Phương trình trạng thái của khí lí tưởng

Phương trình trạng thái của khí lý tưởng: \(\frac{{pV}}{T} = const\)

hay \(\frac{{{p_1}{V_1}}}{{{T_1}}} = \frac{{{p_2}{V_2}}}{{{T_2}}}\) , \(pV \sim T\)

Từ phương trình trạng thái của khí lý tưởng ta có: \(pV \sim T\)

=> Khi áp suất tăng 3 lần và thể tích giảm 2 lần thì nhiệt độ tuyệt đối sẽ tăng thêm \(\dfrac{3}{2} = 1,5\) lần

Ta có:

- Trạng thái 1: \(\left\{ \begin{array}{l}{T_1} = 0 + 273 = 273K\\{p_1} = {10^5}Pa\\{V_1} = \frac{m}{{{D_1}}}\end{array} \right.\)

- Trạng thái 2: \(\left\{ \begin{array}{l}{T_2} = 100 + 273 = 373K\\{p_2} = {2.10^5}Pa\\{V_2} = \frac{m}{{{D_2}}}\end{array} \right.\)

Áp dụng phương trình trạng thái của khí lý tưởng, ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{{p_1}{V_1}}}{{{T_1}}} = \frac{{{p_2}{V_2}}}{{{T_2}}} \leftrightarrow \frac{{{p_1}\frac{m}{{{D_1}}}}}{{{T_1}}} = \frac{{{p_2}\frac{m}{{{D_2}}}}}{{{T_2}}}\\{D_2} = \frac{{{p_2}{T_1}{D_1}}}{{{p_1}{T_2}}} = \frac{{{{2.10}^5}.273.1,29}}{{{{10}^5}.373}} = 1,89kg/{m^3}\end{array}\)

Ta có:

- Trạng thái 1: \({p_1};{V_1};{T_1}\)

- Trạng thái 2: \(\left\{ \begin{array}{l}{p_2} = {p_1} + 0,2{p_1} = 1,2{p_1}\\{V_2} = {V_1} - 0,1{V_1} = 0,9{V_1}\\{T_2} = {T_1} + 16\end{array} \right.\)

Áp dụng phương trình trạng thái của khí lý tưởng, ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{{p_1}{V_1}}}{{{T_1}}} = \frac{{{p_2}{V_2}}}{{{T_2}}} \leftrightarrow \frac{{{p_1}{V_1}}}{{{T_1}}} = \frac{{1,2{p_1}.0,9{V_1}}}{{{T_1} + 16}}\\ \to {T_1} = 200K\end{array}\)

Ta có:

- Trạng thái 1: \(\left\{ \begin{array}{l}{T_1} = 20 + 273 = 293K\\{p_1} = 1,{013.10^5}Pa\\{V_1} = {l_1}S\end{array} \right.\)

- Trạng thái 2: \(\left\{ \begin{array}{l}{T_2} = ?\\{p_2} = {p_1} + \frac{F}{S} = 1,{013.10^5} + \frac{{408}}{{{{100.10}^{ - 4}}}} = 1,{421.10^5}Pa\\{V_2} = {l_2}S\end{array} \right.\)

Áp dụng phương trình trạng thái của khí lý tưởng, ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{{p_1}{V_1}}}{{{T_1}}} = \frac{{{p_2}{V_2}}}{{{T_2}}} \leftrightarrow \frac{{{p_1}.{l_1}S}}{{{T_1}}} = \frac{{{p_2}.{l_2}S}}{{{T_2}}}\\{T_2} = \frac{{{p_2}{l_2}{T_1}}}{{{p_1}{l_1}}} = \frac{{1,{{421.10}^5}.50.293}}{{1,{{013.10}^5}.60}} = 342,5K\end{array}\)

Ta có:

- Thể tích: \(V = 328{m^3} = {328.10^3}l\)

- Nhiệt độ: \(T = 27 + 273 = 300K\)

- Áp suất: \(p = 0,9{\rm{a}}tm\)

Gọi m là khối khí đã bơm vào khí cầu, áp dụng phương trình Cla-pe-rôn - Men-đê-lê-ép, ta có:

\(pV = \frac{m}{M}RT \to m = M\frac{{pV}}{{RT}} = 2.\frac{{0,{{9.328.10}^3}}}{{0,082.300}} = 24000g\)

Biết mỗi giây bơm được \(2,5g\) hiđrô vào khí cầu

=> Thời gian để bơm được \(m\left( g \right)\) hiđrô vào khí cầu là: \(t = \frac{m}{{2,5}} = \frac{{24000}}{{2,5}} = 9600{\rm{s}} = 160phut\)

Đổi đơn vị: \(738mmHg = 0,{984.10^5}Pa\)

Nhiệt độ: \(T = 15 + 273 = 288K\)

Áp dụng phương trình Cla-pe-rôn - Men-đê-lê-ép, ta có:

\(\begin{array}{l}pV = n{\rm{R}}T = \frac{m}{M}RT\\ \to V = \frac{m}{M}\frac{{RT}}{p} = \frac{{10}}{{32}}\frac{{0,082.288}}{{0,984}} = 7,5l\end{array}\)

- Khi khí trong bình là Hiđrô: \(\left\{ \begin{array}{l}{m_1} = 4g\\{T_1} = 53 + 273 = 326K\\{p_1} = 44,{4.10^5}Pa\\{M_1} = 2\end{array} \right.\)

- Khi thay khí trong bình bằng khí X: \(\left\{ \begin{array}{l}{m_2} = 8g\\{T_2} = 27 + 273 = 300K\\{p_2} = {5.10^5}Pa\\{M_2} = ?\end{array} \right.\)

Ta có thể tích bình chứa không thay đổi, viết phương trình Cla-pe-rôn - Men-đê-lê-ép cho hai trường hợp ta có:

\(\begin{array}{l}{V_1} = \frac{{{m_1}}}{{{M_1}}}\frac{{R{T_1}}}{{{p_1}}}{\rm{      }}\left( 1 \right)\\{V_2} = \frac{{{m_2}}}{{{M_2}}}\frac{{R{T_2}}}{{{p_2}}}{\rm{      }}\left( 2 \right)\end{array}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{V_1} = {V_2} \leftrightarrow \frac{{{m_1}}}{{{M_1}}}\frac{{R{T_1}}}{{{p_1}}} = \frac{{{m_2}}}{{{M_2}}}\frac{{R{T_2}}}{{{p_2}}}\\ \leftrightarrow \frac{4}{2}\frac{{326}}{{44,{{4.10}^5}}} = \frac{8}{{{M_2}}}\frac{{300}}{{{{5.10}^5}}}\\ \to {M_2} \approx 32\end{array}\)

=> Chất khí được thay là \({O_2}\)có \(M = 32\)

Ta có:

- Ban đầu, khí Heli có khối lượng \(m\), thể tích \(V\), áp suất \(p\), nhiệt độ \({T_1}\)

PT: \({p_1}V = \frac{m}{M}R{T_1}{\rm{      }}\left( 1 \right)\)

- Sau một thời gian, khí Heli có khối lượng \(m'\), thể tích \(V\), áp suất \({p_2}\), nhiệt độ \({T_2}\)

PT: \({p_2}V = \frac{{m'}}{M}R{T_2}{\rm{        }}\left( 2 \right)\)

Lấy \(\frac{{\left( 2 \right)}}{{\left( 1 \right)}}\) ta được:

\(\frac{{{p_2}}}{{{p_1}}} = \frac{{m'}}{m}\frac{{{T_2}}}{{{T_1}}}\)

Trừ cả hai vế cho 1, ta đươc:

\(\begin{array}{l}\frac{{{p_2}}}{{{p_1}}} - 1 = \frac{{m'}}{m}\frac{{{T_2}}}{{{T_1}}} - 1\\ \leftrightarrow \frac{{{p_2} - {p_1}}}{{{p_1}}} = \frac{{m'{T_2} - m{T_1}}}{{m{T_1}}} = \frac{{m'\left( {{T_2} + \Delta T} \right) - m{T_1}}}{{m{T_1}}}\\ \leftrightarrow \frac{{\Delta p}}{{{p_1}}} = \frac{{m' - m}}{m} + \frac{{m'}}{m}\frac{{\Delta T}}{{{T_1}}}{\rm{          }}\left( 3 \right)\end{array}\)

Mặt khác, theo đề bài, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{\Delta p}}{{{p_1}}} =  - 0,2\\\frac{{\Delta T}}{{{T_1}}} =  - 0,1\end{array} \right.\)

Thế vào (3), ta được:

\(\begin{array}{l} - 0,2 = \frac{{m' - m}}{m} + \frac{{m'}}{m}\left( { - 0,1} \right)\\ \leftrightarrow m' - m - 0,1m' =  - 0,2m\\ \leftrightarrow 0,9m' = 0,8m\\ \to m' = \frac{8}{9}m\end{array}\)

=> Lượng khí Heli đã thoát ra:

\(\Delta m = m - m' = m - \frac{8}{9}m = \frac{m}{9} = \frac{{0,3}}{9} = 0,03333kg = 33,33g\)

Vẽ đường thẳng qua \({T_1}\) song song với trục \(Op\), cắt đồ thị \(\left( {p,T} \right)\) của hai khí tại: \(A\left( {{p_1},{V_1},{T_1}} \right)\) và \(B\left( {{p_2},{V_1},{T_1}} \right)\)

Viết phương trình Cla-pe-rôn - Men-đê-lê-ép cho hai trạng thái, ta được:

\(\left\{ \begin{array}{l}{p_1}{V_1} = \frac{m}{M}R{T_1}{\rm{        }}\left( 1 \right)\\{p_2}{V_1} = \frac{{m'}}{M}R{T_1}{\rm{        }}\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Từ (1) và (2), ta suy ra: \(\frac{{m'}}{m} = \frac{{{p_2}}}{{{p_1}}}\)

Mặt khác, từ đồ thị, ta thấy: \({p_2} > {p_1}\) ta suy ra \(m' > m\)

- Quá trình \(\left( 1 \right) \to \left( 2 \right)\): đẳng nhiệt \({T_2} = {T_1} = 100K,{V_2} = 4{m^3}\)

- Quá trình \(\left( 4 \right) \to \left( 1 \right)\): đẳng tích \({V_4} = {V_1} = 1{m^3};{T_4} = 300K\)

- Quá trình \(\left( 2 \right) \to \left( 4 \right)\): \(V = aT + b\)

     + Trạng thái \(\left( 2 \right)\): \(4 = 100{\rm{a}} + b\)  (1')

     + Trạng thái \(\left( 4 \right)\): \(1 = 300{\rm{a}} + b\)  (2')

Từ \(\left( 1' \right)\) và \(\left( 2' \right)\) suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l}a =  - \frac{3}{{200}} =  - 1,5\\b = 5,5\end{array} \right.\)

Ta suy ra: \(V =  - \frac{3}{{200}}T + 5,5\)

- Quá trình \(\left( 1 \right) \to \left( 3 \right)\): đẳng áp \(V = \frac{{{V_1}}}{{{T_1}}}T = \frac{1}{{100}}T{\rm{         }}\left( 4 \right)\)

Vì \(\left( 3 \right)\) là giao điểm của hai đường \(\left( 2 \right) - \left( 4 \right)\) và \(\left( 1 \right) - \left( 3 \right)\) nên:

\(\begin{array}{l} - \frac{3}{{200}}{T_3} + 5,5 = \frac{1}{{100}}{T_3}\\ \to {T_3} = 220K\end{array}\)

Ta suy ra: \({V_3} = \frac{1}{{100}}.220 = 2,2{m^3}\)

Quá trình \(\left( 1 \right) - \left( 2 \right):p = aV + b\)

Thay các giá trị \(\left( {{p_1},{V_1}} \right)\) và \(\left( {{p_2},{V_2}} \right)\) vào \(\left( 1 \right)\)  ta được:

\(\left\{ \begin{array}{l}5 = 30{\rm{a}} + b{\rm{            }}\left( 1 \right)\\10 = 10{\rm{a}} + b{\rm{          }}\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Từ\(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\)suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l}a =  - \frac{1}{2}\\b = 20\end{array} \right. \to p =  - \frac{V}{2} + 20\)

Ta suy ra: \(pV =  - \frac{{{V^2}}}{2} + 20V{\rm{            }}\left( 3 \right)\)

Mặt khác: \(pV = \frac{m}{M}RT = \frac{{20}}{4}RT = 5{\rm{R}}T{\rm{         }}\left( 4 \right)\)

Từ \(\left( 4 \right)\), ta suy ra: \(T =  - \frac{{{V^2}}}{{10{\rm{R}}}} + \frac{{4V}}{R}{\rm{       }}\left( 5 \right)\)

Xét hàm \(T = f\left( V \right)\) (phương trình số 5), ta có:

\(T = {T_{{\rm{max}}}}\)khi \(V =  - \frac{b}{{2{\rm{a}}}} =  - \frac{{\frac{4}{R}}}{{2.\frac{{ - 1}}{{10{\rm{R}}}}}} = 20l\)

Khi đó: \({T_{max}} =  - \frac{{{{20}^2}}}{{10.0,082}} + \frac{{4.20}}{{0,082}} = 487,8K\)

Xét lượng khí chứa trong xilanh:

\(TT1:\left\{ \begin{array}{l}{p_1} = 2,5at\\{V_1} = 20l\\{T_1} = 300K\end{array} \right. \to TT2:\left\{ \begin{array}{l}{p_2} = 5at\\{V_2} = 15l\\{T_2} = ?\end{array} \right.\)

Áp dụng phương trình trạng thái của khí lí tưởng ta có:

\(\dfrac{{{p_1}.{V_1}}}{{{T_1}}} = \dfrac{{{p_2}.{V_2}}}{{{T_2}}} \Rightarrow {T_2} = \dfrac{{{p_2}.{V_2}.{T_1}}}{{{p_1}.{V_1}}} = \dfrac{{5.15.300}}{{2,5.20}} = 450K\)

