Bài tập ôn tập chương 6: Tam giác

Xét tam giác ABC có :$\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0} \Rightarrow \widehat B = {180^0} - \left( {\widehat A + \widehat C} \right) = {180^0} - \left( {{{98}^0} + {{57}^0}} \right) = {25^0}$.

Ta có: $\Delta ABC{\rm{ }} = {\rm{ }}\Delta DEF$, suy ra: $AC = DF = 7cm,{\rm{ }}BC = EF = {\rm{ }}6cm.$

Vậy chu vi của tam giác $ABC$ là: ${C_{ABC}} = {\rm{ }}AB + AC + BC = 4 + 7 + 6 = 17cm.$

Ta có: $\Delta ABC{\rm{ }} = {\rm{ }}\Delta DEF$, suy ra:

- Các cạnh tương ứng bằng nhau là: $AB = DE;\;\;AC = DF;\;\;BC = EF.$

- Các góc tương ứng bằng nhau là: $\widehat A = \widehat D;\;\;\widehat B = \widehat E;\;\widehat C = \widehat F.$  

Vậy A, B, D đúng, C sai.

Ta có: $\Delta ABC{\rm{ }} = {\rm{ }}\Delta DEF$, suy ra:

- Các cạnh tương ứng bằng nhau là: $AB = DE;\;\;AC = DF;\;\;BC = EF.$

- Các góc tương ứng bằng nhau là: $\widehat A = \widehat D;\;\;\widehat B = \widehat E;\;\widehat C = \widehat F.$  

Vậy A, B, D đúng, C sai.

Ta có:  $\widehat {EAC} + \widehat {BAE} = {90^0}$(gt)

            $\widehat C + \widehat B = {90^0}$ ($\Delta$$ABC$ vuông tại A)

Mà $\widehat {BAE} = \widehat B = {60^0}$ ( do $\Delta$ABE đều)  nên $\widehat {EAC} = \widehat C$

$\Rightarrow$ $\Delta$AEC cân tại E

$\Rightarrow EA = EC$ mà $EA = AB = EB = 5cm$

Do đó $EC = 5cm$

Vậy $BC = EB + EC = 5cm + 5cm = 10cm.$

Xét  $\Delta ABD$ và $\Delta$$EBD$ , có:

+ $\widehat {BAD} = \widehat {BED} = {90^0}(gt)$

+ BD là cạnh huyền chung

 + $\widehat {ABD} = \widehat {EBD}(gt)$

Vậy $\Delta ABE = \Delta EBD$ (cạnh huyền – góc nhọn) nên A sai.

Ta có: $\Delta ABE = \Delta EBD$(cmt)$\Rightarrow AB = EB$  (hai cạnh tương ứng).

Do đó  $\Delta$ABE cân tại B.

Mà  $\widehat B = {60^0}$  (gt)  nên  $\Delta ABE$ đều. (dhnb)

Xét  $\Delta ABD$ và $\Delta$$EBD$ , có:

+ $\widehat {BAD} = \widehat {BED} = {90^0}(gt)$

+ BD là cạnh huyền chung

 + $\widehat {ABD} = \widehat {EBD}(gt)$

Vậy $\Delta ABE = \Delta EBD$ (cạnh huyền – góc nhọn) nên A sai.

Ta có: $\Delta ABE = \Delta EBD$(cmt)$\Rightarrow AB = EB$  (hai cạnh tương ứng).

Do đó  $\Delta$ABE cân tại B.

Mà  $\widehat B = {60^0}$  (gt)  nên  $\Delta ABE$ đều. (dhnb)

+) Ta có: $\widehat {CBO} = {90^0} - \widehat {ABC}$ (hai góc phụ nhau)

$\widehat {BCO} = {90^0} - \widehat {ACB}$ (hai góc phụ nhau)

Mà $\widehat {ABC} = \widehat {ACB}$  ($\Delta ABC\;$ cân tại $A$ )

Do đó: $\widehat {CBO} = \widehat {BCO}$ nên $\Delta OBC$  cân tại $O$ (dhnb).

 Vì tam giác $ABC$ có $AB = AC$ nên tam giác $ABC$ cân tại $A.$ Lại có $AH$ là đường cao nên $AH$ cũng là đường trung tuyến.

Ta có $BH = HC =$$\dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{{12}}{2} = 6$cm

Xét $\Delta AHB$ vuông tại $H,$ theo định lí Pytago ta có:

$\begin{array}{l}A{B^2} = A{H^2} + H{B^2} \Leftrightarrow {10^2} = A{H^2} + {6^2}\\ \Rightarrow A{H^2} = {10^2} - {6^2} \Leftrightarrow A{H^2} = 64\\ \Rightarrow AH = 8cm\end{array}$

+) Xét $\Delta AHB$ và $\Delta AHC$ có: $\left\{ \begin{array}{l}\widehat {AHB} = \widehat {AHC} = {90^0}\;\;\left( {gt} \right)\\AB = AC\;\;\left( {gt} \right)\\AH\;\;chung\end{array} \right.$

Do đó $\Delta AHB = \Delta AHC$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông) $\Rightarrow \widehat {BAH} = \widehat {CAH}$ (hai góc tương ứng)

$\Rightarrow$ $AH$ là tia phân giác của góc $A$ (định nghĩa tia phân giác của một góc).

+) Xét $\Delta BHM$và $\Delta CHN$ có:

$\widehat {BMH} = \widehat {CNH} = {90^0}(gt)$

$\widehat B = \widehat C$ ($\Delta ABC$ cân tại A)

$BH = HC$ $\left( {\Delta AHB = \Delta AHC} \right)$

Do đó $\Delta BHM = \Delta CHN$  (cạnh huyền - góc nhọn)

+) Xét $\Delta AHB$ và $\Delta AHC$ có: $\left\{ \begin{array}{l}\widehat {AHB} = \widehat {AHC} = {90^0}\;\;\left( {gt} \right)\\AB = AC\;\;\left( {gt} \right)\\AH\;\;chung\end{array} \right.$

Do đó $\Delta AHB = \Delta AHC$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông) $\Rightarrow \widehat {BAH} = \widehat {CAH}$ (hai góc tương ứng)

$\Rightarrow$ $AH$ là tia phân giác của góc $A$ (định nghĩa tia phân giác của một góc).

+) Xét $\Delta BHM$và $\Delta CHN$ có:

$\widehat {BMH} = \widehat {CNH} = {90^0}(gt)$

$\widehat B = \widehat C$ ($\Delta ABC$ cân tại A)

$BH = HC$ $\left( {\Delta AHB = \Delta AHC} \right)$

Do đó $\Delta BHM = \Delta CHN$  (cạnh huyền - góc nhọn)

Giả sử tam giác $ABC$ cân tại $A$ ta có $\widehat B = \widehat C$ (tính chất tam giác cân).

Theo tính chất tổng ba góc của tam giác ta có: $\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0} \Rightarrow \widehat A + 2\widehat B = {180^0}.$

Mà $\widehat B = \widehat C = {40^0}\;\;\left( {gt} \right) \Rightarrow \widehat A = {180^0} - 2\widehat B = {180^0} - {2.40^0} = {100^0}.$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}M{P^2} \ne M{N^2} + N{P^2}(do\;\;{18^2} \ne {15^2} + {8^2})\\M{N^2} \ne M{P^2} + N{P^2}(do\;\;{15^2} \ne {18^2} + {8^2})\\N{P^2} \ne M{N^2} + M{P^2}(do\;\;{8^2} \ne {15^2} + {18^2})\end{array} \right.$

 Do đó tam giác $MNP$ không là tam giác vuông. Suy ra đáp án D đúng.

Để tam giác  $MNP$ bằng tam giác  $HIK$ theo trường hợp cạnh - cạnh – cạnh, mà đã có $MN = HI;{\rm{ }}PM = HK$ thì ta cần cặp cạnh còn lại của hai tam giác này bằng nhau, tức là cần thêm  $NP = IK.$

Xét tam giác $DEF$ và tam giác $HKG$ có: $\left\{ \begin{array}{l}DE = HK\;\;\left( {gt} \right)\\\widehat E = \widehat K\;\;\;\left( {gt} \right)\\EF = KG\;\;\left( {gt} \right)\end{array} \right.$

 $\Rightarrow \Delta DEF = \Delta HKG\;\;\left( {c - g - c} \right)$

$\Rightarrow \widehat H = \widehat D = {60^0}$ (hai góc tương ứng)

Xét tam giác $ABC$ có :$\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0}$ (định lí tổng ba góc trong tam giác)

$\Rightarrow \widehat C = {180^0} - \left( {\widehat A + \widehat B} \right) = {180^0} - \left( {{{50}^0} + {{70}^0}} \right) = {60^0}$

Vì $CM$ là tia phân giác của $\widehat {ACB}$ nên $\widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}} = \dfrac{{\widehat C}}{2} = \dfrac{{{{60}^0}}}{2} = {30^0}$.

Xét tam giác $BMC$ có: $\widehat {BMC} = 180^\circ  - \left( {\widehat B + \widehat {{C_1}}} \right)$ (định lí tổng ba góc trong tam giác)

$\Rightarrow \widehat {BMC} = 180^\circ  - \left( {70^\circ  + 30^\circ } \right) = 80^\circ$

Ta có: $\Delta ABC{\rm{ }} = {\rm{ }}\Delta DEF$, suy ra:

- Các cạnh tương ứng bằng nhau là: $AB = DE;\;\;AC = DF;\;\;BC = EF.$

- Các góc tương ứng bằng nhau là: $\widehat A = \widehat D;\;\;\widehat B = \widehat E;\;\widehat C = \widehat F.$  

Vậy A, B, D đúng, C sai.

Ta có: $\Delta ABC{\rm{ }} = {\rm{ }}\Delta DEF$, suy ra: $AC = DF = 7cm,{\rm{ }}BC = EF = {\rm{ }}6cm.$

Vậy chu vi của tam giác $ABC$ là: ${C_{ABC}} = {\rm{ }}AB + AC + BC = 4 + 7 + 6 = 17cm.$

+) Xét $\Delta AHC$ vuông tại $H,$ theo định lý Py-ta-go  ta có :

$\begin{array}{l}A{C^2} = A{H^2} + H{C^2}\\A{C^2} = 7,{2^2} + 9,{6^2}\\A{C^2} = 144\\ \Rightarrow AC = \sqrt {144}  = 12cm\end{array}$

+) Xét $\Delta ABC$  vuông tại  $A,$ theo định lý Py-ta-go  ta có:

$\begin{array}{l}B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\\B{C^2} = {9^2} + {12^2}\\B{C^2} = 225\\ \Rightarrow BC = \sqrt {225}  = 15cm\end{array}$

Vậy $AC = 12\,cm;BC = 15\,cm.$

Theo định lý tổng 3 góc trong tam giác ta có: $\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \widehat A = 180^\circ  - \left( {\widehat B + \widehat C} \right) = {180^0} - \left( {{{60}^0} + {{40}^0}} \right)\\ \Rightarrow \widehat A = {80^0}.\end{array}$