'\)

Mặt khác ta có: \(\Delta p = F.\Delta t\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow mv' = F.\Delta t\\ \Rightarrow v' = \dfrac{{F.\Delta t}}{m} = \dfrac{{80.2}}{{10}} = 16m/s\end{array}\)

Động lượng trước va chạm của hệ là: \(\overrightarrow {{p_t}}  = {m_1}\overrightarrow {{v_1}}  + {m_2}\overrightarrow {{v_2}} \)

Động lượng sau va chạm của hệ là: \(\overrightarrow {{p_s}}  = \left( {{m_1} + {m_2}} \right)\overrightarrow v \)

Chọn chiều dương là chiều chuyển động của xe 2.

Áp dụng định luật bảo toàn động lượng cho hệ ta có: \(\overrightarrow {{p_t}}  = \overrightarrow {{p_s}} \)

\( \Leftrightarrow {m_1}\overrightarrow {{v_1}}  + {m_2}\overrightarrow {{v_2}}  = \left( {{m_1} + {m_2}} \right)\overrightarrow v \)

Chiếu lên chiều dương của chuyển động ta được:

\(\begin{array}{l} - {m_1}{v_1} + {m_2}{v_2} = \left( {{m_1} + {m_2}} \right)v\\ \Leftrightarrow  - 0,3.2 + 2.0,8 = (0,3 + 2).v\\ \Rightarrow v = 0,43m/s\end{array}\)

Chọn chiều chuyển động của viên bi thủy tinh là chiều dương

Động lượng trước va chạm của hệ là: \({p_t} = {m_1}{v_1}\)

Động lượng sau va chạm của hệ là: \({p_s} = {m_1}{v_1}' + {m_2}{v_2}'\)

Áp dụng định luật bảo toàn động lượng cho hệ ta có: \({p_t} = {p_s}\)

\({m_1}{v_1} = {m_1}{v_1}' + {m_2}{v_2}'\)

\( \Rightarrow {v_1}' = \dfrac{{{m_1}{v_1} - {m_2}{v_2}'}}{{{m_1}}} = \dfrac{{{{5.10}^{ - 3}}.2 - {{10.10}^{ - 3}}.1,5}}{{{{5.10}^{ - 3}}}} =  - 1m/s\)

Dấu trừ chứng tỏ viên bi chuyển động ngược chiều ban đầu.

Chọn hệ khảo sát: Xe và người, chọn chiều dương theo chiều chuyển động của xe và người.

Lực phát động trung bình do mặt tuyết tác dụng lên xe và người:

                          \(F = \dfrac{{\Delta p}}{{\Delta t}} = 20(N)\)

Lực ma sát do mặt tuyết tác dụng lên xe và người

\({F_{ms}} = \mu mg = 0,01.80.10 = 8\left( N \right)\)

Gia tốc trung bình của xe: \(a = \dfrac{{F - {F_{ms}}}}{m} = 0,15\left( {m/{s^2}} \right)\)

Vận tốc của xe sau khi chuyển động được 15s: \(v = at = 0,15.15 = 2,25{\rm{ }}m/s\)

Vậy: Vận tốc của xe sau khi chuyển động được 15s là 2,25 m/s

Chọn vật khảo sát: Hòn bi.

Chọn chiều dương là chiều bật lên

Ta có, trước va chạm: \(v = \sqrt {2.gh = 10} (m/s)\)

Động lượng trước va chạm là:

\(p = mv = 0,1.10 = 1{\rm{ }}kg.m/s\)

Sau va chạm viên bi bật lên với vận tốc cũ.

Ta có động lượng biến thiên 1 lượng là: \(\overrightarrow {\Delta p}  = \overrightarrow {{p'}}  - \overrightarrow p \)

Chiếu lên chiều dương ta có \(\Delta p = p' + p = 2.p = 2(kg.m/s)\)

Ta coi tên lửa như là một hệ kín ngay trước và sau khi hoạt động (nhiên liệu cháy).

Khi nhiên liệu cháy và phụt tức thời ra phía sau, vận tốc của tên lửa ngay sau đó là \(\overrightarrow {{v_2}} \). Áp dụng định luật bảo toàn động lượng

\(m\overrightarrow v  = {m_1}\overrightarrow {{v_1}}  + {m_2}\overrightarrow {{v_2}} \)   \(\left( 1 \right)\)

Chọn trục tọa độ Ox có chiều dương trùng với chiều chuyển động ban đầu của tên lửa (chiều của vectơ vận tốc \(\overrightarrow v \))

Chiếu (1) lên chiều dương đã chọn ta có: \(m.v =  - {m_1}.{v_1} + {m_2}.{v_2}\)

\( \Rightarrow {v_2} = \dfrac{{mv + {m_1}{v_{_1}}}}{{{m_2}}} = 300m/s\)

Vậy ngay sau khi nhiên liệu cháy phụt ra phía sau, tên lửa tiếp tục chuyển động theo phương cũ với vận tốc 300m/s.

Chọn hệ khảo sát: “Tên lửa (vỏ + nhiên liệu)”. Trong quá trình phụt khí cháy thì nội lực lớn hơn rất nhiều so với ngoại lực nên hệ khảo sát là hệ kín trong suốt thời gian phụt khí.

Gọi m₁ và m₂ lần lượt là khối lượng của nhiên liệu và vỏ tên lửa

v₁ và v₂ lần lượt là độ lớn vận tốc của nhiên liệu và vỏ ngay sau khi phụt khí cháy.

- Áp dụng định luật bảo toàn động lượng cho hệ (theo phương thẳng đứng), ta có:\({m_1}.\overrightarrow {{v_1}}  + {m_2}.\overrightarrow {{v_2}}  = \overrightarrow 0  \Rightarrow  - {m_1}.{v_1} + {m_2}.{v_2} = 0\)\( \Rightarrow {v_2} = \dfrac{{{m_1}.{v_1}}}{{{m_2}}} = \dfrac{{100.400}}{{200}} = 200m/s\)    

- Độ cao cực đại tên lửa đạt được nếu bỏ qua lực cản của không khí:

\(h = \dfrac{{ - {v_2}^2}}{{ - 2.g}} = 2000m\;\)

- Độ cao cực đại tên lửa đạt được do có lực cản của không khí: \(h' = \dfrac{h}{5} = \dfrac{{2000}}{5} = 400m\)

Xét hệ gồm hai mảnh. Ngoại lực tác dụng lên hệ là trọng lực \(\overrightarrow P \), trọng lực này không đáng kể so với lực tương tác giữa hai mảnh. Do đó hệ được coi là hệ kín

Gọi \(\overrightarrow {{v_1}} \), \(\overrightarrow {{v_2}} \)lần lượt là vận tốc của mảnh 1 và mảnh 2 ngay sau khi vỡ.

Áp dụng định luật bảo toàn động lượng cho hệ, ta có:

\(\left( {{m_1} + {m_2}} \right)\overrightarrow {{v_0}}  = {m_1}\overrightarrow {{v_1}}  + {m_2}\overrightarrow {{v_2}} \) \(\left( 1 \right)\)

Theo đề bài:  \(\overrightarrow {{v_1}} \) có chiều thẳng đứng hướng xuống, \(\overrightarrow {{v_0}} \) hướng theo phương ngang. Do đó ta có thể biểu diễn phương trình vectơ (1) như hình vẽ sau:

Theo đó:

\({m_2}{v_2} = \sqrt {{{\left[ {\left( {{m_1} + {m_2}} \right){v_0}} \right]}^2} + m_1^2v_1^2} \)\(\left( 2 \right)\)

\(\tan \alpha  = \dfrac{{{m_1}{v_1}}}{{\left( {{m_1} + {m_2}} \right){v_0}}}\) \((3)\)

Để tính vận tốc của mảnh 1 ngay sau khi nổ ta áp dụng công thức:                    \(v{_1'^2} - v_1^2 = 2gh\)

\( \Rightarrow {v_1} = \sqrt {v{{_1'}^2} - 2gh}  = \sqrt {{{90}^2} - 2.10.80}  = 80,62m/s\)

Từ (2) ta tính được:

\({v_2} = \dfrac{{\sqrt {{{\left[ {\left( {{m_1} + {m_2}} \right){v_0}} \right]}^2} + m_1^2v_1^2} }}{{{m_2}}}\) \( \approx \)150m/s.

Từ (3), ta có:  \(\tan \alpha  = 2,015\)\( \Rightarrow \alpha  = {64^0}\).

Như vậy ngay sau khi viên đạn bị vỡ, mảnh thứ 2 bay theo phương xiên lên trên hợp với phương ngang một góc 64⁰.

+ Hai viên bi chuyển động trên mặt phẳng nằm ngang không phải hệ kín vì có lực ma sát là ngoại lực

+ Hai viên bi chuyển động trên mặt phẳng nghiêng không phải hệ kín vì hai ngoại lực là trọng lực và phản lực không triệt tiêu nhau.

+ Hai viên bi rơi thẳng đứng trong không khí không phải là hệ kín vì hai ngoại lực là trọng lực và lực cản của không khí không triệt tiêu nhau.

+ Hai viên bi chuyển động không ma sát trên mặt phẳng nằm ngang thì hai ngoại lực là trọng lực và phản lực triệt tiêu nhau nên hệ có thể coi là hệ kín.