4 dạng giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn điển hình

216 lượt xem

HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN SỐ

DẠNG I- GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẮNG PHƯƠNG PHÁP CỘNG, PHƯƠNG PHÁP THẾ.

Bài 1: Giải các hệ phương trình:

1) $\{\begin{cases} 4 x - 2 y = 3 \\ 6 x - 3 y = 5 \end{cases}$

2) $\{\begin{cases} 2 x + 3 y = 5 \\ 4 x + 6 y = 10 \end{cases}$

3 ) $\{\begin{cases} 3 x - 4 y + 2 = 0 \\ 5 x + 2 y = 14 \end{cases}$

4) $\{\begin{cases} 2 x + 5 y = 3 \\ 3 x - 2 y = 14 \end{cases}$

5) $\{\begin{cases} x \sqrt{5} - (1 + \sqrt{3}) y = 1 \\ (1 - \sqrt{3}) x + y \sqrt{5} = 1 \end{cases}$

6) $\{\begin{cases} 0, 2 x + 0, 1 y = 0, 3 \\ 3 x + y = 5 \end{cases}$

7) $\{\begin{cases} \frac{x}{y} = \frac{2}{3} \\ x + y - 10 = 0 \end{cases}$

8) $\{\begin{cases} 2 x + 3 y - 7 = 0 \\ x + 2 y - 4 = 0 \end{cases}$

9) $\{\begin{cases} (\sqrt{2} - 1) x - y = \sqrt{2} \\ x + (\sqrt{2} + 1) y = 1 \end{cases}$

10) $\{\begin{cases} 5 x \sqrt{3} + y = 2 \sqrt{2} \\ x \sqrt{6} - y \sqrt{2} = 2 \end{cases}$

Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:

1) $\{\begin{cases} (3 x + 2) (2 y - 3) = 6 x y \\ (4 x + 5) (y - 5) = 4 x y \end{cases}$

2) $\{\begin{cases} 2 (x + y) + 3 (x - y) = 4 \\ (x + y) + 2 (x - y) = 5 \end{cases}$

3) $\{\begin{cases} (2 x - 3) (2 y + 4) = 4 x (y - 3) + 54 \\ (x + 1) (3 y - 3) = 3 y (x + 1) - 12 \end{cases}$

4) $\{\begin{cases} \frac{2 y - 5 x}{3} + 5 = \frac{y + 27}{4} - 2 x \\ \frac{x + 1}{3} + y = \frac{6 y - 5 x}{7} \end{cases}$

5) $\{\begin{cases} \frac{1}{2} (x + 2) (y + 3) - \frac{1}{2} x y = 50 \\ \frac{1}{2} x y - \frac{1}{2} (x - 2) (y - 2) = 32 \end{cases}$

6) $\{\begin{cases} (x + 20) (y - 1) = x y \\ (x - 10) (y + 1) = x y \end{cases}$

DẠNG II- GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH ĐẶT ẨN PHỤ.

Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:

1) $\{\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{12} \\ \frac{8}{x} + \frac{15}{y} = 1 \end{cases}$

2) $\{\begin{cases} \frac{2}{x + 2 y} + \frac{1}{y + 2 x} = 3 \\ \frac{4}{x + 2 y} - \frac{3}{y + 2 x} = 1 \end{cases}$

3) $\{\begin{cases} \frac{3 x}{x + 1} - \frac{2}{y + 4} = 4 \\ \frac{2 x}{x + 1} - \frac{5}{y + 4} = 9 \end{cases}$

4) $\{\begin{cases} x^{2} + y^{2} = 13 \\ 3 x^{2} - 2 y^{2} = - 6 \end{cases}$

5) $\{\begin{cases} 3 \sqrt{x} + 2 \sqrt{y} = 16 \\ 2 \sqrt{x} - 3 \sqrt{y} = - 11 \end{cases}$

6) $\{\begin{cases} |x| + 4 |y| = 18 \\ 3 |x| + |y| = 10 \end{cases}$

7) $\{\begin{cases} 2 (x^{2} - 2 x) + \sqrt{y + 1} = 0 \\ 3 (x^{2} - 2 x) - 2 \sqrt{y + 1} = - 7 \end{cases}$

8) $\{\begin{cases} 5 |x - 1| - 3 |y + 2| = 7 \\ 2 \sqrt{4 x^{2} - 8 x + 4} + 5 \sqrt{y^{2} + 4 y + 4} = 13 \end{cases}$

9) $\{\begin{cases} \frac{4}{2 x + 1} + \frac{9}{y - 1} = 1 \\ \frac{3}{2 x + 1} - \frac{2}{y - 1} = \frac{13}{6} \end{cases}$

10) $\{\begin{cases} 2 x^{2} + 3 y^{2} = 36 \\ 3 x^{2} + 7 y^{2} = 37 \end{cases}$

Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:

1. $\{\begin{cases} \frac{2 x}{x + 1} + \frac{y}{y + 1} = 2 \\ \frac{x}{x + 1} + \frac{3 y}{y + 1} = - 1 \end{cases}$

2. $\{\begin{cases} \frac{7}{x - y + 2} - \frac{5}{x + y - 1} = \frac{9}{2} \\ \frac{3}{x - y + 2} + \frac{2}{x + y - 1} = 4 \end{cases}$

3. $\{\begin{cases} \frac{3}{2 x - y} - \frac{6}{x + y} = - 1 \\ \frac{1}{2 x - y} - \frac{1}{x + y} = 0 \end{cases}$

4. $\{\begin{cases} \frac{x + y}{x y} + \frac{x y}{x + y} = \frac{5}{2} \\ \frac{x - y}{x y} + \frac{x y}{x - y} = \frac{10}{3} \end{cases}$

5. $\{\begin{cases} \frac{4}{2 x - 3 y} + \frac{5}{3 x + y} = - 2 \\ \frac{3}{3 x + y} - \frac{5}{2 x - 3 y} = 21 \end{cases}$

6. $\{\begin{cases} \frac{x}{y} - \frac{x}{y + 12} = 1 \\ \frac{x}{y + 12} - \frac{x}{y} = 2 \end{cases}$

7. $\{\begin{cases} \frac{4}{x + y - 1} - \frac{5}{2 x - y + 3} = \frac{5}{2} \\ \frac{3}{x + y - 1} + \frac{1}{2 x - y + 3} = \frac{7}{5} \end{cases}$

8. $\{\begin{cases} \frac{2 x}{y - 1} + \frac{3 y}{x - 1} = 1 \\ \frac{2 y}{x - 1} - \frac{5 x}{y - 1} = 2 \end{cases}$

DẠNG III- GIẢI VÀ BIỆN LUẬN HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ.

1) $\{\begin{cases} m x + y = 3 m - 1 \\ x + m y = m + 1 \end{cases}$

2) $\{\begin{cases} m x + 4 y = 10 - m \\ x + m y = 4 \end{cases}$

DẠNG IV- XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ CỦA THAM SỐ ĐỂ HỆ CÓ NGHIỆM THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC.

Bài 1: Cho hệ phương trình: $\{\begin{cases} m x + 4 y = 10 - m \\ x + m y = 4 \end{cases}$ (m là tham số)

a) Giải hệ phương trình khi m = $\sqrt{2}$

b) Giải và biện luận hệ phương trình theo m

c) Xác định các giá trị nguyên của m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x> 0, y > 0

d) Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm (x;y) với x, y là các số nguyên dương.

Bài 2: Cho hệ phương trình: $\{\begin{cases} (m - 1) x - m y = 3 m - 1 \\ 2 x - y = m + 5 \end{cases}$

a) Giải và biện luận hệ phương trình theo m

b) Với giá trị nguyên nào của m để hai đường thẳng của hệ cắt nhau tại một điểm nằm trong góc phần tư thứ IV của hệ tọa độ Oxy

c) Định m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho P = x² + y² đạt giá trị nhỏ nhất.

DẠNG V - GIẢI BÀI TOÁN BẰNG LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH.

Bài 1: Một ca nô chạy trên sông trong 8h, xuôi dòng 81 km và ngược dòng 105km. Một lần khác cũng chạy trên khúc sông đó, ca nô này chạy trong 4h, xuôi dòng 54km và ngược dòng 42km. Hãy tính vận tốc xuôi dòng và vận tốc ngược dòng của ca nô, biết vận tốc của dòng nước và vận tốc riêng của ca nô không đổi?

Bài 2: Trên quãng đường AB dài 210km. Tại cùng một thời điểm, một xe máy khởi hành từ A đi đến B và một ôtô khởi hành từ B đi về A. Sau khi hai xe gặp nhau, xe máy đi tiếp 4 giờ nữa thì đến B, ôtô đi tiếp 2 giờ 15 phút thì đến A . Biết rằng, xe máy và ôtô không thay đổi vận tốc suốt quãng đường. Tính vận tốc của xe máy và ô tô ?

Bài 3: Hai ôtô cùng khởi hành một lúc từ A và B và đi ngược chiều nhau. Tính quãng đường AB và vận tốc của mỗi xe, biết rằng sau 2 giờ hai xe gặp nhau tại một điểm cách chính giữa quãng đường AB là 10km. Nếu xe đi chậm tăng gấp đôi vận tốc thì sau 1 giờ 24 phút hai xe gặp nhau?

Bài 4 : Trên một đường tròn chu vi 1,2m ta lấy một điểm cố định A. Hai điểm chuyển động M, N chạy trên đường tròn cùng khởi hành từ A với vận tốc không đổi. Nếu chúng di chuyển trái chiều nhau thì chúng gặp nhau sau 15 giây. Nếu chúng di chuyển cùng chiều thì thì điểm M vượt N đúng một vòng sau 60 giây.Tính vận tốc mỗi điểm M, N?

Bài 5: Hai người dự định làm một công việc trong 12 giờ thì xong. Họ làm với nhau được 8 giờ thì người thứ nhất nghỉ, còn người thứ hai vẫn tiếp tục làm. Do cố gắng tăng năng suất gấp đôi, nên người thứ hai đã làm xong công việc còn lại trong 3giờ 20phút. Hỏi nếu mỗi người thợ làm một mình với năng suất như dự định ban đầu thì mất bao lâu mới xong công việc nói trên?

Bài 6: Hai vòi nước cùng chảy vào 1 cái bể cạn, sau 4h48 phút thì đầy bể. Nếu mở vòi thứ 1 chảy trong 9h, sau đó mở vòi thứ 2 chảy trong 6/5h nữa thì đầy bể . Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình trong bao nhiêu lâu thì đầy bể ?

Bài 7: Hai trường A và B của một thị trấn có 210 học sinh thi đỗ hết lớp 9, đạt tỷ lệ trúng tuyển 84%. Tính riêng thì trường A đỗ 80%, trường B đỗ 90%. Tính xem mỗi trường có bao nhiêu học sinh lớp 9 dự thi?

Bài 8: Có một lọ dung dịch loại 1 chứa 30% axít nitơríc (tính theo thể tích) và một lọ dung dịch loại 2 chứa 55% axít nitơríc. Cần phải trộn bao nhiêu lít dung dịch loại 1 vào loại 2 để được 100 lít dung dịch chứa 50% axit nitơríc.

Bài 9: Có 45 người gồm bác sĩ và luật sư, tuổi trung bình của họ là 40. Tính số bác sĩ và luật sư, biết rằng tuổi trung bình của bác sĩ là 35 tuổi trung bình của luật sư là 50.

Bài 10: Hai trường THCS A và B có tất cả 250 học sinh dự thi vào trường trung học phổ thông Hoàng Mai. Biết rằng, nếu có $\frac{2}{3}$ số học sinh dự thi của trường THCS A và $\frac{3}{5}$ số học sinh dự thi của trường THCS B trúng tuyển thì số HS trúng tuyển của trường A nhiều hơn số HS trúng tuyển của trường B là 2 HS. Tính số HS dự thi vào trường trung học phổ thông Hoàng Mai của trường THCS A và B.

Các dạng bài tập Toán 9

4 dạng giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn điển hình

Xem thêm các chương trình khác: