Bài tập sự tương giao giữa đường thẳng và parabol có lời giải

221 lượt xem

Bài trước

Bài sau

BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO CỦA PARABOL VÀ ĐƯỜNG THẲNG

A. Phương pháp giải

Cho parabol (P): $y = a x^{2} (a \neq 0)$ và đường thẳng (d): $y = b x + c (b \neq 0)$

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d),

ta có: $a x^{2} = b x + c$ $\Leftrightarrow a x^{2} - b x - c = 0$ (1)

+ Nếu (1) có một nghiệm duy nhất thì (P) giao (d) tại một điểm hay (P) tiếp xúc với (d)

+ Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt thì (P) giao (d) tại hai điểm phân biệt.

+ Nếu (1) vô nghiệm thì (d) không cắt (P).

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho parabol (P): $y = x^{2}$ và đường thẳng (d): $y = x + m$

a, Xác định tọa độ giao điểm của parabol và đường thẳng khi $m = 6$

b, Biện luận theo m số giao điểm của đường thẳng và parabol

Hướng dẫn giải:

a, Với $m = 6,$ ta có $(d) : y = x + 6$

Phương trình hoành độ giao điểm giữa parabol (P) và đường thẳng (d) là:

$x^{2} = x + 6$ $\Leftrightarrow x^{2} - x - 6 = 0 (1)$

Ta có:

$Δ = b^{2} - 4 a c$ $= 1 - 4 \cdot (- 6) = 25 > 0$

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt: $x_{1} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a} = 3$ và $x_{2} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a} = - 2$

Với $x = 3$ ta có $y = 9$

Với $x = - 2$ ta có $y = 4$

Vậy với $m = 6$ thì parabol (P) cắt đường thẳng (d) tại hai điềm có tọa độ $A (3; 9)$ và $B (- 2; 4)$

b, Phương trình hoành độ giao điểm của parabol (P) và đường thẳng (d):

$x^{2} = x + m$ $\Leftrightarrow x^{2} - x - m = 0 (1)$

Ta có:

$Δ = b^{2} - 4 a c$ $= 1 - 4 \cdot (- m)$ $= 1 + 4 m$

Nếu $Δ < 0 \Leftrightarrow 1 + 4 m < 0$ $\Leftrightarrow m < \frac{- 1}{4}$ thì phương trình (1) vô nghiệm hay parabol (P) và đường thẳng (d) không có điểm chung.

Nếu $Δ = 0 \Leftrightarrow 1 + 4 m = 0$ $\Leftrightarrow m = \frac{- 1}{4}$ thì phương trình (1) có nghiệm kép hay parabol (P) tiếp xúc với đường thằng (d) tại một điểm.

Nếu $Δ > 0 \Leftrightarrow 1 + 4 m > 0$ $\Leftrightarrow m > \frac{- 1}{4}$ thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt hai parabol (P) cắt đường thẳng (d) tại hai điểm phân biệt

Ví dụ 2: Cho parabol (P): $y = x^{2}$ và đường thẳng (d) có phương trình $y = ax + b$ . Tìm a và b để đường thẳng (d) và parabol (P) tiếp xúc nhau tại điểm $A (1; 1)$ .

Hướng dẫn giải

Phương trình hoành độ giao điểm của parabol (P) và đường thằng (d) là:

$x^{2} = a x + b$ $\Leftrightarrow x^{2} - a x - b = 0 (1)$

Ta có: $Δ = a^{2} + 4 b$

Để (P) và (d) tiếp xúc với nhau khi phương trình (1) có nghiệm kép

$\Leftrightarrow Δ = 0 \Leftrightarrow a^{2} + 4 b = 0$ $\Rightarrow b = - \frac{a^{2}}{4}$

Với $b = \frac{- a^{2}}{4}$ thay vào $y = ax + b$ ta có $y = a x - \frac{a^{2}}{4}$

Đường thẳng (d) tiếp xúc với parabol (P) tại điểm $A (1; 1)$ nên đường thẳng (d) đi qua điểm A(1;1). Thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng (d) có:

$1 = a - \frac{a^{2}}{4}$ $\Leftrightarrow a^{2} - 4 a + 4 = 0$ $\Leftrightarrow (a - 2)^{2} = 0$ $\Leftrightarrow a = 2$

Với $a = 2$ thì $b = - 1$

Vậy phương trình đường thẳng thỏa mãn yêu cầu đề bài là: $y = 2 x - 1$

Ví dụ 3: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): $y = - x + 2$ và parabol $(P) : y = x^{2}$ . Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P) bằng phép tính.

Hướng dẫn giải

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) là:

$x^{2} = - x + 2$ $\Leftrightarrow x^{2} + x - 2 = 0 (1)$

Ta có:

$Δ = b^{2} - 4 a c$ $= 1 + 8 = 9 > 0$

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $x_{1} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a} = 1$ và $x_{2} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a} = - 2$

Với $x = 1$ thì y = 1

Với $x = - 2$ thì $y = - 5$

Vậy đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có tọa độ $A (1; 1)$ và $B (- 2; - 5)$

C. Bài tập tự luyện

Bài 1.

1) Cho parabol $(P) : y = \frac{x^{2}}{2}$ và đường thẳng $d : y = (m + 2) x - m + 1$ . Với $m = - 3$ , tìm tọa độ các giao điểm của d và $(P)$ .

2) Cho parabol $(P) : y = m x^{2}$ và đường thẳng $d : y = (m + 2) x + m - 1$ . Với $m = - 1$ , tìm tọa độ các giao điểm của d và $(P)$ .

Tài liệu đầy đủ quý Thầy/Cô và bạn đọc vui lòng chọn mục tải xuống để xem chi tiết.

Xem thêm các chương trình khác:

Bài trước

Bài sau

Các dạng bài tập Toán 9

Bài tập sự tương giao giữa đường thẳng và parabol có lời giải

Xem thêm các chương trình khác: