Động năng

Áp dụng định lí biến thiên động năng ta có:

\(\begin{array}{l}{{\rm{W}}_{d\,sau}} - {{\rm{W}}_{d\,truoc}} = {A_{ngoai\,luc}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}mv_2^2 - \dfrac{1}{2}mv_1^2 = {A_{\overrightarrow P }} + {A_{\overrightarrow Q }} + {A_{\overrightarrow {{F_c}} }}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}.0,{04.50^2} - \dfrac{1}{2}.0,{04.200^2} = {F_c}.0,04.\cos 180 \Rightarrow {F_c} = 18\,750N\end{array}\)

Ta có: F₁ = 0N; F₂ = 15N nên vật chuyển động theo chiều của lực \(\overrightarrow {{F_2}} \)

Công của lực tác dụng lên vật khi đó là:

\(A\; = {F_2}.s.\cos 0 = 15.3 = 45{\rm{ }}J\)

Vật dịch chuyển từ trạng thái nghỉ nên \({v_0}{\rm{ =  0}} \Rightarrow {{\rm{W}}_{d0}} = 0\)

Áp dụng định lí biến thiên động năng ta có:

\(A = {{\rm{W}}_d} - {{\rm{W}}_{d0}} \Leftrightarrow {{\rm{W}}_d} = A = 45J\)

Ta có: F₁ = 10N; F₂ = 0 nên vật chuyển động theo chiều của lực \(\overrightarrow {{F_1}} \)

Công của lực tác dụng lên vật khi đó là:

\(A\; = {F_1}.s = 10.4 = 20{\rm{ }}J\)

Vật dịch chuyển từ trạng thái nghỉ nên \({v_0}{\rm{ =  0}} \Rightarrow {{\rm{W}}_{d0}} = 0\)

Áp dụng định lí biến thiên động năng ta có:

\(A = {{\rm{W}}_d} - {{\rm{W}}_{d0}} \Leftrightarrow {{\rm{W}}_d} = A = 40J\)

Ta có, động năng: \({{\rm{W}}_d} = \dfrac{1}{2}m{v^2}\)

Các đơn vị của động năng:

\(J = kg.{m^2}/{s^2} = N.m\)  (do có \(kg.m/{s^2} = N\) )

=> Các phương án B, C , D – không phải là đơn vị của động năng

Phương án A- đơn vị của động năng

Ta có :

+ Động lượng : \(p = mv\)

+ Động năng : \({{\rm{W}}_d} = \dfrac{1}{2}m{v^2}\)

=> \({{\rm{W}}_{\rm{d}}} = \dfrac{{{p^2}}}{{2m}}\)  hay \({p^2} = 2m{W_d}\)

Ta có động năng của viên bi : \({{\rm{W}}_d} = \dfrac{1}{2}m{v^2}\)

\( \Rightarrow v = \sqrt {\dfrac{{2.{W_d}}}{m}}  = \sqrt {\dfrac{{2.2,4}}{{{{20.10}^{ - 3}}}}}  \approx 15,5m/s\)

Ta có, vận tốc của người so với mặt đất  là: \(v = 72km/h = 20m/s\)

=> Động năng của người so với mặt đất là: \({{\rm{W}}_d} = \dfrac{1}{2}m{v^2} = \dfrac{1}{2}{50.20^2} = 10000J = 10kJ\)

Công thức tính động năng: W_đ =\(\dfrac{1}{2}m{v^2}\).           (*)

Khi khối lượng tăng 2 lần thì: \(m' = 2m\), và vận tốc giảm 2 lần thì: \(v' = \dfrac{v}{2}\).

Thay m’ và v’ vào công thức (*) ta có:

\({{\rm{W}}_d}' = \dfrac{1}{2}m'v{'^2} = \dfrac{1}{2}.2m.{\left( {\dfrac{v}{2}} \right)^2} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}m{v^2} = \dfrac{1}{2}{{\rm{W}}_d}\)

=> Động năng giảm 2 lần

A - sai vì: Ta có đơn vị của

+ Động lượng: \(kg.m/s\)

+ Động năng: \(kg.{\left( {m/s} \right)^2} = J\)

B – sai vì: Động năng: \({{\rm{W}}_d} = \dfrac{1}{2}m{v^2}\)

C - đúng

D – sai vì: \({{\rm{W}}_d} = \dfrac{1}{2}m{v^2} = \dfrac{{{p^2}}}{{2m}}\)

Các phương án A, B, C – vật có vận tốc không đổi

=> Động năng của vật không đổi

Phương án D - khi vật chuyển động biến đổi đều thì vận tốc của vật thay đổi  \(\left( {v = {v_0} + at} \right)\)

=> Động năng cũng thay đổi do động năng tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc.

Gọi:

+ Vận tốc của đạn so với mặt đất: \({v_{13}}\)

+ Vận tốc của đạn so với máy bay: \({v_{12}} = v\)

+ Vận tốc của máy bay so với đất: \({v_{23}} = v\)

Ta có: \(\overrightarrow {{v_{13}}}  = \overrightarrow {{v_{12}}}  + \overrightarrow {{v_{23}}} \)

Theo đề bài, “phi công bắn ra phía trước loạt đạn với vận tốc \(v\) so với máy bay theo đường thẳng quỹ đạo của máy bay”

Ta suy ra: \(\overrightarrow {{v_{12}}}  \uparrow  \uparrow \overrightarrow {{v_{23}}} \)

Suy ra: \({v_{13}} = {v_{12}} + {v_{23}} = v + v = 2v\)

=> Động năng của đạn so với đất: \({{\rm{W}}_d} = \dfrac{1}{2}mv_{12}^2 = \dfrac{1}{2}m{\left( {2v} \right)^2} = 2m{v^2}\) 

Độ biến thiên động năng của vật bằng công của động cơ thực hiện trong quá trình đó

\({{\rm{W}}_{{d_2}}} - {{\rm{W}}_{{d_1}}} = A\)  (1)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{v_2} = v\\{v_1} = 0\end{array} \right.\)

Lại có, công suất của động cơ: \(P = \dfrac{A}{t} \Rightarrow A = Pt\)

Thay vào (1), ta được:

\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{2}m{v^2} - 0 = P.t\\ \Rightarrow P = \dfrac{{m{v^2}}}{{2t}}\end{array}\)

+ Gọi

- Vận tốc của vật so với mặt đất: \({v_{13}}\)

- Vận tốc của vật so với xe: \({v_{12}} = 0,5m/s\)

- Vận tốc của xe so với mặt đất: \({v_{23}} = 45km/h = 12,5m/s\)

Theo công thức cộng vận tốc, ta có: \(\overrightarrow {{v_{13}}}  = \overrightarrow {{v_{12}}}  + \overrightarrow {{v_{23}}} \)

Theo đầu bài ta có, vật chuyển động cùng phương với phương chuyển động của xe và vật được ném ra phía sau xe, suy ra: \(\overrightarrow {{v_{12}}}  \uparrow  \downarrow \overrightarrow {{v_{23}}} \)

Suy ra \({v_{13}} = \left| {{v_{12}} - {v_{23}}} \right| = \left| {0,5 - 12,5} \right| = 12m/s\)

+ Động năng của vật so với đất: \({{\rm{W}}_d} = \dfrac{1}{2}mv_{13}^2 = \dfrac{1}{2}.0,{2.12^2} = 14,4J\)

+ Ta có do lực cản sinh công làm biến đổi động năng của vật nên áp dụng định lí biến thiên động năng:

\(\begin{array}{l}{{\rm{W}}_{{d_2}}} - {{\rm{W}}_{{d_1}}} = A\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}mv_2^2 - \dfrac{1}{2}mv_1^2 = A\end{array}\)

+ Lại có: Lực cản của tấm gỗ tác dụng lên viên đạn ngược với phương chuyển động của viên đạn

=> Công của lực cản: \(A = Fs\cos {180^0} =  - {F_c}s\)

Với s chính là độ dày của tấm gỗ \(s = 5cm = 0,05m\)

Ta suy ra:

\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{2}mv_2^2 - \dfrac{1}{2}mv_1^2 =  - {F_c}s\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}0,{014.120^2} - \dfrac{1}{2}0,{014.400^2} =  - {F_c}.0,05\\ \Rightarrow {F_c} = 20384N\end{array}\)

Chọn chiều dương trùng chiều chuyển động của vật, ta có vật rơi tự do không vận tốc đầu

=> Phương trình vận tốc của vật: \(v = {v_0} + gt = 0 + gt = 10t\)

+ Khi vật có động năng là \({{\rm{W}}_d} = 5J\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{{\rm{W}}_d} = \dfrac{1}{2}m{v^2} = 5J\\ \Rightarrow v = \sqrt {\dfrac{{2{W_d}}}{m}}  = \sqrt {\dfrac{{2.5}}{{0,1}}}  = 10m/s\end{array}\)

Thay vào phương trình vận tốc, ta suy ra thời gian kể từ lúc vật bắt đầu rơi đến khi có động năng \(5J\) là: \(t = \dfrac{v}{{10}} = \dfrac{{10}}{{10}} = 1s\)

+ Khi vật có động năng là \({{\rm{W}}_d} = 4J\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{{\rm{W}}_d} = \dfrac{1}{2}m{v^2} = 4J\\ \Rightarrow v = \sqrt {\dfrac{{2{W_d}}}{m}}  = \sqrt {\dfrac{{2.4}}{{0,1}}}  = 4\sqrt 5 m/s\end{array}\)

+ Vật rơi không vận tốc đầu nên ta có \({v_0} = 0m/s\)

Áp dụng hệ liên hệ, ta có:

\(\begin{array}{l}{v^2} - v_0^2 = 2gs\\ \Rightarrow s = \dfrac{{{v^2} - v_0^2}}{{2g}} = \dfrac{{{{\left( {4\sqrt 5 } \right)}^2} - {0^2}}}{{2.10}} = 4m\end{array}\)

- Cách 1:

Ta có: Khi vật lên đến vị trí cao nhất thì vận tốc bằng 0.

Trong quá trinh vật chuyển động hướng lên thì trọng lực sinh công âm: \(A =  - P.h =  - mgh\)

+ Áp dụng đinh lí biến thiên động năng ta có:

\(\begin{array}{l}{{\rm{W}}_{{d_2}}} - {{\rm{W}}_{{d_1}}} = A\\ \Leftrightarrow 0 - \dfrac{1}{2}m{v^2} =  - mgh\\ \Rightarrow h = \dfrac{{{v^2}}}{{2g}} = \dfrac{{{4^2}}}{{2.10}} = 0,8m\end{array}\)

- Cách 2: Phương pháp động học chất điểm

Chọn chiều dương là chiều chuyển động của vật, ta có phương trình vận tốc của vật

\(v = {v_0} + at\)

Ở đây, ta có:

+ Vận tốc ban đầu: \({v_0} = 4m/s\)

+ Gia tốc của chuyển động \(a =  - g\)

=> Phương trình vận tốc của vật: \(v = 4 - gt\)

+ Khi lên đến độ cao cực đại, vận tốc của vật bằng 0

Ta suy ra thời gian vật lên đến độ cao cực đại: \(t = \dfrac{{v - 4}}{{ - g}} = \dfrac{{0 - 4}}{{ - 10}} = 0,4s\)

+ Lại có phương trình quãng đường của vật: \(s = {v_0}t + \dfrac{1}{2}a{t^2} = 4t - \dfrac{{10}}{2}{t^2}\)

=> Độ cao cực đại vật đạt được là: \(h = {s_{\left( {t = 0,4} \right)}} = 4.0,4 - \dfrac{{10}}{2}{\left( {0,4} \right)^2} = 0,8m\)

Ta có, va chạm của hệ là kín => động lượng của hệ được bảo toàn:

\(\overrightarrow {{p_1}}  + \overrightarrow {{p_2}}  = \overrightarrow {{p_1}'}  + \overrightarrow {{p_2}'} \)  (1)

\(\left\{ \begin{array}{l}{v_1} = 5m/s\\{v_2} = 0 \Rightarrow {p_2} = 0\end{array} \right.\)

Xét (1) theo phương Ox, ta có:

\(\begin{array}{l}{p_1} = {p_1}'cos{30^0} + {p_2}'cos{60^0}\\ \Leftrightarrow {m_1}{v_1} = {m_1}{v_1}'cos{30^0} + {m_2}{v_2}'cos{60^0}\end{array}\)

Do hai vật có cùng khối lượng, ta suy ra: \({v_1} = {v_1}'cos{30^0} + {v_2}'cos{60^0}\)  (2)

Xét (1) theo phương Oy, ta có:

\(\begin{array}{l}0 = {p_1}'\sin {30^0} - {p_2}'\sin {60^0}\\ \Rightarrow {p_1}'\sin {30^0} = {p_2}'\sin {60^0}\\ \Rightarrow {v_1}'sin{30^0} = {v_2}'sin{60^0}\\ \Rightarrow {v_2}' = \dfrac{{{v_1}'\sin {{30}^0}}}{{\sin {{60}^0}}} = \dfrac{{{v_1}'\sqrt 3 }}{3}\end{array}\)

 Thay vào (2) ta được:

\(\begin{array}{l}{v_1} = {v_1}'.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} + \dfrac{{{v_1}'\sqrt 3 }}{3}.\dfrac{1}{2} = {v_1}'\dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}\\ \Rightarrow {v_1}' = \dfrac{{{v_1}\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{5\sqrt 3 }}{2}m/s\end{array}\)

=> Động năng của vật 1 sau va chạm: \({{\rm{W}}_d} = \dfrac{1}{2}m{\left( {{v_1}'} \right)^2} = \dfrac{1}{2}.2.{\left( {\dfrac{{5\sqrt 3 }}{2}} \right)^2} = 18,75J\]

Ta có, va chạm của hệ là kín => động lượng của hệ được bảo toàn:

\(\overrightarrow {{p_1}}  + \overrightarrow {{p_2}}  = \overrightarrow {{p_1}'}  + \overrightarrow {{p_2}'} \)  (1)

\(\left\{ \begin{array}{l}{v_1} = 5m/s\\{v_2} = 0 \Rightarrow {p_2} = 0\end{array} \right.\)

Xét (1) theo phương Ox, ta có:

\(\begin{array}{l}{p_1} = {p_1}'cos{30^0} + {p_2}'cos{60^0}\\ \Leftrightarrow {m_1}{v_1} = {m_1}{v_1}'cos{30^0} + {m_2}{v_2}'cos{60^0}\end{array}\)

Do hai vật có cùng khối lượng, ta suy ra: \({v_1} = {v_1}'cos{30^0} + {v_2}'cos{60^0}\)  (2)

Xét (1) theo phương Oy, ta có:

\(\begin{array}{l}0 = {p_1}'\sin {30^0} - {p_2}'\sin {60^0}\\ \Rightarrow {p_1}'\sin {30^0} = {p_2}'\sin {60^0}\\ \Rightarrow {v_1}'sin{30^0} = {v_2}'sin{60^0}\\ \Rightarrow {v_1}' = \dfrac{{{v_2}'\sin {{60}^0}}}{{\sin {{30}^0}}} = \sqrt 3 {v_2}'\end{array}\)

 Thay vào (2) ta được:

\(\begin{array}{l}{v_1} = \sqrt 3 {v_2}'.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} + {v_2}'.\dfrac{1}{2} = 2{v_2}'\\ \Rightarrow {v_2}' = \dfrac{{{v_1}}}{2} = \dfrac{5}{2}m/s\end{array}\)

=> Động năng của vật 2 sau va chạm: \({{\rm{W}}_d} = \dfrac{1}{2}m{\left( {{v_2}'} \right)^2} = \dfrac{1}{2}.2.{\left( {\dfrac{5}{2}} \right)^2} = 6,25J\)

Độ biến thiên động năng của một vật bằng công của hợp lực tác dụng lên vật đó.