Bài tập ôn tập chương 6: Tam giác

Để hai tam giác $SPQ$ và $ACB$ bằng nhau  theo trường hợp cạnh – góc – cạnh mà đã có $PS = CA,{\rm{ }}PQ = CB$ thì cần thêm điều kiện về góc xen giữa cạnh $PS,{\rm{ }}PQ$ và góc xen giữa cạnh $CA$ và $CB$ bằng nhau là: $\widehat P = \widehat C$

Giả sử ta có $\Delta ABC$ cân tại $A \Rightarrow \widehat B = \widehat C$ (tính chất tam giác cân).

Mà $\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0} \Rightarrow \widehat B = \widehat C = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat A}}{2} = \dfrac{{{{180}^0} - {{52}^0}}}{2} = {64^0}.$

Áp dụng định lý Pitago cho tam giác $ABC$ vuông tại $C$ ta có: $BC = \sqrt {A{B^2} - A{C^2}}  = \sqrt {{{10}^2} - {8^2}}  = 6(cm)$

Xét tam giác $ABC$ và tam giác $DEF$ có: $\left\{ \begin{array}{l}\widehat B = \widehat E\;\left( {gt} \right)\\AB = DE\;\left( {gt} \right)\\\widehat A = \widehat D\;\left( {gt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \Delta ABC = \Delta DEF\;\left( {g - c - g} \right)$

$\Rightarrow DF = AC = 15cm$ (hai cạnh tương ứng).

Ta có: $\Delta ABC$ cân tại A suy ra  $\widehat B = \widehat C = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat A}}{2} = \dfrac{{{{180}^0} - {{80}^0}}}{2} = {50^0}$

Vì AD = AE nên $\Delta ADE$ cân , suy ra  $\widehat {ADE} = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat A}}{2} = \dfrac{{{{180}^0} - {{80}^0}}}{2} = {50^0}$

Do đó $\widehat B = \widehat {ADE}$ . Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên $ED//BC.$

Vậy cả A, B, C đều đúng.

Do tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên $\widehat B = \widehat C = {40^0}.$

Xét tam giác $ABC$  ta có: $\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0}$$\Leftrightarrow \widehat A = {180^0} - \widehat B - \widehat C = {180^0} - {40^0} - {40^0} = {100^0}.$

Vì $AD$ là phân giác của $\widehat {BAC}$$\Rightarrow \widehat {DAB} = \widehat {DAC} = \dfrac{{\widehat A}}{2} = {50^0}$

Gọi $a,b$  lần lượt là độ dài hai cạnh góc vuông (cm) $(a,b > 0)$.

Theo định lý Pytago ta có ${a^2} + {b^2} = 164$
Theo bài ta có: $\dfrac{a}{4} = \dfrac{b}{5}$  

Suy ra ${\left( {\dfrac{a}{4}} \right)^2} = {\left( {\dfrac{b}{5}} \right)^2} \Leftrightarrow \dfrac{{{a^2}}}{{16}} = \dfrac{{{b^2}}}{{25}} = \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{{16 + 25}} = \dfrac{{164}}{{41}} = 4$  (tính chất dãy tỉ số bằng nhau)

Do đó ${a^2} = 16.4 = 64 = {8^2} \Rightarrow a = 8$

${b^2} = 25.4 = 100 = {10^2} \Rightarrow b = 10$

Vậy độ dài hai cạnh góc vuông là $8;10$ (đơn vị độ dài).

Từ $\dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{5}{{12}}$$\Rightarrow \dfrac{{AB}}{5} = \dfrac{{AC}}{{12}}$  
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được: 

$\dfrac{{AB}}{5} = \dfrac{{AC}}{{12}} = \dfrac{{AC - AB}}{{12 - 5}} = \dfrac{{14}}{7} = 2$

$\Rightarrow AB = 5.2 = 10\,cm;\,AC = 12.2 = 24\,cm$
Áp dụng định lí Py - ta - go vào tam giác vuông $ABC$ ,ta được: 
$B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {10^2} + {24^2} = 676 = {26^2}$$\Rightarrow BC = 26cm$

Vậy chu vi tam giác $ABC$ là $10 + 24 + 26 = 60\,cm$

Tam giác $AHC$  vuông tại $H$ nên theo định lí Py-ta-go, ta có: 
$A{H^2} + H{C^2} = A{C^2} \Rightarrow A{H^2} = A{C^2} - H{C^2} = {10^2} - {6^2} = 64$$\Rightarrow AH = 8cm$

Tam giác $AHB$ vuông tại $H$ nên theo định lí Py-ta-go, ta có: 

$A{H^2} + B{H^2} = A{B^2} \Leftrightarrow A{B^2} = {8^2} + {5^2} = 89.$

Vậy $A{B^2} = 89.$

Xét  $\Delta ABD$ và $\Delta$$EBD$ , có:

+ $\widehat {BAD} = \widehat {BED} = {90^0}(gt)$

+ BD là cạnh huyền chung

 + $\widehat {ABD} = \widehat {EBD}(gt)$

Vậy $\Delta ABE = \Delta EBD$ (cạnh huyền – góc nhọn) nên A sai.

Ta có: $\Delta ABE = \Delta EBD$(cmt)$\Rightarrow AB = EB$  (hai cạnh tương ứng).

Do đó  $\Delta$ABE cân tại B.

Mà  $\widehat B = {60^0}$  (gt)  nên  $\Delta ABE$ đều. (dhnb)

Ta có:  $\widehat {EAC} + \widehat {BAE} = {90^0}$(gt)

            $\widehat C + \widehat B = {90^0}$ ($\Delta$$ABC$ vuông tại A)

Mà $\widehat {BAE} = \widehat B = {60^0}$ ( do $\Delta$ABE đều)  nên $\widehat {EAC} = \widehat C$

$\Rightarrow$ $\Delta$AEC cân tại E

$\Rightarrow EA = EC$ mà $EA = AB = EB = 5cm$

Do đó $EC = 5cm$

Vậy $BC = EB + EC = 5cm + 5cm = 10cm.$

+)  Xét $\Delta AMB$ và $\Delta AMC$ có:

$AB = AC$  ($\Delta ABC$ cân tại $A$ )

$AM$   chung

$MB = MC$  ($M$ là trung điểm $BC$ )

Suy ra $\Delta AMB{\rm{ }} = {\rm{ }}\Delta AMC$ (cạnh – cạnh – cạnh)

+) Ta có: ∆AMB = ∆AMC (cmt)

$\Rightarrow \widehat {AMB} = \widehat {AMC}$  ( hai góc tương ứng)

Mà  $\widehat {AMB} + \widehat {AMC} = 180^\circ$ ( hai góc kề  bù)$\Rightarrow \widehat {AMB} = \widehat {AMC} = 180^\circ :2 = 90^\circ$

Suy ra AM $\bot$ BC.

+) Xét  ∆HMB và ∆KMC có

$\widehat {BHM} = \widehat {CKM} = 90^\circ$ (gt)

MB = MC (M là trung điểm của BC)

$\widehat {HBM} = \widehat {KCM}$ (tam giác ABC cân tại A)

Suy ra ∆HMB = ∆KMC (cạnh huyền-góc nhọn), suy ra MH = MK (hai cạnh tương ứng).

+) Xét $\Delta AHB$ và $\Delta AHC$ có: $\left\{ \begin{array}{l}\widehat {AHB} = \widehat {AHC} = {90^0}\;\;\left( {gt} \right)\\AB = AC\;\;\left( {gt} \right)\\AH\;\;chung\end{array} \right.$

Do đó $\Delta AHB = \Delta AHC$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông) $\Rightarrow \widehat {BAH} = \widehat {CAH}$ (hai góc tương ứng)

$\Rightarrow$ $AH$ là tia phân giác của góc $A$ (định nghĩa tia phân giác của một góc).

+) Xét $\Delta BHM$và $\Delta CHN$ có:

$\widehat {BMH} = \widehat {CNH} = {90^0}(gt)$

$\widehat B = \widehat C$ ($\Delta ABC$ cân tại A)

$BH = HC$ $\left( {\Delta AHB = \Delta AHC} \right)$

Do đó $\Delta BHM = \Delta CHN$  (cạnh huyền - góc nhọn)

 Vì tam giác $ABC$ có $AB = AC$ nên tam giác $ABC$ cân tại $A.$ Lại có $AH$ là đường cao nên $AH$ cũng là đường trung tuyến.

Ta có $BH = HC =$$\dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{{12}}{2} = 6$cm

Xét $\Delta AHB$ vuông tại $H,$ theo định lí Pytago ta có:

$\begin{array}{l}A{B^2} = A{H^2} + H{B^2} \Leftrightarrow {10^2} = A{H^2} + {6^2}\\ \Rightarrow A{H^2} = {10^2} - {6^2} \Leftrightarrow A{H^2} = 64\\ \Rightarrow AH = 8cm\end{array}$

+) Ta có: $\widehat {CBO} = {90^0} - \widehat {ABC}$ (hai góc phụ nhau)

$\widehat {BCO} = {90^0} - \widehat {ACB}$ (hai góc phụ nhau)

Mà $\widehat {ABC} = \widehat {ACB}$  ($\Delta ABC\;$ cân tại $A$ )

Do đó: $\widehat {CBO} = \widehat {BCO}$ nên $\Delta OBC$  cân tại $O$ (dhnb).

Gọi $G = CK \cap AE;\,H = BK \cap DE$ .

Xét tam giác $KGB$ có: $\widehat K + \widehat {{B_1}} = 180^\circ  - \widehat {KGB}$ ( định lí tổng ba góc trong tam giác)

Xét tam giác $KGB$  có: $\widehat A + \widehat {{C_1}} = 180^\circ  - \widehat {AGC}$ ( định lí tổng ba góc trong tam giác)

Mà $\widehat {KGB} = \widehat {AGC}$ (hai góc đối đỉnh), suy ra $\widehat K + \widehat {{B_1}} = \widehat A + \widehat {{C_1}}$    (1)

Xét tam giác KHC có: $\widehat K + \widehat {{C_2}} = 180^\circ  - \widehat {KHC}$( định lí tổng ba góc trong tam giác)

Xét tam giác DHB có: $\widehat D + \widehat {{B_2}} = 180^\circ  - \widehat {DHB}$( định lí tổng ba góc trong tam giác)

Mà $\widehat {KHC} = \widehat {DHB}$ (hai góc đối đỉnh), suy ra $\widehat K + \widehat {{C_2}} = \widehat D + \widehat {{B_2}}$ (2)

Cộng vế với vế của biểu thức (1) và (2) ta được: $2\widehat K + \widehat {{B_1}} + \widehat {{C_2}} = \widehat A + \widehat D + \widehat {{B_2}}+ \widehat {{C_1}}.$

MÀ  $\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}$ (BK là tia phân giác của góc DBA);

$\widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}}$ ( CK là tia phân giác của góc ACD).

$\Rightarrow 2\widehat K = \widehat A + \widehat D$, do đó $\widehat K = \dfrac{{\widehat A + \widehat D}}{2}$  hay $\widehat {BKC} = \dfrac{{\widehat {BAC} + \widehat {BDC}}}{2}$.