Bài tập Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai chọn lọc

187 lượt xem

Biến đổi & Rút gọn căn thức bậc hai

A – Lý thuyết

I . Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai:

Đưa thừa số ra ngoài dấu căn: $\sqrt{A^{2} B} = |A| \sqrt{B}$ (B ≥ 0)
Đưa thừa số vào trong dấu căn: $A \sqrt{B} = \sqrt{A^{2} B}$ với A $\geq$ 0 và B $\geq 0$ ; $A \sqrt{B} = - \sqrt{A^{2} B}$

(với A < 0 và B ≥ 0)

Khử mẫu của biểu thức lấy căn: $\sqrt{\frac{A B}{B^{2}}} = \frac{\sqrt{A B}}{|B|}$ (với AB ≥ 0, B ≠ 0)
Trục căn thức ở mẫu: $\frac{M}{\sqrt{A}} = \frac{M \sqrt{A}}{A}$ (A > 0); $\frac{M}{\sqrt{A} \pm \sqrt{B}} = \frac{M (\sqrt{A} \mp \sqrt{B})}{A - B}$

(A ≥ 0, B ≥ 0, A ≠ B)

II . Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai:

- Bước 1: Dùng các phép biến đổi đơn giản để đưa các căn thức bậc hai phức tạp thành căn thức bậc hai đơn giản.

- Bước 2: Thực hiện phép tính theo thứ tự đã biết.

B – BÀI TẬP

DẠNG 1: Tính giá trị của biểu thức.

Bài tập 1: Tính:

a) $\frac{3}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} - 1} - \frac{4}{3 - \sqrt{5}}$

b) $\frac{\sqrt{5} - 2}{5 + 2 \sqrt{5}} - \frac{1}{2 + \sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5}}$

c) $\frac{1}{2 + \sqrt{3}} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}} - \frac{2}{3 + \sqrt{3}}$

d) $\frac{2 \sqrt{3} - 4}{\sqrt{3} - 1} + \frac{2 \sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} - 1} - \frac{1 + \sqrt{6}}{\sqrt{2} + 3}$

Bài tập 2: Tính:

A = $\sqrt{\sqrt{5} - \sqrt{3 - \sqrt{29 - 6 \sqrt{20}}}}$

B = $\sqrt{6 + 2 \sqrt{5 - \sqrt{13 + \sqrt{48}}}}$

C = $\sqrt{4 + \sqrt{5 \sqrt{3} + 5 \sqrt{48 - 10 \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}}}$

Bài tập 3: Thực hiện phép tính:

B = $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} : (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} - \frac{2}{\sqrt{6}} + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2 \sqrt{3}})$

Bài tập 4: Thực hiện phép tính:

A = $(\sqrt{\frac{1 + a}{1 - a}} + \sqrt{\frac{1 - a}{1 + a}}) : (\sqrt{\frac{1 + a}{1 - a}} - \sqrt{\frac{1 - a}{1 + a}})$ .

Bài tập 5: Tính giá trị của biểu thức:

M = $\frac{(x + 1) \sqrt{3}}{\sqrt{x^{2} - x + 1}}$ với $x = 2 + \sqrt{3}$ .

Bài tập 6: Cho $a = \frac{- 1 + \sqrt{2}}{2}$ , $b = \frac{- 1 - \sqrt{2}}{2}$ . Tính $a^{7} + b^{7}$ .

Bài tập 7: Cho biết: $\sqrt{x^{2} - 6 x + 13} - \sqrt{x^{2} - 6 x + 10} = 1$ .

Tính: $\sqrt{x^{2} - 6 x + 13} + \sqrt{x^{2} - 6 x + 10}$ .

Bài tập 8: Cho biểu thức $\sqrt{x^{2} - 6 x + 13} - \sqrt{x^{2} - 6 x + 10} = 1$

Tính giá trị của biểu thức: M = $\sqrt{x^{2} - 6 x + 19} + \sqrt{x^{2} - 6 x + 10}$ .

DẠNG 2: Rút gọn biểu thức.

Bài tập 9: Trục căn thức ở mẫu: $\frac{16 - a^{2}}{2 - \sqrt{a}}$

Bài tập 10: Rút gọn biểu thức:

A = $\sqrt{5} - \sqrt{3 - \sqrt{29 - 12 \sqrt{5}}}$ .

Bài tập 11: Rút gọn các biểu thức:

a) $\sqrt{200} - \sqrt{32} + \sqrt{72}$

b) $\sqrt{175} - \sqrt{112} + \sqrt{63}$

c) $4 \sqrt{20} - 3 \sqrt{125} + 5 \sqrt{45} - 15 \sqrt{\frac{1}{5}}$

d) $(2 \sqrt{8} + 3 \sqrt{5} - 7 \sqrt{2}) (\sqrt{72} - 5 \sqrt{20} - 2 \sqrt{2})$

Bài tập 12: Rút gọn các biểu thức:

a) $2 \sqrt{8 \sqrt{3}} - 2 \sqrt{5 \sqrt{3}} - 3 \sqrt{20 \sqrt{3}}$

b) $\sqrt{343 a} + \sqrt{63 a} - \sqrt{28 a}$ với a ≥ 0;

c) $- \sqrt{36 b} - \frac{1}{3} \sqrt{54 b} + \frac{1}{5} \sqrt{150 b}$ với b ≥ 0.

Bài tập 13: Trục căn thức ở mẫu và rút gọn (nếu có thể):

a) $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{14}}{2 \sqrt{3} - \sqrt{7}}$

b) $\frac{3 + 4 \sqrt{3}}{\sqrt{6} + \sqrt{2} - \sqrt{5}}$

c) $\frac{5 \sqrt{5} + 3 \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

d) $\frac{1}{2 + \sqrt{5} + 2 \sqrt{2} + \sqrt{10}}$

Bài tập 14: Rút gọn biểu thức:

A = $\frac{2 + \sqrt{3}}{\sqrt{2} + \sqrt{2 + \sqrt{3}}} + \frac{2 - \sqrt{3}}{\sqrt{2} - \sqrt{2 - \sqrt{3}}}$ .

Bài tập 15: Rút gọn các biểu thức:

a) $\frac{1}{\sqrt{7 - \sqrt{24}} + 1} - \frac{1}{\sqrt{7 + \sqrt{24}} - 1}$

b) $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{\sqrt{3} + 1} - 1} - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{\sqrt{3} + 1} + 1}$

c) $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{\sqrt{3} + 1} - 1} - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{\sqrt{3} + 1} + 1}$

d) $\sqrt{\frac{3 + \sqrt{5}}{3 - \sqrt{5}}} + \sqrt{\frac{3 - \sqrt{5}}{3 + \sqrt{5}}}$

Bài tập 16: Rút gọn các biểu thức:

a) A = $\frac{\sqrt{\frac{5}{3}} + \sqrt{\frac{3}{5}} - 2}{\sqrt{\frac{5}{3}} - \sqrt{\frac{3}{5}}}$

b) B = $\frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2}) (\sqrt{3} + \sqrt{2})}{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}}$

c) C = $\frac{2 {(\frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{6 \sqrt{2}})}^{- 1} + 3 {(\frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{4 \sqrt{3}})}^{- 1}}{{(\frac{2 + \sqrt{6}}{12})}^{- 1} + {(\frac{3 + \sqrt{6}}{12})}^{- 1}}$

Bài tập 17: Rút gọn các biểu thức:

a) A = $\frac{1 + \sqrt{5}}{\sqrt{2} + \sqrt{3 + \sqrt{5}}} + \frac{1 - \sqrt{5}}{\sqrt{2} - \sqrt{3 - \sqrt{5}}}$ ;

b) B = $(\frac{1 - a \sqrt{a}}{1 - \sqrt{a}} + \sqrt{a}) {(\frac{1 - \sqrt{a}}{1 - a})}^{2}$ ;

c) C = $\frac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{x y \sqrt{x y}} : [(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) . \frac{1}{x + y + 2 \sqrt{x y}} + \frac{2}{{(\sqrt{x} + \sqrt{y})}^{3}} . (\frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{y}})]$

với $x = 2 - \sqrt{3}$ và $y = 2 + \sqrt{3}$ .

