Bài tập tìm điều kiện xác định của biểu thức chứa căn có lời giải

232 lượt xem

TÌM ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA BIỂU THỨC CHỨA CĂN

A. Phương pháp giải

+) A(x) là một đa thức $\Rightarrow A (x)$ luôn có nghĩa.

+) $\frac{A (x)}{B (x)}$ có nghĩa $\Leftrightarrow B (x) \neq 0$

+) $\sqrt{A (x)}$ có nghĩa $\Leftrightarrow A (x) \geq 0$

+) $\frac{1}{\sqrt{A (x)}}$ có nghĩa $\Leftrightarrow A (x) > 0$

+) $\sqrt{\frac{A (x)}{B (x)}}$ có nghĩa khi $\frac{A (x)}{B (x)} \geq 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} A (x) \geq 0 \\ B (x) > 0 \end{cases} \\ \{\begin{cases} A (x) \leq 0 \\ B (x) < 0 \end{cases} \end{array}$

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa:

a) $\sqrt{- 3 x}$

b) $\sqrt{4 - 2 x}$

c) $\sqrt{- 2 x^{2} - 1}$

d) $\sqrt{4 x^{2} + 3}$

Hướng dẫn giải

a) $\sqrt{- 3 x}$

Điều kiện xác định:

$- 3 x \geq 0 \Leftrightarrow x \leq 0$

Vậy với $x \leq 0$ thì căn thức có nghĩa

b) $\sqrt{4 - 2 x}$

Điều kiện xác định:

$4 - 2 x \geq 0 \Leftrightarrow - 2 x \geq - 4 \Leftrightarrow x \leq 2$

Vậy với $x \leq 0$ thì căn thức có nghĩa

c) $\sqrt{- 2 x^{2} - 1}$

Điều kiện xác định:

$- 2 x^{2} - 1 \geq 0$

Vì $x^{2} \geq 0 \Rightarrow - 2 x^{2} \leq 0 \Leftrightarrow - 2 x^{2} - 1 < 0$

Do đó không tồn tại giá trị của x để biểu thức trên có nghĩa.

Vậy không tồn tại x để căn thức trên có nghĩa.

d) $\sqrt{4 x^{2} + 3}$

Điều kiện xác định:

$4 x^{2} + 3 \geq 0$

Vì $x^{2} \geq 0 \Rightarrow 4 x^{2} \geq 0$

$\Leftrightarrow 4 x^{2} + 1 \geq 0 + 1 > 0$

Do đó biểu thức trên luôn có nghĩa với mọi x.

Ví dụ 2: Tìm điều xác định của các biểu thức sau:

a) $\frac{1}{\sqrt{9 - 12 x + 4 x^{2}}}$

b) $\sqrt{x^{2} - 5 x + 6}$

c) $\frac{x}{x^{2} - 4} + \sqrt{x - 2}$

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện xác định:

$9 - 12 x + 4 x^{2} > 0 \Leftrightarrow {(2 x - 3)}^{2} > 0$

Vì ${(2 x - 3)}^{2} \geq 0$ với mọi x

Nên ${(2 x - 3)}^{2} > 0 \Leftrightarrow 2 x - 3 \neq 0 \Leftrightarrow 2 x \neq 3$

$\Leftrightarrow x \neq \frac{3}{2} .$

Vậy điều kiện xác định của biểu thức là: $x \neq \frac{3}{2} .$

b) Điều kiện xác định:

$x^{2} - 5 x + 6 \geq 0 \Leftrightarrow (x - 2) (x - 3) \geq 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} x - 2 \geq 0 \\ x - 3 \geq 0 \end{cases} \\ \{\begin{cases} x - 2 \leq 0 \\ x - 3 \leq 0 \end{cases} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} x \geq 2 \\ x \geq 3 \end{cases} \\ \{\begin{cases} x \leq 2 \\ x \leq 3 \end{cases} \end{array}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x \geq 3 \\ x \leq 2 \end{array}$

Vậy với $x \leq 2$ hoặc $x \leq 2$ thì biểu thức xác định.

c) $\frac{x}{x^{2} - 4} + \sqrt{x - 2}$

Điều kiện xác định:

$\{\begin{cases} x^{2} - 4 \neq 0 \\ x - 2 \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \neq \pm 2 \\ x \geq 2 \end{cases} \Leftrightarrow x > 2$

Vậy với $x > 2$ thì biểu thức đã cho xác định.

Ví dụ 3. Tìm điều kiện để biểu thức sau tồn tại:

$A = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 2} + \frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2} + \frac{2 + 5 \sqrt{x}}{4 - x}$

Hướng dẫn giải:

Ta có:

$4 - x = (2 - \sqrt{x}) (2 + \sqrt{x})$

Điều kiện để biểu thức xác định là:

$\{\begin{cases} x \geq 0 \\ 4 - x \neq 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x \geq 0 \\ x \neq 4 \end{cases}$

Vậy với $x \geq 0, x \neq 4$ thì biểu thức đã cho có nghĩa.

C. Bài tập tự luyện

Câu 1. Với mỗi giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa

a) $\sqrt{1 - x}$

b) $\frac{- x}{x^{2} - 9} + \sqrt{x - 3}$

c) $\sqrt{\frac{- 2}{x + 1}}$

d) $\frac{x + 1}{x - 1} + \sqrt{x - 1}$

Hướng dẫn giải:

a) $\sqrt{1 - x}$ có nghĩa khi $1 - x \geq 0 \Leftrightarrow 1 \geq x$ hay $x \leq 1$

Vậy ĐKXĐ: $x \leq 1$

b) $\frac{- x}{x^{2} - 9} + \sqrt{x - 3}$ có nghĩa khi $\{\begin{cases} x^{2} - 9 \neq 0 \\ x - 3 \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \neq \pm 3 \\ x \geq 3 \end{cases} \Rightarrow x > 3$

Vậy ĐKXĐ: $x > 3$

c) $\sqrt{\frac{- 2}{x + 1}}$ có nghĩa khi $\frac{- 2}{x + 1} > 0 \Leftrightarrow x + 1 < 0 \Leftrightarrow x < - 1$

Vậy ĐKXĐ: $x < - 1$

d) $\frac{x + 1}{x - 1} + \sqrt{x - 1}$ có nghĩa khi $\{\begin{cases} x - 1 \neq 0 \\ x - 1 \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > 1$

Vậy ĐKXĐ: $x > 1$ .

Câu 2. Tìm x để biểu thức sau có nghĩa:

$\begin{array}{l} 1, \sqrt{(x - 4) x} \\ 2, 3 + \sqrt{- x^{2}} \\ 3, \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 8 x + 15}} \\ 4 \sqrt{x^{2} - x + 1} \\ 5, \sqrt{- x^{2} + 2 x - 5} \\ 6, \sqrt{2 x^{2} + 1} + \frac{2}{3 - 2 x} \\ 7, \sqrt{\frac{- 5}{x - 2}} \\ 8, \sqrt{4 x + 9} + \sqrt{10 - 2 x} \\ 9, \sqrt{\frac{4}{x^{2} - 9}} \\ 10, \sqrt{\frac{3}{16 - x^{2}}} \end{array}$

Hướng dẫn giải

1, Biểu thức $\sqrt{(x - 4) x}$ có nghĩa $\Leftrightarrow (x - 4) x \geq 0$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x - 4 \geq 0 \\ x \geq 0 \end{cases}$ hoặc $\{\begin{cases} x - 4 \leq 0 \\ x \geq 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x \geq 4 \\ x \geq 0 \end{cases}$ hoặc $\{\begin{cases} x \leq 4 \\ x \leq 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow x \geq 4$ hoặc $x \leq 0$

2, Biểu thức $3 + \sqrt{- x^{2}}$ có nghĩa $- x^{2} \geq 0 \Leftrightarrow x = 0$

3, Biểu thức $\frac{1}{\sqrt{x^{2} - 8 x + 15}}$ có nghĩa

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x^{2} - 8 x + 15 \geq 0 \\ \sqrt{x^{2} - 8 x + 15} \neq 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow x^{2} - 8 x + 15 > 0$

$\Leftrightarrow x^{2} - 3 x - 5 x + 15 > 0$

$\Leftrightarrow x (x - 3) - 5 (x - 3) > 0$

$\Leftrightarrow (x - 3) (x - 5) > 0$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x - 3 > 0 \\ x - 5 > 0 \end{cases}$ hoặc $\{\begin{cases} x - 3 < 0 \\ x - 5 < 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x > 3 \\ x > 5 \end{cases}$ hoặc $\{\begin{cases} x < 3 \\ x < 5 \end{cases}$

$\Leftrightarrow x > 5$ hoặc $x < 3$ .

4, Biểu thức $\sqrt{x^{2} - x + 1}$ có nghĩa $x^{2} - x + 1 \geq 0$

Ta có:

$x^{2} - x + 1 = (x^{2} - 2 . x \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4}) - \frac{1}{4} + 1$

$= {(x - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{3}{4} > 0 \forall x \in R$

Vậy biểu thức đã cho có nghĩa với mọi x.

5, Biểu thức $\sqrt{- x^{2} + 2 x - 5}$ có nghĩa $- x^{2} + 2 x - 5 \geq 0$

Ta có:

$- x^{2} + 2 x - 5 = - (x^{2} - 2 x + 5)$

$= - [(x^{2} - 2 x + 1) + 4]$

$= - [{(x - 1)}^{2} + 4]$

$= - (x - 1)^{2} - 4 \leq - 4 \forall x \in R$

Nên không có x nào đề $- x^{2} + 2 x - 5 \geq 0 \Rightarrow x \in \emptyset$ .

Tài liệu đầy đủ quý Thầy/Cô và bạn đọc vui lòng chọn mục tải xuống để xem chi tiết.

Các dạng bài tập Toán 9

Bài tập tìm điều kiện xác định của biểu thức chứa căn có lời giải

Xem thêm các chương trình khác: