Cách giải hệ phương trình không mẫu mực cực hay, chi tiết

207 lượt xem

PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC

A. Một số ví dụ

Ví dụ 1. Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} 2 x^{2} - 3 y^{2} + x y = 12 (1) \\ 6 x + x^{2} y = 12 + 6 y + y^{2} x (2) \end{cases}$

(Tuyển sinh lớp 10, chuyên Toán, Đại học Khoa học tự nhiên Hà Nội, năm học 2014-2015)

Giải

$\{\begin{cases} 2 x^{2} - 3 y^{2} + x y = 12 (1) \\ 6 x + x^{2} y = 12 + 6 y + y^{2} x (2) \end{cases}$

$\{\begin{cases} 2 x^{2} - 2 x y + 3 x y - 3 y^{2} = 12 \\ 6 x - 6 y + x^{2} y - y^{2} x = 12 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} (x - y) . (2 x + 3 y) = 12 \\ (x - y) . (6 + x y) = 12 \end{cases}$

Vì vế phải của mỗi phương trình là số khác 0, nên $x - y \neq 0$ .

Suy ra $2 x + 3 y = 6 + x y \Leftrightarrow (x - 3) (y - 2) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x - 3 = 0 \\ y - 2 = 0 \end{array}$

* Trường hợp 1. Xét $x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$ thay vào phương trình (1) ta được:

$18 - 3 y^{2} + 3 y = 12 \Leftrightarrow y^{2} - y - 2 = 0$

Giải ra ta được $y_{1} = - 1; y_{2} = 2$ .

* Trường hợp 2. Xét $y - 2 = 0 \Rightarrow y = 2$ thay vào phương trình (1) ta được:

$2 x^{2} - 12 + 2 x = 12 \Leftrightarrow x^{2} + x - 12 = 0$

Giải ra ta được $x_{1} = 3; x_{2} = - 4$ .

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm $(x; y)$ là

$(3; - 1); (3; 2); (- 4; 2)$ .

Ví dụ 2. Giải hệ phương trình: $\{\begin{cases} \sqrt{x - 1} + \sqrt{y - 1} = 3 (1) \\ x y + x + y = x^{2} - 2 y^{2} (2) \end{cases}$

Giải

Tìm cách giải. Ta nhận thấy nếu bình phương 2 vế phương trình (1) thì thu được kết quả không khả quan. Vì vậy ta tập trung vào phân tích phương trình (2) thành nhân tử. Sau đó biểu thị x theo y, thế vào phương trình (1) ta được phương trình một ẩn y. Giải phương trình vừa nhận được.

Trình bày lời giải

Điều kiện $x \geq 1; y \geq 1$ .

Phương trình (2) $\Leftrightarrow (x + y) (x - 2 y - 1) = 0 \Leftrightarrow x - 2 y - 1 = 0 (v ì x + y > 0) \Leftrightarrow x = 2 y + 1$ , thay vào phương trình (1) ta được:

$\begin{array}{l} \sqrt{2 y} + \sqrt{y - 1} = 3 \end{array}$ .

$\Leftrightarrow (\sqrt{2 y - 2}) + (\sqrt{y - 1} - 1) = 0$

$\Leftrightarrow \frac{2 y - 4}{\sqrt{2 y} + 2} + \frac{y - 1 - 1}{\sqrt{y - 1} + 1} = 0$

$\Leftrightarrow (y - 2) (\frac{2}{\sqrt{2 y} + 2} + \frac{1}{\sqrt{y - 1} + 1}) = 0 \Leftrightarrow y = 2$

$\Leftrightarrow x = 2 y + 1 = 5$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm $(x; y)$ là: $(5; 2)$ .

Ví dụ 3. Giải hệ phương trình: $\{\begin{cases} x^{2} + x y = 3 (1) \\ y^{3} + y^{2} . x + 3 x - 6 y = 0 (2) \end{cases}$

Giải

Tìm cách giải. Các phương trình (1), (2) không thể đưa về phương trình tích được. Quan sát phương trình (2) chúng ta thấy các hạng tử là các đơn thức bậc nhất hoặc bậc ba, còn phương trình (1) các hạng tử chỉ chứa bậc hai và bậc 0. Do vậy chúng ta thế phương trình (1) vào phương trình (2) để các hạng tử đều bậc ba. Phương trình mới luôn phân tích đa thức thành nhân tử được, cách giải trên gọi là cân hằng bậc.

Trình bày lời giải

x = y = 0 không là nghiệm của phương trình.

Từ phương trình (1) thay vào phương trình (2) và thu gọn ta được:

$y^{3} + y^{2} x + (x - 2 y) (x^{2} + x y) = 0 \Leftrightarrow y^{3} + x^{3} - x^{2} y - x y^{2} = 0$

$\Leftrightarrow (x + y) {(x - y)}^{2} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x + y = 0 \\ x - y = 0 \end{array}$

Trường hợp 1. Xét $x + y = 0 \Leftrightarrow x = - y$ thay vào phương trình (1):
$y^{2} - y^{2} = 3$ vô nghiệm
Trường hợp 2. Xét $x + y = 0 \Leftrightarrow x = y$ thay vào phương trình (1):
$2 y^{2} = 3 \Leftrightarrow y = \sqrt{\frac{3}{2}} \Leftrightarrow y = x = \sqrt{\frac{3}{2}}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm $(x; y)$ là $(\sqrt{\frac{3}{2}}; \sqrt{\frac{3}{2}})$

Ví dụ 4. Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} x^{3} + 2 x y^{2} + 12 y = 0 (1) \\ x^{2} + 8 y^{2} = 12 (2) \end{cases}$

Giải

Từ phương trình (2) thay vào phương trình (1) ta được:

$\begin{array}{l} x^{3} + 2 x y^{2} + y . (x^{2} + 8 y^{2}) = 0 \\ \Leftrightarrow (x^{3} + 8 y^{3}) + (x^{2} y + 2 x y^{2}) = 0 \end{array}$

$\Leftrightarrow (x + 2 y) (x^{2} - x y + 4 y^{2}) = 0$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x + 2 y = 0 \\ x^{2} - x y + 4 y^{2} = 0 \end{cases}$

Trường hợp 1. $x + 2 y = 0 \Leftrightarrow x = - 2 y$ thay vào phương trình (2) ta được:
$\Leftrightarrow 4 y^{2} + 8 y^{2} = 12 \Leftrightarrow y^{2} = 1 \Leftrightarrow y = \pm 1$ . Suy ra $x = \mp 2$ .

* Trường hợp 2. $x^{2} - x y + 4 y^{2} = 0 \Leftrightarrow x = y = 0$ thay vào phương trình (2) vô nghiệm.

Vậy phương trình có nghiệm $(x; y)$ là: $(- 2; 1); (2; - 1)$ .

Ví dụ 5. Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} x^{2} + y^{2} + x y + 1 = 4 y (1) \\ (x^{2} + 1) (x + y - 2) = y (2) \end{cases}$

(Thi học sinh giỏi Toán 9, tỉnh Bắc Giang, năm học 2013-2014)

Giải

Tìm cách giải. Bài toán khá khó phát hiện cách giải. Quan sát kỹ cấu tạo mỗi phương trình, chúng ta nhận thấy nếu từ phương trình (1) $x^{2} + 1 = 4 y - y^{2} - x y$ thế vào phương trình (2) thì hai vế có nhân tử y chung, nên có khả năng giải được dễ dàng, đó là cách giải 1. Ngoài ra, phương trình (1) có thể làm xuất hiện $x^{2} + 1$ và $x + y - 2$ nên ta nghĩ tới đặt ẩn phụ, đó là cách giải 2.

Trình bày lời giải

Cách 1. Từ phương trình (1) suy ra: $x^{2} + 1 = y (4 - x - y)$ .

Thay thế vào phương trình (2) ta được:

$y (4 - x - y) (x + y - 2) = y \Leftrightarrow y [(4 - x - y) . (x + y - 2) - 1] = 0$

* Trường hợp 1. Xét y = 0 thay vào phương trình (1) ta được:

$x^{2} + 1 = 0$ vô nghiệm.

* Trưởng hợp 2. Xét $(4 - x - y) (x + y - 2) - 1 = 0$

Đặt $x + y = t$ , ta được:
$(4 - t) (t - 2) - 1 = 0 \Leftrightarrow t^{2} - 6 t + 9 = 0 \Leftrightarrow t = 3$ .

Suy ra $x + y = 3 \Rightarrow x = 3 - y$ thay vào phương trình (1) ta được:

${(3 - y)}^{2} + y^{2} + (3 - y) y + 1 = 4 y \Leftrightarrow y^{2} - 7 y + 10 = 0$ .
Giải ra ta được: $y_{1} = 2; y_{2} = 5$ .

* Với y = 2 ta được x = 3 – 2 = 1.

* Với y = 5 ta được x = 3 – 5 = -2.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm $(x; y)$ là: $(1; 2); (- 2; 5)$ .

Cách 2. * Xét y = 0 thay vào phương trình (1) ta được: $x^{2} + 1 = 0$ .

Phương trình vô nghiệm.

* Xét y ≠ 0 hệ phương trình có dạng:

$\{\begin{cases} (x^{2} + 1) + y (x + y - 2) = 2 y \\ (x^{2} + 1) . (x + y - 2) = y \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \frac{x^{2} + 1}{y} + (y + x - 2) = 2 \\ \frac{x^{2} + 1}{y} . (x + y - 2) = 1 \end{cases}$

Đặt $\frac{x^{2} + 1}{y} = u, x + y - 2 = v$ hệ phương trình có dạng: $\{\begin{cases} u + v = 2 \\ u . v = 1 \end{cases}$

Suy ra u, v là nghiệm của phương trình $x^{2} - 2 x + 1 = 0 \Leftrightarrow x_{1} = x_{2} = 1$

Do đó u = 1, v = 1 $\Rightarrow \{\begin{cases} \frac{x^{2} + 1}{y} = 1 \\ x + y - 2 = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x^{2} + 1 = y \\ y = 3 - x \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x^{2} + 1 = 3 - x \\ y = 3 - x \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x^{2} + x - 2 = 0 \\ y = 3 - x \end{cases}$

Giải hệ phương trình trên ta được nghiệm của hệ phương trình $(x; y)$ là: $(1; 2); (- 2; 5)$

Tài liệu đầy đủ quý Thầy/Cô và bạn đọc vui lòng chọn mục tải xuống để xem chi tiết.

Các dạng bài tập Toán 9

Cách giải hệ phương trình không mẫu mực cực hay, chi tiết

Xem thêm các chương trình khác: