Bài tập nhiệt lượng, truyền nhiệt, cân bằng nhiệt, nội năng

Ta có nhiệt lượng để chì tăng nhiệt độ từ \({15^0}C\) lên \({35^0}C\) là: \(Q = mc\Delta t = mc\left( {{t_2} - {t_1}} \right)\)

\( \Rightarrow c = \dfrac{Q}{{m\left( {{t_2} - {t_1}} \right)}} = \dfrac{{260}}{{0,1.\left( {35 - 15} \right)}} = 130J/kg.K\)

Gọi \({t_1}\) - là nhiệt độ của lò nung (hay của miếng sắt đặt trong lò)

\({t_2} = {20^0}C\) là nhiệt độ ban đầu của nước

\(t\) - là nhiệt độ cân bằng

Ta có, khi cân bằng nhiệt độ của nước tăng thêm \({10^0}C\)

Ta suy ra: \(t = 20 + 10 = {30^0}C\)

Ta có:

+ Nhiệt lượng do sắt tỏa ra: \({Q_1}\; = {\rm{ }}{m_1}{c_1}\left( {{t_1}\;-{\rm{ }}t} \right)\)

+ Nhiệt lượng do nước thu vào: \({Q_2}\; = {\rm{ }}{m_2}{c_2}\left( {t{\rm{ }}-{\rm{ }}{t_2}} \right)\)

+ Theo phương trình cân bằng nhiệt, ta có:

\(\begin{array}{l}\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}{Q_1} = {Q_2}\\ \Leftrightarrow {m_1}{c_1}\left( {{t_1}-t} \right) = {m_2}{c_2}\left( {t-{t_2}} \right)\end{array}\\{ \Leftrightarrow 0,1.478.\left( {{t_1}-{\rm{30}}} \right) = 0,5.4180\left( {{\rm{30}}-20} \right)}\end{array}\\ \Rightarrow {t_1} \approx 467,{2^0}C\end{array}\)

Gọi \({t_1}\) là nhiệt độ ban đầu của miếng hợp kim, ta có \({t_1} = {124^0}C\)

\({t_2}\) là nhiệt độ ban đầu của nhiệt lượng kế và nước trong nhiệt lượng kế, ta có \({t_2} = {16^0}C\)

\(t = {32^0}C\) - nhiệt độ khi cân bằng trong nhiệt lượng kế

+ Nhiệt lượng toả ra:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{Q_{Zn}} = {\rm{ }}{m_{Zn}}.{C_{Zn}}\left( {{t_1}-t} \right) = {m_{Zn}}.337.\left( {124 - 18} \right) = 35722{m_{Zn}}}\\{{Q_{Pb}} = {m_{Pb}}.{C_{Pb}}\left( {{t_1}-t} \right) = {m_{Pb}}.126.\left( {124 - 18} \right) = 13356{m_{Pb}}}\end{array}} \right.\)

+ Nhiệt lượng thu vào:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{Q_{{H_2}O}} = {m_{{H_2}O}}.{C_{{H_2}O}}\left( {t-{t_2}} \right) = \dfrac{{250}}{{1000}}.4180\left( {18 - 16} \right) = 2090{\rm{ }}J}\\{{Q_{NLK}}{\rm{ }} = C'\left( {t-{t_2}} \right) = 50.\left( {18 - 16} \right) = 100J}\end{array}} \right.\)

+ Ta có, phương trình cân bằng nhiệt:

\(\begin{array}{l}{Q_{toa}} = {Q_{thu}}\\ \leftrightarrow \;35722{m_{Zn}} + 13356{m_{Pb}} = 2090 + \;100{\rm{       }}\left( 1 \right)\end{array}\)

Mặt khác, theo đầu bài, ta có: \({m_{Zn}} + {m_{Pb}} = 150g = 0,15kg{\rm{              }}\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2), ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}35722{m_{Zn}} + 13356{m_{Pb}} = 2190\\{m_{Zn}} + {m_{Pb}} = 0,15\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m_{Zn}} \approx {8.10^{ - 3}}kg\\{m_{Pb}} = 0,142kg\end{array} \right.\end{array}\)

+ Nhiệt lượng tỏa ra:

\(\begin{array}{l}{Q_{Fe}} = {m_{Fe}}.{C_{Fe}}\left( {{t_2}-t} \right) = \dfrac{{16}}{{1000}}.478.\left( {{t_2} - 20} \right)\\ = 7,648{t_2}-152,96\end{array}\)

+ Nhiệt lượng thu vào:

\(\begin{array}{l}{Q_{{H_2}O}} = {m_{{H_2}O}}.{C_{{H_2}O}}\left( {t-{t_1}} \right) = \dfrac{{600}}{{1000}}.4180\left( {20 - 10} \right)\\ = 25080J\end{array}\)

+ Áp dụng phương trình cân bằng ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{{Q_{toa}}{\rm{ }} = {Q_{thu}}}\\{\; \leftrightarrow 7,648{t_2}-152,96 = 25080}\\{\; \to {t_{2{\rm{ }}}} = 3299,{3^0}C}\end{array}\)

Gọi \({t_1} = {20^0}C\) - nhiệt độ ban đầu của bình nhôm và nước trong bình nhôm

\({t_2} = {500^0}C\) - nhiệt độ của miếng sắt

\(t\)  - nhiệt độ khi cân bằng của hệ

Ta có:

+ Nhiệt lượng do miếng sắt tỏa ra:

 \(\begin{array}{l}{Q_{Fe}} = {m_{Fe}}.{C_{Fe}}\left( {{\rm{ }}{t_2}--t} \right)\\ = 0,2.0,{46.10^3}.\left( {500 - t} \right)\\ = 46000 - 92t\end{array}\)

+ Nhiệt lượng do bình nhôm và nước thu vào:

\(\begin{array}{l}{Q_{Al}} = {m_{Al}}.{C_{Al}}\left( {t--{t_1}} \right)\\ = 0,5.896.\left( {t - 20} \right)\\ = 448t - 8960\end{array}\)

\(\begin{array}{l}{Q_{{H_2}O}} = {m_{{H_2}O}}.{C_{{H_2}O}}\left( {t--{t_1}} \right)\\ = 4.4,{18.10^3}.\left( {t - 20} \right)\\ = 16720t - 334400\end{array}\)

Tổng nhiệt lượng thu vào:

\(\begin{array}{l}{Q_{thu}} = {Q_{Al}} + {Q_{{H_2}O}} = 448t - 8960 + 16720 - 334400\\ = 17168t - 343360\end{array}\)

+ Theo phương trình cân bằng nhiệt, ta có:

\(\begin{array}{l}{Q_{toa}} = {Q_{thu}}\\ \Leftrightarrow 46000 - 92t = 17168t - 343360\\ \Rightarrow t \approx 22,{6^0}C\end{array}\)

Ta có:

+ Nhiệt lượng do quả cầu bằng nhôm tỏa ra:

\(\begin{array}{l}{Q_1} = {m_{Al}}.{c_{Al}}.\left( {{t_1} - t} \right)\\ = 0,105.880.\left( {142 - 42} \right)\\ = 9240J\end{array}\)

+ Nhiệt lượng do nước thu vào là:

\(\begin{array}{l}{Q_2} = {m_{{H_2}O}}.{c_{{H_2}O}}\left( {t - {t_2}} \right)\\ = {m_{{H_2}O}}.4200.\left( {42 - 20} \right)\\ = 92400{m_{{H_2}O}}\end{array}\)

+ Theo phương trình cân bằng nhiệt ta có:

\(\begin{array}{l}{Q_1} = {Q_2}\\ \Leftrightarrow 9240 = 92400{m_{{H_2}O}}\\ \Rightarrow {m_{{H_2}O}} = 0,1kg = 100g\end{array}\)

Gọi \({t_1} = {25^0}C\) - nhiệt độ ban đầu của nhiệt lượng kế và nước trong nhiệt lượng kế

\({t_2} = {90^0}C\) - nhiệt độ của vật kim loại

\(t\)  - nhiệt độ khi cân bằng của hệ

Ta có:

+ Nhiệt lượng mà nhiệt lượng kế và nước thu được:

\({Q_1} = {m_1}{c_1}\left( {t - {t_1}} \right)\)

\({Q_2} = {m_2}{c_2}\left( {t - {t_1}} \right)\)

=> tổng nhiệt lượng thu vào:

\(\begin{array}{l}{Q_{12}} = {Q_1} + {Q_2}\\ = \left( {{m_1}{c_1} + {m_2}{c_2}} \right)\left( {t - {t_1}} \right)\end{array}\)

+ Nhiệt lượng mà vật kim loại tỏa ra:

\({Q_3} = {m_3}{c_3}.\left( {{t_2} - t} \right)\)

Theo phương trình cân bằng nhiệt, ta có:

\(\begin{array}{l}{Q_3} = {Q_{12}}\\ \Leftrightarrow {m_3}{c_3}\left( {{t_2} - t} \right) = \left( {{m_1}{c_1} + {m_2}{c_2}} \right)\left( {t - {t_1}} \right)\\ \Rightarrow {c_3} = \dfrac{{\left( {{m_1}{c_1} + {m_2}{c_2}} \right)\left( {t - {t_1}} \right)}}{{{m_3}\left( {{t_2} - t} \right)}}\\ \Rightarrow {c_3} = \dfrac{{\left( {0,1.380 + 0,375.4200} \right)\left( {30 - 25} \right)}}{{0,4.\left( {90 - 30} \right)}}\\ \Rightarrow {c_3} = 336J/kg.K\end{array}\)

Gọi \({t_1} = {15^0}C\) - nhiệt độ ban đầu của nhiệt lượng kế và nước trong nhiệt lượng kế

\({t_2} = {100^0}C\) - nhiệt độ của quả cân bằng đồng thau

\(t\)  - nhiệt độ khi cân bằng của hệ

Ta có:

+ Nhiệt lượng do quả cân tỏa ra:

 \(\begin{array}{l}{Q_{quacan}} = {m_{quacan}}.{c_1}\left( {{\rm{ }}{t_2}--t} \right)\\ = 0,5.3,{68.10^2}.\left( {100 - t} \right)\\ = 18400 - 184t\end{array}\)

+ Nhiệt lượng do nước thu vào:

\(\begin{array}{l}{Q_{{H_2}O}} = {m_{{H_2}O}}.{c_{{H_2}O}}\left( {t--{t_1}} \right)\\ = 2.4,{18.10^3}.\left( {t - 15} \right)\\ = 8360t - 125400\end{array}\)

+ Theo phương trình cân bằng nhiệt, ta có:

\(\begin{array}{l}{Q_{toa}} = {Q_{thu}}\\ \Leftrightarrow 18400 - 184t = 8360t - 125400\\ \Rightarrow t = 16,{8^0}C\end{array}\)

Gọi \({t_1} = 8,{4^0}C\) - nhiệt độ ban đầu của bình nhôm và nước trong bình nhôm

\({t_2} = {100^0}C\) - nhiệt độ của miếng kim loại

\(t = 21,{5^0}C\)  - nhiệt độ khi cân bằng của hệ

Ta có:

+ Nhiệt lượng do miếng kim loại tỏa ra:

 \(\begin{array}{l}{Q_{KL}} = {m_{KL}}.{c_{KL}}\left( {{\rm{ }}{t_2}--t} \right)\\ = 0,192.{c_{KL}}.\left( {100 - 21,5} \right)\\ = 15,072{c_{KL}}\end{array}\)

+ Nhiệt lượng do nhiệt lượng kế và nước thu vào:

\(\begin{array}{l}{Q_{NLK}} = {m_{NLK}}.{c_{NLK}}\left( {t--{t_1}} \right)\\ = 0,128.0,{128.10^3}.\left( {21,5 - 8,4} \right)\\ = 214,63J\end{array}\)

\(\begin{array}{l}{Q_{{H_2}O}} = {m_{{H_2}O}}.{c_{{H_2}O}}\left( {t--{t_1}} \right)\\ = 0,21.4,{18.10^3}.\left( {21,5 - 8,4} \right)\\ = 11499,18J\end{array}\)

Tổng nhiệt lượng thu vào:

\({Q_{thu}} = {Q_{NLK}} + {Q_{{H_2}O}} = 214,63 + 11499,18 = 11713,81J\)

+ Theo phương trình cân bằng nhiệt, ta có:

\(\begin{array}{l}{Q_{toa}} = {Q_{thu}}\\ \Leftrightarrow 15,072{c_{KL}} = 11713,81\\ \Rightarrow {c_{KL}} = 777,19J/kg.K\end{array}\)

Gọi \(t_1\) - nhiệt độ của lò nung (cũng chính là nhiệt độ ban đầu của miếng sắt khi rút từ lò nung ra), \(t_2\) - nhiệt độ ban đầu của nước, \(t\) - nhiệt độ khi cân bằng

Ta có:

+ Nhiệt lượng do sắt tỏa ra: \({Q_1} = {\text{ }}{m_1}{c_1}\left( {{t_1}-{\text{ }}t} \right)\)

+ Nhiệt lượng do nước thu vào: \({Q_2} = {\text{ }}{m_2}{c_2}\left( {t{\text{ }}-{\text{ }}{t_2}} \right)\)

Theo phương trình cân bằng nhiệt ta có:

\(\begin{gathered}\begin{array}{*{20}{l}}
{{Q_1} = {Q_2} \leftrightarrow {m_1}{c_1}\left( {{t_1}-{\text{ }}t} \right){\text{ }} = {\text{ }}{m_2}{c_2}\left( {t{\text{ }}-{\text{ }}{t_2}} \right)} \\ { \leftrightarrow 0,05.478\left( {{t_1}-{\text{ }}23} \right) = 0,9.4180\left( {23{\text{ }}-{\text{}}17} \right)}
\end{array} \hfill \\
\to {t_1} \approx {\text{ }}{967^0C} \hfill \\
\end{gathered} \)

Gọi \({t_1}\) là nhiệt độ ban đầu của miếng hợp kim, ta có \({t_1} = {136^0}C\)

\({t_2}\) là nhiệt độ ban đầu của nhiệt lượng kế và nước trong nhiệt lượng kế, ta có \({t_2} = {14^0}C\)

\(t = {18^0}C\) - nhiệt độ khi cân bằng trong nhiệt lượng kế

+ Nhiệt lượng toả ra:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{Q_{Zn}} = {\rm{ }}{m_{Zn}}.{C_{Zn}}\left( {{t_1}-t} \right) = {m_{Zn}}.337.\left( {136 - 18} \right) = 39766{m_{Zn}}}\\{{Q_{Pb}} = {m_{Pb}}.{C_{Pb}}\left( {{t_1}-t} \right) = {m_{Pb}}.126.\left( {136 - 18} \right) = 14868{m_{Pb}}}\end{array}} \right.\)

+ Nhiệt lượng thu vào:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{Q_{{H_2}O}} = {m_{{H_2}O}}.{C_{{H_2}O}}\left( {t-{t_2}} \right) = \dfrac{{100}}{{1000}}.4180\left( {18 - 14} \right) = 1672{\rm{ }}J}\\{{Q_{NLK}}{\rm{ }} = C'\left( {t-{t_2}} \right) = 50.\left( {18 - 14} \right) = 200{\rm{ }}J}\end{array}} \right.\)

+ Ta có, phương trình cân bằng nhiệt:

\(\begin{array}{l}{Q_{toa}} = {Q_{thu}}\\ \leftrightarrow 39766{m_{Zn}} + 14868{m_{Pb}} = 1672 + 200{\rm{       }}\left( 1 \right)\end{array}\)

Mặt khác, theo đầu bài, ta có: \({m_{Zn}} + {m_{Pb}} = 50g=0,05kg{\rm{              }}\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2), ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}39766{m_{Zn}} + 14868{m_{Pb}} = 1872\\{m_{Zn}} + {m_{Pb}} = 0,05\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m_{Zn}} = 0,045kg\\{m_{Pb}} = 4,{67.10^{ - 3}} \approx 0,005kg\end{array} \right.\end{array}\)

+ Nhiệt lượng tỏa ra:

\(\begin{array}{l}{Q_{Fe}} = {m_{Fe}}.{C_{Fe}}\left( {{t_2}-t} \right) = \dfrac{{22,3}}{{1000}}.478.\left( {{t_2} - 22,5}\right)\\ = 10,6594{t_2}-239,8365J\end{array}\) 

+ Nhiệt lượng thu vào:

\(\begin{array}{l}{Q_{{H_2}O}} = {m_{{H_2}O}}.{C_{{H_2}O}}\left( {t-{t_1}} \right) = \dfrac{{450}}{{1000}}.4180\left( {22,5 - 15} \right)\\ = 14107,5{\rm{ }}J\end{array}\)

+ Áp dụng phương trình cân bằng ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{{Q_{toa}}{\rm{ }} = {Q_{thu}}}\\
{ \leftrightarrow 10,6594{t_2}-239,8365 = 14107,5}\\
{ \to {t_{2{\rm{ }}}} = 1345,{98^0}C}
\end{array}\)

+ Nhiệt lượng tỏa ra:

 \(\begin{array}{l}{Q_{Cu}} = {m_{Cu}}.{C_{Cu}}\left( {{\rm{ }}{t_2}-t} \right)\\ = \dfrac{{75}}{{1000}}.380.\left( {100 - t} \right)\\ = 2850-28,5tJ\end{array}\) 

+ Nhiệt lượng thu vào:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}{Q_{{H_2}O}} = {m_{{H_2}O}}.{C_{{H_2}O}}\left( {t-{t_1}} \right)\\ = \dfrac{{300}}{{1000}}.4190.\left( {t - 20} \right)\\ = 1257.t-25140\end{array}\\\begin{array}{l}{Q_{Al}} = {m_{Al}}.{C_{Al}}\left( {t-{t_1}} \right)\\ = \dfrac{{100}}{{1000}}.880.\left( {t - 20} \right)\\ = 88.t - 1760\end{array}\end{array}} \right.\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}{{Q_{toa}} = {Q_{thu}}}\\{ \leftrightarrow 2850-28,5t = 1257.t-25140 + 88.t - 1760}\\{ \to t{\rm{ }} = {\rm{ }}21,{7^0}C}\end{array}\)

Nhiệt lượng tỏa ra

Nhiệt lượng tỏa ra: \({Q_{Kl}} = {m_{Kl}}.{C_{Kl}}\left( {{t_2}-t} \right) = 0,4.{C_{Kl}}.\left( {100-20} \right) = 32.{C_{Kl}}\)

Nhiệt lượng thu vào: \({Q_{thu}} = {Q_{{H_2}O}} = {m_{{H_2}O}}.{C_{{H_2}O}}\left( {t-{t_1}} \right) = 10475{\rm{ }}J\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{Q_{toa}} = {Q_{thu}}\\ \Leftrightarrow 32{C_{Kl}} = 10475\\ \Rightarrow {C_{Kl}} = 327,34J/Kg.K\end{array}\)

Nhiệt lượng thu vào: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{Q_{{H_2}O}} = {m_{{H_2}O}}.{C_{{H_2}O}}\left( {t-{t_1}} \right) = 691350-11522,5{t_1}}\\{{Q_{Al}} = {m_{Al}}.{C_{Al}}\left( {t-{t_1}} \right) = 19320-322{t_1}}\end{array}} \right.\)

Nhiệt lượng ấm nhôm đựng nước nhận được:

Nhiệt lượng tỏa ra:  

\({Q_{{H_2}O}} = {m_{{H_2}O}}.{C_{{H_2}O}}\left( {{t_2}-t} \right) = 5250J\)

Nhiệt lượng thu vào: \({Q_{CL}} = {m_{CL}}.{C_{CL}}\left( {t-{t_1}} \right) = 2,1.{C_{CL}}\)

Q_tỏa = Q_thu

\(\begin{array}{*{20}{l}}{ \leftrightarrow 5250 = 2,1.{C_{CL}}}\\{ \to {C_{CL}}{\rm{ }} = {\rm{ }}2500{\rm{ }}J/Kg.K}\end{array}\)

Gọi

- Khối lượng của thùng sắt \({m_1} = 1,5kg\), nhiệt dung riêng của thùng sắt là \({c_1} = 460J/kg.K\)

- Khối lượng của nước trong thùng sắt \({m_2} = 5kg\), nhiệt dung riêng của nước \({c_2} = 4200J/kg.K\)

Ta có:

+ Nhiệt độ ban đầu của thùng sắt và nước là \({t_1} = {15^0}C\)

+ Nhiệt độ cần đạt tới của nước và thùng sắt lúc sau \({t_2} = {100^0}C\)

+ Nhiệt lượng để cho thùng sắt có nhiệt độ tăng từ \({t_1} \Rightarrow {t_2}\)  là: \({Q_1} = {m_1}{c_1}\left( {{t_2} - {t_1}} \right)\)

+ Nhiệt lượng để nước có nhiệt độ tăng từ \({t_1} \Rightarrow {t_2}\)  là:  \({Q_2} = {m_2}{c_2}\left( {{t_2} - {t_1}} \right)\)

=> Nhiệt lượng cần thiết để đun lượng nước đó từ \({15^0}C\) đến \({100^0}C\) là:

\(\begin{array}{l}Q = {Q_1} + {Q_2} = {m_1}{c_1}\left( {{t_2} - {t_1}} \right) + {m_2}{c_2}\left( {{t_2} - {t_1}} \right)\\ = \left( {{m_1}{c_1} + {m_2}{c_2}} \right)\left( {{t_2} - {t_1}} \right)\\ = \left( {1,5.460 + 5.4200} \right)\left( {100 - 15} \right)\\ = 1843650J\end{array}\)