ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY CỦA ĐƯỜNG TRÒN
I. LÝ THUYẾT
1. So sánh độ dài của đường kính và dây
Định lí 1: Trong các dây của một đường tròn, dây lớn nhất là đường kính.
2. Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây
Định lí 2: Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.
Định lí 3: Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy.
II. BÀI TẬP
Bài 1. Gọi M, N là hai điểm bất kì của đường tròn , đoạn MN gọi là dây của đường tròn. Có nhận xét gì về độ dài dây MN và độ dài đường kính?
Bài 2. Cho đường tròn tâm O bán kính 5cm. A, B là hai điểm bấy kì trên đường tròn. Chứng minh .
Bài 3. Cho đường tròn và là ba dây của đường tròn không phải là đường kính.
Bạn Đa cho rằng tam giác có ba góc đều nhọn.
Bạn Nghi cho rằng thế có một góc tù.
Theo em, bạn nào đúng?
Bài 4. Cho đường tròn đường kính MN; hai điểm P, Q nằm trên đường tròn sao cho MN vuông góc với PO. I là giao điểm của MN và PQ. Cho biết . Vẽ hình và tính PQ.
Bài 5. Cho đường tròn , bán kính , điểm I thuộc đoạn OM sao cho . Từ I kẻ đường thẳng vuông góc với OM cắt đường tròn tại A và B. Tính AB.
Bài 6. Cho đường tròn và điểm M nằm bên trong đường tròn. AB là dây qua M vuông
góc với OM, CD là dây qua M không vuông góc với OM. Chứng minh rằng
(Hướng dẫn: Kẻ OI vuông góc )
Bài 7. Cho tam giác ABC, các đường cao BH và CK. Chứng minh rằng:
a) Bốn điểm cùng thuộc một đường tròn.
b)
Bài 8. Cho tứ giác ABCD có
a) Chứng minh 4 điểm cùng nằm trên một đường tròn.
b) So sánh độ dài AC và BD.
Bài 9. Cho đường tròn đường kính AB và dây EF không cắt đường kính. Gọi I và J lần
lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến EF. Chứng minh .
Bài 10. Cho đường tròn , bán kính 3. Dây BC của đường tròn vuông góc với OA
tại trung điểm OA .
Tính độ dài BC.
Bài 11. Cho đường tròn đường kính AB, dây CD không cắt đường kính AB. Gọi H và K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến CD. Chứng minh rằng: .
Gợi ý: Kẻ OM vuông góc CD.
Bài 12. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Trên AB lấy hai điểm C và D sao cho
OC = OD. Từ C và D kẻ hai tia song song với nhau cắt nửa đường tròn (O) tại E và F. Chứng minh dây EF vuông góc với CE và DF
Bài 13. Cho đường tròn tâm O bán kính OA = 11cm. Điểm M thuộc bán kính OA và cách O là 7cm. Qua M kẻ dây CD có độ dài 18cm. Tính độ dài MC, MD.
Bài 14. Trong đường tròn tâm O, hai dây AB và CD song song với nhau. Biết AB = 30cm, CD=40cm, khoảng cách giữa AB và CD là 35cm. Tính bán kính đường tròn (O).
Bài 15. Cho cân tại A nội tiếp đường tròn (O).
a) Hãy giải thích vì sao AO là đường trung trực của BC.
b) Tính đường cao AH của , biết AC = 40cm, bán kính đường tròn (O) bằng 25cm
Bài 16. Cho đường tròn (O) đường kính Ab, dây CD vuông góc với AB tại điểm M thuộc bán kính OA . Gọi I là một điểm thuộc bán kính OB (I khác O, khác B). Các tia CI, DI theo thứ tự cắt đường tròn (O) ở E, F.
a) Chứng minh rằng là tam giác cân
b) Gọi H, K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ O đến CE, DF. So sánh các độ dài OH và OK.
Bài 17. Cho nửa đường tròn đường kínhABvà ba dây không qua tâm. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của D trên AC và AE. Chứng minh rằng HK < AB.
Bài 18. Cho đường tròn (O), hai dây AB, CD bằng nhau và song song. Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D là bốn đỉnh của hình chữ nhật.
Bài 19. Chứng minh rằng trong một đường tròn hai dây không đi qua tâm không thể cắt nhau tại trung điểm của mỗi dây.
Bài 20. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Trên các bán kính OA, OB lần lượt lấy các điểm M và N sao cho Từ M và N vẽ hai tia song song cắt nửa đường tròn lần lượt tại C và D. Chứng minh rằng
Bài 21. Cho đường tròn (O; R) đường kính AB và dây CD nằm về một phía của AB (C, D không trùng với A hoặc B). Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A và B trên đường thẳng CD. Chứng minh rằng:
a) H và K nằm ngoài đường tròn (O);
b)
Bài 22. Cho đường tròn (O; R). Một dây AB chuyển động trong đường tròn sao cho Gọi M là trung điểm của AB. Hỏi điểm M đi động trên đường nào?
Bài 23. Cho bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên đường tròn (O; R) theo thứ tự đó. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác ABCD.