Bài tập 18: Rút gọn biểu thức:

P = $\frac{1 - \sqrt{x - 1}}{\sqrt{x - 2 \sqrt{x - 1}}}$ .

Bài tập 19: Rút gọn biểu thức:

Q = $\frac{\sqrt{x + \sqrt{x^{2} - y^{2}}} - \sqrt{x - \sqrt{x^{2} - y^{2}}}}{\sqrt{2 (x - y)}}$ với x > y > 0.

Bài tập 20: Rút gọn biểu thức:

A = $(\frac{1}{\sqrt{x - 1}} + \frac{1}{\sqrt{x + 1}}) : (\frac{1}{\sqrt{x - 1}} - \frac{1}{\sqrt{x + 1}})$

với $x = \frac{a^{2} + b^{2}}{2 a b}$ và b > a > 0.

Bài tập 21: Rút gọn biểu thức:

B = $\frac{2 a \sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} - x}$ với $x = \frac{1}{2} (\sqrt{\frac{1 - a}{a}} - \sqrt{\frac{a}{1 - a}})$ và 0 < a < 1.

Bài tập 22: Rút gọn biểu thức:

M = $(a + b) - \sqrt{\frac{(a^{2} + 1) (b^{2} + 1)}{c^{2} + 1}}$ với a, b, c > 0 và ab + bc + ca = 1.

Bài tập 23: Rút gọn biểu thức:

A = $\frac{\sqrt{x + 2 \sqrt{x - 1}} + \sqrt{x - 2 \sqrt{x - 1}}}{\sqrt{x + \sqrt{2 x - 1}} + \sqrt{x - \sqrt{2 x - 1}}} . \sqrt{2 x - 1}$ .

Bài tập 24: Rút gọn biểu thức:

A = $\sqrt{1 - a} + \sqrt{a (a - 1)} + a \sqrt{\frac{a - 1}{a}}$ .

Bài tập 25: Rút gọn biểu thức:

A = $\frac{x + 3 + 2 \sqrt{x^{2} - 9}}{2 x - 6 + \sqrt{x^{2} - 9}}$ .

Bài tập 26: Rút gọn biểu thức:

B = $\frac{x^{2} + 5 x + 6 + x \sqrt{9 - x^{2}}}{3 x - x^{2} + (x + 2) \sqrt{9 - x^{2}}}$

Bài tập 27: Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức tại x = 3.

M = $\frac{\sqrt{x - 2 \sqrt{2}}}{\sqrt{x^{2} - 4 x \sqrt{2} + 8}} - \frac{\sqrt{x + 2 \sqrt{2}}}{\sqrt{x^{2} + 4 x \sqrt{2} + 8}}$

Bài tập 28: Rút gọn các biểu thức:

a) A = $\frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + . . . + \frac{1}{\sqrt{n - 1} + \sqrt{n}}$

b) B = $\frac{1}{\sqrt{1} - \sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2} - \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{4}} - . . . - \frac{1}{\sqrt{24} - \sqrt{25}}$

Bài tập 29: Trục căn thức ở mẫu của các biểu thức sau:

a) A = $\frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{2 c}}$

trong đó a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện c là trung bình nhân của hai số a và b.

b) B = $\frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} + \sqrt{d}}$

trong đó a, b, c, d là các số dương thỏa mãn điều kiện ab = cd và a + b ≠ c + d.

Tài liệu đầy đủ quý Thầy/Cô và bạn đọc vui lòng chọn mục tải xuống để xem chi tiết.

Các dạng bài tập Toán 9

Bài tập Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai chọn lọc

Xem thêm các chương trình khác: