Cho tam giác $SPQ$ và tam giác $ACB$ có $PS = CA,{\rm{ }}PQ = CB.$ Cần thêm điều kiện gì để hai tam giác $SPQ$ và $ACB$ bằng nhau theo trường hợp cạnh – góc - cạnh:
Để hai tam giác $SPQ$ và $ACB$ bằng nhau theo trường hợp cạnh – góc – cạnh mà đã có $PS = CA,{\rm{ }}PQ = CB$ thì cần thêm điều kiện về góc xen giữa cạnh $PS,{\rm{ }}PQ$ và góc xen giữa cạnh $CA$ và $CB$ bằng nhau là: \(\widehat P = \widehat C\)
Một tam giác cân có góc ở đỉnh bằng \({52^0}\) thì số đo góc ở đáy là:
Giả sử ta có \(\Delta ABC\) cân tại \(A \Rightarrow \widehat B = \widehat C\) (tính chất tam giác cân).
Mà \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0} \Rightarrow \widehat B = \widehat C = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat A}}{2} = \dfrac{{{{180}^0} - {{52}^0}}}{2} = {64^0}.\)
Cho tam giác ABC vuông tại C có $AB = 10cm,{\rm{ }}AC = 8cm.$ Độ dài cạnh $BC$ là:
Áp dụng định lý Pitago cho tam giác $ABC$ vuông tại $C$ ta có: \(BC = \sqrt {A{B^2} - A{C^2}} = \sqrt {{{10}^2} - {8^2}} = 6(cm)\)
Cho tam giác ABC và tam giác DEF có AB = DE, \(\widehat B = \widehat E\) , \(\widehat A = \widehat D\). Biết $AC = 15cm.$ Độ dài $DF$ là:
Xét tam giác $ABC$ và tam giác $DEF$ có: \(\left\{ \begin{array}{l}\widehat B = \widehat E\;\left( {gt} \right)\\AB = DE\;\left( {gt} \right)\\\widehat A = \widehat D\;\left( {gt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \Delta ABC = \Delta DEF\;\left( {g - c - g} \right)\)
\( \Rightarrow DF = AC = 15cm\) (hai cạnh tương ứng).
Cho tam giác $ABC$ cân tại đỉnh $A$ với \(\widehat A = {80^0}\). Trên hai cạnh $AB,AC$ lần lượt lấy hai điểm $D$ và $E$ sao cho $AD = AE.$ Phát biểu nào sau đây đúng nhất?
Ta có: \(\Delta ABC\) cân tại A suy ra \(\widehat B = \widehat C = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat A}}{2} = \dfrac{{{{180}^0} - {{80}^0}}}{2} = {50^0}\)
Vì AD = AE nên \(\Delta ADE\) cân , suy ra \(\widehat {ADE} = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat A}}{2} = \dfrac{{{{180}^0} - {{80}^0}}}{2} = {50^0}\)
Do đó \(\widehat B = \widehat {ADE}\) . Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên $ED//BC.$
Vậy cả A, B, C đều đúng.
Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ có \(\widehat B = {40^0}.\) Cho $AD$ là tia phân giác của góc \(\widehat {BAC}\). Số đo góc \(\widehat {DAB}\) là:
Do tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên \(\widehat B = \widehat C = {40^0}.\)
Xét tam giác $ABC$ ta có: $\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0}$$ \Leftrightarrow \widehat A = {180^0} - \widehat B - \widehat C = {180^0} - {40^0} - {40^0} = {100^0}.$
Vì $AD$ là phân giác của \(\widehat {BAC} \)\(\Rightarrow \widehat {DAB} = \widehat {DAC} = \dfrac{{\widehat A}}{2} = {50^0}\)
Một tam giác vuông có bình phương độ dài cạnh huyền bằng $164$ độ dài hai cạnh góc vuông tỉ lệ với $4$ và $5.\;$ Tính độ dài hai cạnh góc vuông.
Gọi $a,b$ lần lượt là độ dài hai cạnh góc vuông (cm) $(a,b > 0)$.
Theo định lý Pytago ta có \({a^2} + {b^2} = 164\)
Theo bài ta có: $\dfrac{a}{4} = \dfrac{b}{5}$
Suy ra \({\left( {\dfrac{a}{4}} \right)^2} = {\left( {\dfrac{b}{5}} \right)^2} \Leftrightarrow \dfrac{{{a^2}}}{{16}} = \dfrac{{{b^2}}}{{25}} = \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{{16 + 25}} = \dfrac{{164}}{{41}} = 4\) (tính chất dãy tỉ số bằng nhau)
Do đó \({a^2} = 16.4 = 64 = {8^2} \Rightarrow a = 8\)
\({b^2} = 25.4 = 100 = {10^2} \Rightarrow b = 10\)
Vậy độ dài hai cạnh góc vuông là \(8;10\) (đơn vị độ dài).
Cho $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có: \(\dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{5}{{12}}\) và $AC - AB = 14cm.$ Tính chu vi của $\Delta ABC.\;$
Từ \(\dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{5}{{12}}\)\( \Rightarrow \dfrac{{AB}}{5} = \dfrac{{AC}}{{12}}\)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:
\(\dfrac{{AB}}{5} = \dfrac{{AC}}{{12}} = \dfrac{{AC - AB}}{{12 - 5}} = \dfrac{{14}}{7} = 2\)
\( \Rightarrow AB = 5.2 = 10\,cm;\,AC = 12.2 = 24\,cm\)
Áp dụng định lí Py - ta - go vào tam giác vuông $ABC$ ,ta được:
\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {10^2} + {24^2} = 676 = {26^2}\)\( \Rightarrow BC = 26cm\)
Vậy chu vi tam giác \(ABC\) là \(10 + 24 + 26 = 60\,cm\)
Cho tam giác $ABC$ có các góc $B,C\;$ nhọn. Kẻ $AH \bot BC.$
Biết $AC = 10cm,HB = 5cm,HC = 6cm.$ Tính $A{B^2}.$
Tam giác $AHC$ vuông tại $H$ nên theo định lí Py-ta-go, ta có:
\(A{H^2} + H{C^2} = A{C^2} \Rightarrow A{H^2} = A{C^2} - H{C^2} = {10^2} - {6^2} = 64\)\( \Rightarrow AH = 8cm\)
Tam giác $AHB$ vuông tại $H$ nên theo định lí Py-ta-go, ta có:
\(A{H^2} + B{H^2} = A{B^2} \Leftrightarrow A{B^2} = {8^2} + {5^2} = 89.\)
Vậy \(A{B^2} = 89.\)
Cho tam giác ABC vuông tại A, có $\widehat B = {60^0}$và $AB{\rm{ }} = 5cm.$ Tia phân giác của góc $B$ cắt $AC$ tại $D.$ Kẻ $DE$ vuông góc với $BC$ tại $E.$
Chọn câu đúng.
Xét $\Delta ABD$ và \(\Delta \)$EBD$ , có:
+ $\widehat {BAD} = \widehat {BED} = {90^0}(gt)$
+ BD là cạnh huyền chung
+ $\widehat {ABD} = \widehat {EBD}(gt)$
Vậy \(\Delta ABE = \Delta EBD\) (cạnh huyền – góc nhọn) nên A sai.
Ta có: \(\Delta ABE = \Delta EBD\)(cmt)\( \Rightarrow AB = EB \) (hai cạnh tương ứng).
Do đó \(\Delta \)ABE cân tại B.
Mà \(\widehat B = {60^0}\) (gt) nên \(\Delta ABE\) đều. (dhnb)
Cho tam giác ABC vuông tại A, có $\widehat B = {60^0}$và $AB{\rm{ }} = 5cm.$ Tia phân giác của góc $B$ cắt $AC$ tại $D.$ Kẻ $DE$ vuông góc với $BC$ tại $E.$
Tính độ dài cạnh $BC.$
Ta có: $\widehat {EAC} + \widehat {BAE} = {90^0}$(gt)
$\widehat C + \widehat B = {90^0}$ (\(\Delta \)$ABC$ vuông tại A)
Mà $\widehat {BAE} = \widehat B = {60^0}$ ( do \(\Delta \)ABE đều) nên $\widehat {EAC} = \widehat C$
\( \Rightarrow \) \(\Delta \)AEC cân tại E
\( \Rightarrow EA = EC\) mà $EA = AB = EB = 5cm$
Do đó $EC = 5cm$
Vậy $BC = EB + EC = 5cm + 5cm = 10cm.$
Cho $\Delta ABC$ cân tại $A,$ lấy $M$ là trung điểm của $BC$. Kẻ $MH \bot AB{\rm{ }}(H \in AB),{\rm{ }}MK \bot AC{\rm{ }}(K \in AC).$ Chọn câu đúng nhất.
+) Xét $\Delta AMB$ và $\Delta AMC$ có:
$AB = AC$ ($\Delta ABC$ cân tại $A$ )
$AM$ chung
$MB = MC$ ($M$ là trung điểm $BC$ )
Suy ra $\Delta AMB{\rm{ }} = {\rm{ }}\Delta AMC$ (cạnh – cạnh – cạnh)
+) Ta có: ∆AMB = ∆AMC (cmt)
\( \Rightarrow \widehat {AMB} = \widehat {AMC}\) ( hai góc tương ứng)
Mà \(\widehat {AMB} + \widehat {AMC} = 180^\circ \) ( hai góc kề bù)\( \Rightarrow \widehat {AMB} = \widehat {AMC} = 180^\circ :2 = 90^\circ \)
Suy ra AM $ \bot $ BC.
+) Xét ∆HMB và ∆KMC có
\(\widehat {BHM} = \widehat {CKM} = 90^\circ \) (gt)
MB = MC (M là trung điểm của BC)
$\widehat {HBM} = \widehat {KCM}$ (tam giác ABC cân tại A)
Suy ra ∆HMB = ∆KMC (cạnh huyền-góc nhọn), suy ra MH = MK (hai cạnh tương ứng).
Cho tam giác $ABC$ có $AB = AC = 10cm,{\rm{ }}BC = 12cm.$ Vẽ $AH$ vuông góc $BC$ tại $H.$ Từ H vẽ $HM \bot AB$\((M \in AB)\) và vẽ $HN$ \( \bot \)$AC$ \((N \in AC)\). Đường thẳng vuông góc với \(AB\) tại \(B\) và đường thẳng vuông góc với \(AC\) tại \(C\) cắt nhau tại \(O.\)
Chọn câu đúng nhất.
+) Xét \(\Delta AHB\) và \(\Delta AHC\) có: \(\left\{ \begin{array}{l}\widehat {AHB} = \widehat {AHC} = {90^0}\;\;\left( {gt} \right)\\AB = AC\;\;\left( {gt} \right)\\AH\;\;chung\end{array} \right.\)
Do đó \(\Delta AHB = \Delta AHC\) (cạnh huyền - cạnh góc vuông) \( \Rightarrow \widehat {BAH} = \widehat {CAH}\) (hai góc tương ứng)
\( \Rightarrow \) $AH$ là tia phân giác của góc $A$ (định nghĩa tia phân giác của một góc).
+) Xét \(\Delta BHM\)và \(\Delta CHN\) có:
\(\widehat {BMH} = \widehat {CNH} = {90^0}(gt)\)
\(\widehat B = \widehat C\) (\(\Delta ABC\) cân tại A)
$BH = HC$ \(\left( {\Delta AHB = \Delta AHC} \right)\)
Do đó \(\Delta BHM = \Delta CHN\) (cạnh huyền - góc nhọn)
Cho tam giác $ABC$ có $AB = AC = 10cm,{\rm{ }}BC = 12cm.$ Vẽ $AH$ vuông góc $BC$ tại $H.$ Từ H vẽ $HM \bot AB$\((M \in AB)\) và vẽ $HN$ \( \bot \)$AC$ \((N \in AC)\). Đường thẳng vuông góc với \(AB\) tại \(B\) và đường thẳng vuông góc với \(AC\) tại \(C\) cắt nhau tại \(O.\)
Tính \(AH.\)
Vì tam giác \(ABC\) có \(AB = AC\) nên tam giác \(ABC\) cân tại \(A.\) Lại có \(AH\) là đường cao nên \(AH\) cũng là đường trung tuyến.
Ta có $BH = HC = $\(\dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{{12}}{2} = 6\)cm
Xét \(\Delta AHB\) vuông tại $H,$ theo định lí Pytago ta có:
$\begin{array}{l}A{B^2} = A{H^2} + H{B^2} \Leftrightarrow {10^2} = A{H^2} + {6^2}\\ \Rightarrow A{H^2} = {10^2} - {6^2} \Leftrightarrow A{H^2} = 64\\ \Rightarrow AH = 8cm\end{array}$
Cho tam giác $ABC$ có $AB = AC = 10cm,{\rm{ }}BC = 12cm.$ Vẽ $AH$ vuông góc $BC$ tại $H.$ Từ H vẽ $HM \bot AB$\((M \in AB)\) và vẽ $HN$ \( \bot \)$AC$ \((N \in AC)\). Đường thẳng vuông góc với \(AB\) tại \(B\) và đường thẳng vuông góc với \(AC\) tại \(C\) cắt nhau tại \(O.\)
Tam giác \(OBC\) là tam giác
+) Ta có: \(\widehat {CBO} = {90^0} - \widehat {ABC}\) (hai góc phụ nhau)
\(\widehat {BCO} = {90^0} - \widehat {ACB}\) (hai góc phụ nhau)
Mà \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) ($\Delta ABC\;$ cân tại $A$ )
Do đó: \(\widehat {CBO} = \widehat {BCO}\) nên $\Delta OBC$ cân tại $O$ (dhnb).
Cho hai đoạn thẳng $AB$ và $CD$ cắt nhau ở $E.$ Các tia phân giác của các góc $ACE$ và $DBE$ cắt nhau ở $K.$ Chọn câu đúng.
Gọi \(G = CK \cap AE;\,H = BK \cap DE\) .
Xét tam giác $KGB$ có: \(\widehat K + \widehat {{B_1}} = 180^\circ - \widehat {KGB}\) ( định lí tổng ba góc trong tam giác)
Xét tam giác $KGB$ có: \(\widehat A + \widehat {{C_1}} = 180^\circ - \widehat {AGC}\) ( định lí tổng ba góc trong tam giác)
Mà \(\widehat {KGB} = \widehat {AGC}\) (hai góc đối đỉnh), suy ra \(\widehat K + \widehat {{B_1}} = \widehat A + \widehat {{C_1}}\) (1)
Xét tam giác KHC có: \(\widehat K + \widehat {{C_2}} = 180^\circ - \widehat {KHC}\)( định lí tổng ba góc trong tam giác)
Xét tam giác DHB có: \(\widehat D + \widehat {{B_2}} = 180^\circ - \widehat {DHB}\)( định lí tổng ba góc trong tam giác)
Mà \(\widehat {KHC} = \widehat {DHB}\) (hai góc đối đỉnh), suy ra \(\widehat K + \widehat {{C_2}} = \widehat D + \widehat {{B_2}}\) (2)
Cộng vế với vế của biểu thức (1) và (2) ta được: \(2\widehat K + \widehat {{B_1}} + \widehat {{C_2}} = \widehat A + \widehat D + \widehat {{B_2}}+ \widehat {{C_1}}.\)
MÀ \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}\) (BK là tia phân giác của góc DBA);
\(\widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}}\) ( CK là tia phân giác của góc ACD).
\( \Rightarrow 2\widehat K = \widehat A + \widehat D\), do đó \(\widehat K = \dfrac{{\widehat A + \widehat D}}{2}\) hay \(\widehat {BKC} = \dfrac{{\widehat {BAC} + \widehat {BDC}}}{2}\).
