Vị trí tương đối của hai đường tròn cực hay, chi tiết (hai đường tròn tiếp xúc)

178 lượt xem

Bài trước

Bài sau

BÀI TOÁN HAI ĐƯỜNG TRÒN TIẾP XÚC

A. Phương pháp giải

1) Sử dụng tính chất tiếp điểm nằm trên đường nối tâm.

2) Kẻ tiếp tuyến chung để sử dụng tính chất đặc trưng và tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau.

3) Đường nối tâm là trục đối xứng của hình gồm cả hai đường tròn.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hình bình hành ABCD, hai đường chéo cắt nhau tại M. Vẽ các đường tròn ngoại tiếp tam giác AMD và tam giác CMB. Chứng minh rằng hai đường tròn này tiếp xúc với nhau.

Hướng dẫn giải

Ảnh đính kèm

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMD và O’ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CMB.

$Δ A D M = Δ C B M (c . c . c)$ suy ra các đường tròn ngoại tiếp hai tam giác này cũng có bán kính bằng nhau.

Do đó $Δ A M O = Δ C M O' (c . c . c) .$

Suy ra $\hat{A M O} = \hat{C M O'}$ , dẫn tới ba điểm O, M, O’ thẳng hàng.

Ta có $OO' = O M + O' M$ , do đó $d = R + R'$

Suy ra hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài.

Ví dụ 2. Cho góc vuông xOy. Một đường tròn có bán kính R không đổi và tâm I di động trên tia Ox sao cho $O I > R$ . Vẽ đường tròn tâm K bán kính KO với K thuộc Oy sao cho hai đường tròn (I) và (K) tiếp xúc ngoài với nhau.

a) Gọi A là tiếp điểm của hai đường tròn. Chứng minh rằng tiếp tuyến chung của hai đường tròn tại A luôn đi qua một điểm cố định.

b) Đặt $O I = d$ . Xác định giá trị của d để bán kính của đường tròn (K) bằng $\frac{3}{2}$ bán kính của đường tròn (I).

Hướng dẫn giải

Ảnh đính kèm

a) Hai đường tròn (I) và (K) tiếp xúc ngoài tại A nên ba điểm I, A, K thẳng hàng.

Tiếp tuyến chung tại A cắt tia Ox tại B, cắt tia đối của tia Oy tại C.

∆OBC và ∆ABI có $\hat{O} = \hat{A} = 90^{0};$

$O B = A B; \hat{O B C} = \hat{A B I}$

Do đó $Δ O B C = Δ A B I (g . c . g)$

Suy ra $O C = A I = R$ (không đổi).

Vậy tiếp tuyến chung tại A đi qua một điểm cố định là điểm C.

b) Gọi bán kính của đường tròn (K) là x. Ta có $K I = x + R$

Xét $Δ K O I$ vuông tại O, có:

$K I^{2} = O K^{2} + O I^{2}$ $\Leftrightarrow (x + R)^{2} = x^{2} + d^{2}$ $\Leftrightarrow x = \frac{d^{2} - R^{2}}{2 R}$

Vậy $x = \frac{3}{2} R$ $\Leftrightarrow \frac{d^{2} - R^{2}}{2 R} = \frac{3}{2} R$ $\Leftrightarrow d^{2} - R^{2} = 3 R^{2}$ $\Leftrightarrow d^{2} = 4 R^{2}$ $\Leftrightarrow d = 2 R$

Ví dụ 3. Cho hai đường tròn $(O; R)$ và $(O'; R')$ tiếp xúc ngoài tại A. Trên một nửa mặt phẳng bờ OO’ vẽ các bán kính OB và O’C song song với nhau.

a) Chứng minh rằng tam giác ABC vuông tại A.

b) Vẽ $A H ⊥ B C$ , tính độ dài lớn nhất của AH.

Hướng dẫn giải

Ảnh đính kèm

a) Hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A.

Suy ra ba điểm O, A, O’ thẳng hàng và $OO' = R + R'$

$Δ O A B$ cân tại O, $Δ O' A C$ cân tại O’ nên

$\hat{O A B} = \frac{180^{0} - \hat{O_{1}}}{2};$ $\hat{O' A C} = \frac{180^{0} - \hat{O_{1}^{'}}}{2}$

Do đó $\hat{O A B} + \hat{O' A C} = \frac{360^{0} - (\hat{O_{1}} + \hat{O_{1}^{'}})}{2}$ $= \frac{360^{0} - 180^{0}}{2} = 90^{0}$

Suy ra $\hat{B A C} = 180^{0} - 90^{0} = 90^{0}$ . Vậy ∆BAC vuông tại A.

b) Vẽ đường kính BD thì $\hat{B A D} = 90^{0}$ . Mặt khác, $\hat{B A C} = 90^{0}$

Suy ra ba điểm C, A, D thẳng hàng.

Qua A vẽ một đường thẳng song song với OB cắt BC tại M.

Xét $Δ C B D$ có $A M / / B D$ nên $\frac{A M}{B D} = \frac{C A}{C D} (1)$

Mặt khác, $O' C / / O D$ nên $\frac{O' A}{OO'} = \frac{C A}{C D} (2)$

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{A M}{B D} = \frac{O' A}{O O'}$ $\Rightarrow A M = \frac{B D . O' A}{O O'} = \frac{2 R R'}{R + R'}$

Vì $A H ⊥ B C$ nên $A H \leq A M$ $\Rightarrow A H \leq \frac{2 R R'}{R + R'}$

Dấu “=” xảy ra khi $H \equiv M$ $\Leftrightarrow O B ⊥ O C$ và $O' C ⊥ B C$

$\Leftrightarrow$ BC là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn.

Vậy max $A H = \frac{2 R R'}{R + R'}$ khi BC là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn.

C. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho $(O_{1}; R_{1})$ tiếp xúc $(O_{2}; R_{2})$ tại $A (R_{1} > R_{2}) .$ Hãy cho biết số tiếp tuyến chung của hai đường tròn đồng thời nêu rõ các bước vẽ tiếp tuyến chung này.

Tài liệu đầy đủ quý Thầy/Cô và bạn đọc vui lòng chọn mục tải xuống để xem chi tiết.

Xem thêm các chương trình khác:

Bài trước

Bài sau

Các dạng bài tập Toán 9

Vị trí tương đối của hai đường tròn cực hay, chi tiết (hai đường tròn tiếp xúc)

Xem thêm các chương trình khác: