ÔN TẬP CHƯƠNG II: ĐƯỜNG TRÒN
Bài 1. Cho đường tròn (O) đường kính AB. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax và By. Qua một điểm E thuộc nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax và By lần lượt ở C và D. Chứng minh rằng:
a) CD = AC + BD
b) Tam giác COD là tam giác vuông và AC.BD = R2.
Bài 2. Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Kẽ các tiếp tuyến Ax, By cùng phía với nửa đường tròn đối với AB. Từ điểm M trên nửa đường tròn kẽ tiếp tuyến thứ ba với đường tròn, nó cắt Ax và By lần lượt tại C và D.
a) Chứng minh: Tam giác COD là tam giác vuông.
b) Chứng minh: MC.MD=OM2.
c) Cho biết OC=BA=2R, tính AC và BD theo R.
Bài 3. Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax, By cùng phía với nửa đường tròn đối với AB. Vẽ bán kính OE bất kỳ. Tiếp tuyến nửa đường tròn tại E cắt Ax, By theo thứ tự tại C và D.
a) Chứng minh rằng CD = AC + BD
b) Tính số đo góc DOC
c) Gọi I là giao điểm của OC và AE; K là giao điểm của OD và BE. Tứ giác EIOK là hình gì? Vì sao? Và IK//MN
d) Xác định vị trí của OE để tứ giác EIOK là hình vuông.
Bài 4. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi Ax, By là đường thẳng vuông góc với AB, M là một điểm bất kỳ trên cung AB và không trùng với A, B. Kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn nó cắt Ax, By lần lượt tại C, D. Chứng minh rằng:
a) .
b) .
c) Tích AC.BD không đổi khi M di chuyển trên nửa đường tròn.
d) Đường tròn qua C, D, O tiếp xúc AB tại O.
Bài 5. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính CD = 2R. Từ C và D kẻ tiếp tuyến Cx và Dy về cùng một phía của nửa đường tròn. Từ một điểm E trên nửa đường tròn (E khác C và D) kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Cx và Dy lần lượt tại A và B.
a) Chứng minh: AB = AC + BD
b) Chứng minh tam giác AOB là tam giác vuông.
c) Gọi F là giao điểm của AD và BC. Chứng minh: EF.AB = AC.BD
Bài 6. Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB. Từ A và B kẻ hai tia Ax và By vuông góc với AB ( Ax, By cùng nằm trên nửa mặt phẳng với nửa đường tròn bờ là AB). Trên nửa đường tròn lấy điểm M bất kỳ, tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt Ax, By lần lượt tại C và D.
a) Chứng minh góc COD vuông .
b) Chứng minh CD = AC + BD.
c) Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD.
d) Gọi I là giao điểm của AD và BC . Chứng minh MI ^ AB.
Bài 7. Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R, E là một điểm tuỳ ý trên nửa đường tròn ( E 
A,B). Kẻ 2 tiếp tuyến Ax và By với nửa đường tròn. Qua E kẻ tiếp tuyến thứ ba lần lượt cắt Ax và By tại M và N.
a) Chứng minh MN = AM + BN và
b) Chứng minh AM . BN = R2
c) OM cắt AE tại P, ON cắt BE tại Q. Chứng minh PQ không đổi khi E chuyển động trên nửa đường tròn
Bài 8. Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R, M là một điểm tùy ý trên nửa đường tròn (M A ; B). Kẻ hai tiếp tuyến Ax và By với nửa đường tròn. Qua M kẻ tiếp tuyến thứ ba lần lượt cắt Ax và By tại C và D
a) Chứng minh CD = AC + BD .
b) Chứng minh tam giác COD là tam giác vuông.
c) Chứng minh AC . BD = R2
d) OC cắt AM tại E , OD cắt BM tại F. Chứng minh EF = R.
Bài 9. Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB. Từ A và B kẻ hai tia Ax và By vuông góc với AB ( Ax, By cùng nằm trên nửa mặt phẳng với nửa đường tròn bờ là AB). Trên nửa đường tròn lấy điểm M bất kỳ, tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt Ax, By lần lượt tại C và D.
a) Chứng minh góc COD vuông .
b) Chứng minh CD = AC + BD.
c) Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD.
d) Gọi I là giao điểm của AD và BC . Chứng minh MI ^ AB.
Bài 10. Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R .Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax và By . Từ một điểm E trên đường tròn, kẻ tiếp tuyến với đường tròn đó gặp Ax và By lần lượt tại C và D. Tia CO cắt tia DB ở F.
a/ Chứng minh góc COD vuông và tam giác DCF cân.
b/ Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác COD.
c/ Cho AC = . Tính diện tích tam giác DCF theo R.
Bài 11. Cho đường tròn (O, R), đường kính AB. Qua A và B vẽ lần lượt hai tiếp tuyến (d) và (d’) với đường tròn (O). Một đường thẳng qua O cắt đường thẳng (d) ở M và cắt đường thẳng (d’) ở P. Từ O vẽ một tia vuông góc với MP và cắt đường thẳng (d’) ở N.
a) Chứng minh OM = OP và ΔNMP cân.
b) Hạ OI MN. Chứng minh OI = R và MN là tiếp tuyến của (O).
c) Chứng minh AM. BN = R2.
d) Tìm vị trí của M để diện tích tứ giác AMNB là nhỏ nhất. Vẽ hình minh họa.
Bài 12. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm A bán kính AH. Từ B, C kẻ các tiếp tuyến BE, CF với đường tròn (A) ( E, F là tiếp điểm). Chứng minh:
a) Ba điểm E, A, F thẳng hàng và BE // CF.
b) Đường thẳng EF tiếp xúc với đường tròn đường kính BC tại A.
Bài 13. Cho hai đường tròn có chung tâm là O và có bán kính lần lượt là R và . Từ một điểm A cách O một đoạn OA =2R, kẻ 2 tiếp tuyến AB, AC đến đường tròn ( O; R). Gọi D là giao điểm của đường thẳng AO với đường tròn (O; R) và điểm O thuộc đoạn AD. Chứng minh:
a) Đường thẳng BC tiếp xúc với đường tròn (O; ).
b) Tam giác BCD là tam giác đều.
c) Đường tròn nội tiếp tam giác BCD.
Bài 14. Cho đường tròn (O; R), điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn. Kẻ đường kính CD. Tia phân giác của góc BOD cắt AB tại E.
a) CMR: ED là tiếp tuyến của đường tròn (O).
b) CMR:
c) Tính số đo góc AOE.
Bài 15. Cho đường tròn (O) bán kính OA =R. Vẽ đường tròn (O’) đường kính OA.
a) Hai đường tròn có vị trí như thế nào đối với nhau?
b) Vẽ dây AB của đường tròn (O), cắt đường tròn (O’) ở điểm C (khác A). CMR: AC= CB.
c) Tính độ dài OC biết OA=15cm, AB=24cm.
d) Đường vuông góc với OA tại A cắt đường thẳng OC tại M. Tính độ dài OM với các số đo của OA và AB nêu trong câu c.