Xét 5g khí H₂:

Áp dụng định luật Saclo ta có:

\(\dfrac{{{p_1}}}{{{T_1}}} = \dfrac{{{p_2}}}{{{T_2}}} \Rightarrow {T_2} = \dfrac{{{p_2}{T_1}}}{{{p_1}}} = \dfrac{{2.{p_0}.290}}{{{p_0}}} = 580K \Rightarrow {t_2} = {307^0}C\)

Xét lượng khí chứa trong quả cầu:

\(TT1:\left\{ \begin{array}{l}{V_1} = 3l\\{T_1} = 30 + 273 = 303K\\{p_1} = {100.10^3} = {10^5}\left( {Pa} \right)\end{array} \right. \to TT2:\left\{ \begin{array}{l}{V_2} = ?\\{T_2} = 2 + 273 = 275K\\{p_2} = {3.10^5}\left( {Pa} \right)\end{array} \right.\)

Áp dụng phương trình trạng thái của khí lí tưởng ta có:

\(\dfrac{{{p_1}{V_1}}}{{{T_1}}} = \dfrac{{{p_2}{V_2}}}{{{T_2}}} \Rightarrow {V_2} = \dfrac{{{p_1}{V_1}.{T_2}}}{{{p_2}{T_1}}} = \dfrac{{{{10}^5}.3.275}}{{{{3.10}^5}.303}} = 0,91l\)

→ Thể tích quả cầu giảm đi: \(\Delta V = {V_1} - {V_2} = 3 - 0,91 = 2,09l\)

+ Từ \(T{T_1} \to T{T_2}\): quá trình đẳng tích

+ Từ \(T{T_2} \to T{T_3}\): quá trình đẳng nhiệt, ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{p_2}{V_2} = {p_3}{V_3}\,\\{p_2} > {p_3}\end{array} \right. \Rightarrow {V_2} < {V_3}\)→ dãn đẳng nhiệt

Áp dụng phương trình trạng thái của khí lí tưởng ta có:

\(\dfrac{{{p_1}{V_1}}}{{{T_1}}} = \dfrac{{{p_2}{V_2}}}{{{T_2}}} \Leftrightarrow \dfrac{{{p_1}{V_1}}}{{{T_1}}} = \dfrac{{\dfrac{3}{2}{p_1}.2{V_1}}}{{{T_2}}} \Rightarrow \dfrac{{{T_1}}}{{{T_2}}} = \dfrac{1}{3}\)

Thể tích của 1kg không khí ở điều kiện tiêu chuẩn : \(D = \dfrac{m}{V} \Rightarrow V = \dfrac{m}{D}\)

\(TT1:\left\{ \begin{array}{l}{p_0} = 1,{01.10^5}Pa\\{V_0} = 0,78{m^3}\\{T_0} = 273K\end{array} \right. \to TT2:\left\{ \begin{array}{l}{p_2} = {2.10^5}Pa\\V = ?\\{T_2} = 100 + 273 = 373K\end{array} \right.\)

Áp dụng phương trình trạng thái của khí lí tưởng ta có:

\(\dfrac{{{p_0}.{V_0}}}{{{T_0}}} = \dfrac{{p.V}}{T} \Rightarrow V = \dfrac{{{p_0}.{V_0}.T}}{{p.{T_0}}} = \dfrac{{1,{{01.10}^5}.0,78.373}}{{{{2.10}^5}.273}} = 0,54{m^3}\)

→ Khối lượng riêng của không khí ở 100⁰C là:

\(D = \dfrac{m}{V} = \dfrac{1}{{0,54}} = 1,85kg/{m^3}\)

Xét lượng khí xác định trong phòng thí nghiệm:

\(TT1:\left\{ \begin{array}{l}{p_1} = 740mmHg\\{V_1} = 250c{m^3}\\{T_1} = 17 + 273 = 290K\end{array} \right. \to TT2\,\left( {dktc} \right):\left\{ \begin{array}{l}{p_2} = 760mmHg\\{V_2} = ?\\{T_2} = 0 + 273 = 273K\end{array} \right.\)

Áp dụng phương trình trạng thái của khí lí tưởng ta có:

\(\dfrac{{{p_1}.{V_1}}}{{{T_1}}} = \dfrac{{{p_2}.{V_2}}}{{{T_2}}} \Rightarrow {V_2} = \dfrac{{{p_1}.{V_1}.{T_2}}}{{{p_2}.{T_1}}} = \dfrac{{740.250.273}}{{760.290}} = 229,15c{m^3}\)