Bài tập nhân, chia căn thức bậc hai có hướng dẫn giải

287 lượt xem

Bài trước

Bài sau

NHÂN, CHIA CĂN THỨC BẬC HAI

A – LÝ THUYẾT

I . Liên hệ giữa phép nhân, phép chia với phép khai phương:

Ảnh đính kèm

II . Bổ sung:

1. Với A₁, A₂, …, A_n ≥ 0 thì:

$\sqrt{A_{1} . A_{2} . . . A_{n}} = \sqrt{A_{1}} . \sqrt{A_{2}} . . . \sqrt{A_{n}}$

2. Với a ≥ 0; b ≥ 0 thì: $\sqrt{a + b} \leq \sqrt{a} + \sqrt{b}$ (dấu “=” xảy ra Û a = 0 hoặc b = 0)

3. Với a ≥ 0; b ≥ 0 thì: $\sqrt{a - b} \geq \sqrt{a} - \sqrt{b}$ (dấu “=” xảy ra Û a = b hoặc b = 0)

4. Công thức “căn phức tạp”

$\sqrt{A \pm B} = \sqrt{\frac{A + \sqrt{A^{2} - B}}{2}} \pm \sqrt{\frac{A - \sqrt{A^{2} - B}}{2}}$

Trong đó A > 0; B > 0 và A² > B.

5. BĐT Cô-si (còn gọi là bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân)

Với a ≥ 0, b ≥ 0 thì: $\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{a b}$ (dấu “=” xảy ra Û a = b).

Vài dạng khác của bất đẳng thức Cô-si:

- Dạng có chứa dấu căn:

với a ≥ 0; b ≥ 0; với a > 0; b > 0.

- Dạng không có chứa dấu căn:

$\frac{{(a + b)}^{2}}{2} \geq a b$ ; $(a + b)^{2} \geq 4 a b$ ; $a^{2} + b^{2} \geq 2 a b$

6. BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki (đối với hai bộ số)

- Mỗi bộ có hai số (a₁ ; a₂) và (b₁ ; b₂)

$(a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2})^{2}$ $\leq (a_{1}^{2} + a_{2}^{2}) (b_{1}^{2} + b_{2}^{2})$

- Mỗi bộ có ba số (a₁ ; a₂ ; a₃) và (b₁ ; b₂ ; b₃)

$(a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3})^{2}$ $\leq (a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}) (b_{1}^{2} + b_{2}^{2} + b_{3}^{2})$

- Mỗi bộ có n số (a₁ ; a₂ ; …; a_n) và (b₁ ; b₂ ; …; b_n)

$(a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + . . . + a_{n} b_{n})^{2}$ $\leq (a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + . . . + a_{n}^{2}) (b_{1}^{2} + b_{2}^{2} + . . . + b_{n}^{2})$

(dấu “=” xảy ra Û $\frac{a_{1}}{b_{1}} = \frac{a_{2}}{b_{2}} = . . . = \frac{a_{n}}{b_{n}}$ với quy ước nếu mẫu bằng 0 thì tử bằng 0)

B – BÀI TẬP

DẠNG 1: Thực hiện phép tính.

Bài tập 1: Tính:

a) A = $\sqrt{3 + \sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}} . \sqrt{3 - \sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$ ;

b) B = $\sqrt{4 + \sqrt{8}} . \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}} . \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2}}}$ .

Bài tập 2: Thực hiện phép tính:

a) $(\sqrt{12} + 3 \sqrt{15} - 4 \sqrt{135}) . \sqrt{3}$

b) $\sqrt{252} - \sqrt{700} + \sqrt{1008} - \sqrt{448}$

c) $2 \sqrt{40 \sqrt{12}} - 2 \sqrt{\sqrt{75}} - 3 \sqrt{5 \sqrt{48}}$

Bài tập 3: Thực hiện phép tính:

a) $(\sqrt{12} + \sqrt{75} + \sqrt{27}) : \sqrt{15}$

b) $(12 \sqrt{50} - 8 \sqrt{200} + 7 \sqrt{450}) : \sqrt{10}$

c) $(\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{7}} - \sqrt{\frac{16}{7}} + \sqrt{\frac{9}{7}}) : \sqrt{7}$

Bài tập 4: Cho a = $\sqrt{\frac{3}{5}} + \sqrt{\frac{5}{3}}$ . Tính giá trị của biểu thức: M = $\sqrt{15 a^{2} - 8 a \sqrt{15} + 16}$ .

Bài tập 5: Tính:

a) $\frac{\sqrt{99999}}{\sqrt{11111}}$

b) $\frac{\sqrt{84^{2} - 37^{2}}}{\sqrt{47}}$

c) $\sqrt{\frac{5 (38^{2} - 17^{2})}{8 (47^{2} - 19^{2})}}$

d) $\sqrt{\frac{0, 2 . 1, 21 . 0, 3}{7, 5 . 3, 2 . 0, 64}}$

Bài tập 6: Biến đổi biểu thức dưới dấu căn về dạng tích rồi tính:

a) $\sqrt{27^{2} - 23^{2}}$

b) $\sqrt{37^{2} - 35^{2}}$

c) $\sqrt{65^{2} - 63^{2}}$

d) $\sqrt{117^{2} - 108^{2}}$

Bài tập 7: Cho hai số có tổng bằng $\sqrt{19}$ và có hiệu bằng $\sqrt{7}$ . Tính tích của hai số đó.

Bài tập 8: Tính $\sqrt{A}$ biết:

a) A = $13 - 2 \sqrt{42}$

b) A = $46 + 6 \sqrt{5}$

c) A = $12 - 3 \sqrt{15}$

Bài tập 9: Tính:

a) $\sqrt{3 + \sqrt{5}} - \sqrt{3 - \sqrt{5}} - \sqrt{2}$

b) $\sqrt{4 - \sqrt{7}} - \sqrt{4 + \sqrt{7}} + \sqrt{7}$

c) $\sqrt{6, 5 + \sqrt{12}} + \sqrt{6, 5 - \sqrt{12}} + 2 \sqrt{6}$

Bài tập 10: Thực hiện các phép tính:

a) $(4 + \sqrt{15}) (\sqrt{10} - \sqrt{6}) \sqrt{4 - \sqrt{15}}$

b) $\sqrt{3 - \sqrt{5}} (\sqrt{10} - \sqrt{2}) (3 + \sqrt{5})$

c) $\frac{\sqrt{\sqrt{5} + 2} + \sqrt{\sqrt{5} - 2}}{\sqrt{\sqrt{5} + 1}} - \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$

Bài tập 11: Biết x = $(\sqrt{10} - \sqrt{6}) . \sqrt{4 + \sqrt{15}}$ .

Tính giá trị của biểu thức: M = $\frac{\sqrt{4 x + 4 + \frac{1}{x}}}{\sqrt{x} |2 x^{2} - x - 1|}$

Tài liệu đầy đủ quý Thầy/Cô và bạn đọc vui lòng chọn mục tải xuống để xem chi tiết.

Xem thêm các chương trình khác:

Bài trước

Bài sau

Các dạng bài tập Toán 9

Bài tập nhân, chia căn thức bậc hai có hướng dẫn giải

Xem thêm các chương trình khác: