So sánh biểu thức chứa căn có đáp án chi tiết

235 lượt xem

Bài trước

Bài sau

SO SÁNH BIỂU THỨC CHỨA CĂN VỚI MỘT SỐ HOẶC VỚI MỘT BIỂU THỨC KHÁC

A. Phương pháp giải

+) So sánh biểu thức A với một số m

- Xét hiệu A – m

- Dùng các điều kiện của biến x, Các bất đẳng thức, hằng đẳng thức để đánh giá hiệu A – m

Nếu A – m > 0 thì A > m

Nếu A – m < 0 thì A < m

+) So sánh biểu thức A với một biểu thức khác

- So sánh biểu thức A với $\sqrt{A}$

Nếu 0 < A < 1 thì A < $\sqrt{A}$

Nếu A > 1 thì A > $\sqrt{A}$

- So sánh biểu thức A với $|A|$

Vì $A \leq |A|$ với mọi A

Nếu $A \geq 0$ thì $|A| = A$

Nếu A < 0 thì A < |A|

+) Tìm x để A > m (A < m, A $\geq$ m, A $\leq$ m).

- Xét A > m $\Leftrightarrow A - m > 0$

- Quy đồng mẫu (chú ý không được khử mẫu)

- Xét dấu tử số và mẫu số, tìm được x

- So sánh với điều kiện đầu bài rồi kết luận.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho biểu thức $A = \frac{2 + \sqrt{x}}{\sqrt{x}}; B = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}} + \frac{2 \sqrt{x} + 1}{x + \sqrt{x}}$ với $x > 0,$

1) Rút gọn B

2) Tìm x đề $\frac{A}{B} > \frac{3}{2}$

Hướng dẫn giải

$\begin{array}{l} B = \frac{(\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x + 1}) + 2 \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} (\sqrt{x} + 1)} \\ = \frac{{\sqrt{x}}^{2} - 1 + 2 \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} (\sqrt{x} + 1)} \\ = \frac{{\sqrt{x}}^{2} + 2 \sqrt{x}}{\sqrt{x} (\sqrt{x} + 1)} \\ = \frac{\sqrt{x} (\sqrt{x} + 2)}{\sqrt{x} (\sqrt{x} + 1)} \\ = \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 1} \end{array}$

Vậy $B = \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 1}$ với $x > 0$

2) Ta có: $\frac{A}{B} > \frac{3}{2}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{2 + \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 2} > \frac{3}{2} \\ \Leftrightarrow \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}} - \frac{3}{2} > 0 \\ \Leftrightarrow \frac{2 (\sqrt{x} + 1) - 3 \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}} > 0 \\ \Leftrightarrow \frac{2 - \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}} > 0 \end{array}$

Vì $\sqrt{x} > 0$ với mọi $x > 0$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2 - \sqrt{x} > 0 \\ \Leftrightarrow - \sqrt{x} > - 2 \\ \Leftrightarrow \sqrt{x} < 2 \\ \Leftrightarrow x < 4 \end{array}$

Kết hợp với điều kiện đầu bài ta được: $0 < x < 4$ thì $\frac{A}{B} > \frac{3}{2}$ . $A = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} - \frac{2 \sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 1)}$

Ví dụ 2. Cho biểu thức $A = \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 2},$ điều kiện $x \geq 0 .$ Chứng minh A>1.

Hướng dẫn giải

Ta có $A = \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 2} = 1 + \frac{1}{\sqrt{x} + 2}$

Vì $x \geq 0 \Rightarrow \sqrt{x} \geq 0$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt{x} + 2 > 0 \\ \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{x} + 2} > 0 \\ \Rightarrow 1 + \frac{1}{\sqrt{x} + 2} > 1 \end{array}$

Do đó $A > 1$ .

Ví dụ 3. Cho biểu thức $A = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} - \frac{2 \sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 1)}$ .

a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn biểu thức A

b) Với giá trị nào của x thì $| A | > A$

Hướng dẫn giải:

a) ĐKXĐ: $x > 0; x \neq 1$

$A = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} - \frac{2 \sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 1)}$

$= \frac{{(\sqrt{x})}^{2} - 2 \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 1)}$

$= \frac{{(\sqrt{x} - 1)}^{2}}{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 1)} = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}}$

b) $|A| > A \Leftrightarrow A < 0 \Leftrightarrow \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}} < 0$

Vì $\sqrt{x} > 0$ với mọi $x > 0$

Nên để $\frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}} < 0$

$\Leftrightarrow \sqrt{x} - 1 < 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt{x} < 1 \\ \Leftrightarrow x < 1 . \end{array}$

Kết hợp với điều kiện xác định $0 < x < 1$ thì $| A | > A$ .

Ví dụ 4. Ví dụ minh họa: Cho $A = \frac{2 \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 1},$ điều kiện xác định $x \geq 0$ .

a) So sánh A với 2.

b) So sánh A với 1.

Hướng dẫn giải

a) Xét hiệu: $A - 2 = \frac{2 \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 1} - 2$

$\begin{array}{l} = \frac{2 \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 1} - \frac{2 (\sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x} + 1} \\ = \frac{2 \sqrt{x} + 1 - 2 \sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 1} \\ = \frac{- 1}{\sqrt{x} + 1} \end{array}$

Ta có $x \geq 0 \Rightarrow \sqrt{x} \geq 0 \Rightarrow \sqrt{x} + 1 > 0$

Vì $- 1 < 0 \Rightarrow \frac{- 1}{\sqrt{x} + 1} < 0$

$\Rightarrow A - 2 < 0 \Leftrightarrow A < 2$ .

Vậy A<2.

b) Xét hiệu: $A - 1 = \frac{2 \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 1} - 1$

$\begin{array}{l} = \frac{2 \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 1} - \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 1} \\ = \frac{2 \sqrt{x} + 1 - \sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1} \\ = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} \end{array}$

Ta có

$x \geq 0 \Rightarrow \sqrt{x} \geq 0 \Rightarrow \sqrt{x} + 1 > 0$

Vì $\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{x} + 1} > 0 \Rightarrow A - 1 > 0 \Leftrightarrow A > 1$ .

Vậy A>1.

Ví dụ 5. Cho biểu thức

$P = (\frac{3}{\sqrt{x} - 1} - \frac{\sqrt{x} - 3}{1 - x}) : (\frac{x + 2}{x + \sqrt{x} - 2} - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2})$

Với $0 < x < \frac{1}{9}$ , hãy so sánh P và $\sqrt{P}$

Hướng dẫn giải

Ảnh đính kèm

Ta có:

$\frac{4 \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} = \frac{4 (\sqrt{x} + 1) - 4}{\sqrt{x} + 1}$

$= \frac{4 (\sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x} + 1} - \frac{4}{\sqrt{x} + 1} = 4 - \frac{4}{\sqrt{x} + 1}$

Vì $0 < x < \frac{1}{9}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 0 < \sqrt{x} < \frac{1}{3} \\ \Leftrightarrow 1 < \sqrt{x} + 1 < \frac{4}{3} \\ \Leftrightarrow 3 < \frac{4}{\sqrt{x} + 1} < 4 \\ \Leftrightarrow - 4 < - \frac{4}{\sqrt{x} + 1} < - 3 \\ \Leftrightarrow 0 < 4 - \frac{4}{\sqrt{x} + 1} < 1 \\ \Rightarrow 0 < P < 1 \end{array}$

$\Rightarrow P < \sqrt{P}$ .

Ví dụ 6: Cho biểu thức

$A = (\frac{1}{\sqrt{x} - 1} + \frac{1}{\sqrt{x} + 1}) \cdot (1 + \frac{1}{\sqrt{x}})$

a) Tim ĐKXĐ, và rút gọn A.

b) Tim giá trị của x để $\sqrt{A} > A$ .

Tài liệu đầy đủ quý Thầy/Cô và bạn đọc vui lòng chọn mục tải xuống để xem chi tiết.

Xem thêm các chương trình khác:

Bài trước

Bài sau

Các dạng bài tập Toán 9

So sánh biểu thức chứa căn có đáp án chi tiết

Xem thêm các chương trình khác: