Bài tập giải toán bằng lập phương trình dạng phần trăm hay gặp trong đề thi có đáp án

187 lượt xem

GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH

BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN PHẦN TRĂM

A. Phương pháp giải

1. Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

+ Bước 1: Chọn ẩn, đơn vị cho ẩn, điều kiện thích hợp cho ẩn

+ Bước 2: Biểu đạt các đại lượng khác theo ẩn

+ Bước 3: Dựa vào các dữ kiện của bài toán để lập phương trình hoặc hệ phương trình

+ Bước 4: Giải phương trình hoặc hệ phương trình

+ Bước 5: So sánh kết quả bài toán, tìm kết quả thích hợp và kết luận

2. Lưu ý:

+ Nếu tổng số sản phẩm là x, số sản phẩm vượt mức a% thì có x+a%x sản phẩm

+ Nếu tổng số sản phẩm là x, số sản phẩm giảm a% thì có x – a%x sản phẩm

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

Một hình chữ nhật có cạnh này bằng 2/3 cạnh kia. Nếu bớt đi mỗi cạnh 5m thì diện tích hình chữ nhật giảm 16%. Tính các kích thước của hình chữ nhật ban đầu.

Hướng dẫn giải

Gọi chiều dài hình chữ nhật là x (m) ; đ/k $x > 5$

Thì chiều rộng là $\frac{2}{3} x$ , diện tích ban đầu của hình chữ nhật là $\frac{2 x^{2}}{3}$

Sau khi bớt mỗi cạnh đi 5 m ta có $x - 5$ và $\frac{2}{3} x - 5$

Vậy diện tích sau khi bớt là

$(x - 5) (\frac{2}{3} x - 5) = \frac{2}{3} x^{2} - 5 x - \frac{10}{3} x + 25$ $= \frac{2 x^{2} - 25 x + 75}{3}$

Diện tích giảm đi 16% là

$\frac{2 x^{2}}{3} - \frac{16}{100} . \frac{2 x^{2}}{3} = \frac{2 x^{2}}{3} - \frac{8 x^{2}}{75} = \frac{50 x^{2} - 8 x^{2}}{75}$ $= \frac{42 x^{2}}{75} = \frac{14 x^{2}}{25}$

Theo bài ra ta có PT:

$\frac{2 x^{2} - 25 x + 75}{3} = \frac{14 x^{2}}{25}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 25 (2 x^{2} - 25 x + 75) = 42 x^{2} \\ \Leftrightarrow 8 x^{2} - 625 x + 1875 = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 75 (t / m) \\ x = \frac{25}{6} (l o a i) \end{array} \end{array}$

Khi đó chiều dài $x = 75 (m)$ và chiều rộng là $75 : 3 = 25 (m)$

Vậy chiều dài của hình chữ nhật là 75m, chiều rộng của hình chữ nhật là 25m.

Ví dụ 2: Trong tháng đầu hai tổ SX được 800 chi tiết máy sang tháng thứ 2 tổ 1 vượt mức 15% tổ 2 vượt mức 20% do đó cuối tháng 2 tổ SX được 945 chi tiết máy. Hỏi trong tháng đầu mỗi tổ SX được bao nhiêu chi tiết máy.

Hướng dẫn giải

Gọi tháng 1 tổ 1 SX được là x chi tiết máy

Tháng 1 tổ 2 SX được là y chi tiết máy, đk x, y thuộc N

Trong tháng đầu hai tổ sản xuất được 800 chi tiết máy, nghĩa là: $x + y = 800$ (1)

Tháng 2, tổ 1 làm được: $x + 15 % x = 1, 15 x$ chi tiết máy

Tháng 2, tổ 2 làm được: $y + 20 % y = 1, 2 y$ chi tiết máy

Trong tháng 2, hai tổ sản xuất được: $1, 15 x + 1, 2 y = 945$ (2)

Từ (1) và (2) ta có phương trình

$\{\begin{cases} x + y = 800 \\ 1, 15 x + 1, 2 y = 945 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x + y = 800 \\ 23 x + 24 y = 18900 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 23 x + 23 y = 18400 \\ 23 x + 24 y = 18900 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x + y = 800 \\ y = 500 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 300 \\ y = 500 \end{cases}$

Vậy trong tháng đầu, tổ 1 sản xuất được 300 chi tiết, tổ 2 sản xuất được 500 chi tiết.

Ví dụ 3: Một người mua hai loại mặt hàng A và B. Nếu tăng giá mặt hàng A thêm 10% và mặt hàng B thêm 20% thì người đó phải trả 232 nghìn đồng. Nhưng nếu giảm giá cả hai mặt hàng là 10% thì người đó phải trả tất cả 180 nghìn đồng. Tính giá tiền mỗi loại lúc đầu?

Hướng dẫn giải

Gọi giá mặt hàng A và B lần lượt là x, y (nghìn đồng); (đk x, y thuộc N*)

Tăng giá mặt hàng A thêm 10%, nghĩa là: $x + 10 % x = 1, 1 x$ (nghìn đồng)

Tăng giá mặt hàng B thêm 20%, nghĩa là: $y + 20 % y = 1, 2 y$ (nghìn đồng)

Thì người đó phải trả: $1, 1 x + 1, 2 y = 232$ (1)

Giảm giá mặt hàng A thêm 10%, nghĩa là: $x - 10 % x = 0, 9 x$ (nghìn đồng)

Giảm giá mặt hàng B thêm 10%, nghĩa là: $y - 10 % y = 0, 9 y$ (nghìn đồng)

Thì người đó phải trả: $0, 9 x + 0, 9 y = 180$ (2)

Từ (1) và (2), ta có hệ PT:

$\{\begin{cases} 1, 1 x + 1, 2 y = 232 \\ 0, 9 x + 0, 9 y = 180 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 11 x + 12 y = 2320 \\ x + y = 200 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 11 x + 12 y = 2320 \\ y = 200 - x \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 11 x + 12 (200 - x) = 2320 \\ y = 200 - x \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 80 \\ y = 200 - x \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 80 \\ y = 120 \end{cases}$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy giá tiền sản phẩm A, B lúc đầu lần lượt là 80, 120 nghìn đồng.

Ví dụ 4: Hai trường A và B của một thị trấn có 210 học sinh thi đỗ hết lớp 9, đạt tỷ lệ trúng tuyển 84%. Tính riêng thì trường A đỗ 80%, trường B đỗ 90%. Tính xem mỗi trường có bao nhiêu học sinh lớp 9 dự thi?

Hướng dẫn giải

Gọi số học sinh lớp 9 dự thi của trường A là x học sinh ; đk x thuộc N* < 210

Gọi số học sinh lớp 9 dự thi của trường B là y học sinh ; đk y thuộc N* < 210

Tổng số học sinh của cả hai trường là: 210:84%=250 (học sinh)

Vậy ta có PT: $x + y = 250 (1)$

Trường A đỗ 80% ; trường B đỗ 90%

Ta có PT: $80 % . x + 90 % . y = 210$

Ta có HPT:

$\{\begin{cases} x + y = 250 \\ 0, 8 x + 0, 9 y = 210 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x + y = 250 \\ 8 x + 9 y = 2100 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 250 - y \\ 8 (250 - y) + 9 y = 2100 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 250 - y \\ y = 100 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 150 \\ y = 100 \end{cases}$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy trường A có 150 học sinh lớp 9 dự thi; B có 100 học sinh lớp 9 dự thi.

12.4. Hai tổ chức dự định làm 700 sản phẩm. Thực tế, tổ một vượt mức 20% và tổ hai vượt mức 15% nên trong thời gian quy định cả hai tổ đã vượt mức 120 sản phẩm. Tính số sản phẩm mỗi tổ dự kiến làm.

Hướng dẫn giải

Gọi số sản phẩm tổ một dự kiến làm là x (sản phẩm, $x \in N$ )

Số sản phẩm tổ hai dự kiến làm là y (sản phẩm, $y \in N$ )

Theo đầu bài, hai tổ dự định làm 700 sản phẩm, ta có phương trình: $x + y = 700$ $(1)$

Theo đề bài, thực tế, tổ một vượt mức 20% và tổ hai vượt mức 15% nên trong thời gian quy định cả hai tổ đã vượt mức 120 sản phẩm, ta có phương trình: $\frac{20 x}{100} + \frac{15 y}{100} = 120$ $(2)$

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình :

$\{\begin{cases} x + y = 700 \\ \frac{20 x}{100} + \frac{15 y}{100} = 120 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x + y = 700 \\ 4 x + 3 y = 2400 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 700 - y \\ 4 (700 - y) + 3 y = 2400 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 300 \\ y = 400 \end{cases}$ (thỏa mãn).

Vậy số sản phẩm tổ một dự kiến làm là 300 sản phẩm, sản phẩm tổ hai dự kiến làm là 400 sản phẩm.

C. Bài tập tự luyện

Bài 1: Hai xí nghiệp theo kế hoạch phải làm tổng cộng 360 dụng cụ. Thực tế, xí nghiệp I vượt mức kế hoạch 10%, xí nghiệp II vượt mức kế hoạch 15%, do đó cả hai xí nghiệp đã làm được 404 dụng cụ. Tính số dụng cụ mỗi xí nghiệp phải làm theo kế hoạch.

Bài 2: Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do áp dụng kĩ thuật mới nên tổ I đã vượt mức 18% và tổ II đã vượt mức 21%. Vì vậy trong thời gian quy định họ đã hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm. Hỏi số sản phẩm được giao của mỗi tổ theo kế hoạch?

Bài 3: Hai máy ủi trong 12h thì san lấp được 1/10 khu đất. Nếu máy ủi thứ 1 làm một mình trong 42h rồi nghỉ sau đó máy ủi thứ 2 làm một mình trong 22h thì cả 2 máy ủi san lấp được 25% khu đất đó. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi máy ủi san lấp xong khu đất trong bao nhiêu lâu?

Bài 4: Hai người cùng làm chung một công việc thì sau 4 giờ 30 phút họ làm xong công việc. Nếu một mình người thứ nhất làm trong 4 giờ, sau đó một mình người thứ hai làm trong 3 giờ thì cả hai người làm được 75% công việc. Hỏi nếu mỗi người làm một mình thì sau bao lâu sẽ xong công việc? (Biết rằng năng suất làm việc của mỗi người là không thay đổi).

Bài 5: Dân số của một thành phố hiện nay là 408 040 người, hàng năm dân số tăng 1%. Hỏi hai năm trước đây dân số thành phố là bao nhiêu?

Các dạng bài tập Toán 9

Bài tập giải toán bằng lập phương trình dạng phần trăm hay gặp trong đề thi có đáp án

Xem thêm các chương trình khác: