GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH
BÀI TOÁN VẬN TỐC
A. Phương pháp giải
Bước 1: Lập phương trình (hoặc hệ phương trình)
- Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.
- Lập phương trình (hoặc hệ phương trình) biểu thị tương quan giữa các đại lượng.
Bước 2: Giải phương trình (hệ phương trình) vừa lập được.
Bước 3: So sánh lại với điều kiện và trả lời.
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Hai ô tô cùng khởi hành 1 lúc từ 2 tỉnh A và B cách nhau 400 km đi ngược chiều và gặp nhau sau 5h. Nếu vận tốc của mỗi xe vẫn không thay đổi nhưng xe đi chậm xuất phát trước xe kia 40 phút thì 2 xe gặp nhau sau 5h 22 phút kể từ lúc xe chậm khởi hành. Tính vận tốc của mỗi xe.
Hướng dẫn giải
Gọi vận tốc của xe nhanh là x km/h, vận tốc của xe chậm là y km/h, (điều kiện x,y > 0).
Quãng đường đi được của xe nhanh sau 5h là: 5x (km)
Quãng đường đi được của xe chậm sau 5h là: 5y (km)
Hai xe cùng khởi hành một lúc và đi ngược chiều sau 5h gặp nhau nên ta có phương trình
Thời gian xe đi chậm hết 5h 22 phút = h
Thời gian xe đi nhanh hết h
Vì xe đi chậm xuất phát trước h
Quãng đường xe đi chậm là (km)
Quãng đường xe đi nhanh là (km)
Cả 2 xe đi được
Kết hợp (1) và (2) ta có hệ phương trình:
(thỏa mãn)
Vậy vận tốc của xe nhanh là 44 km/h
Vận tốc của xe chậm là 36 km/h.
Ví dụ 2: Một ô tô dự định đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy mỗi giờ nhanh hơn 10km thì đến sớm hơn dự định 3 giờ, cũng xe chạy chậm lại mỗi giờ 10km thì đến nơi chậm mất 5 giờ. Tính vận tốc của xe lúc đầu, thời gian dự định và chiều dài quãng đường AB.
Hướng dẫn giải
Gọi thời gian dự định là x (giờ), vận tốc của xe lúc đầu là y (km/h) , thì chiều dài quãng đường AB là xy (km)
Khi xe chạy nhanh hơn 10km mỗi giờ thì:
Vận tốc của xe lúc này là:
Thời gian xe đi hết quãng đường AB là: (giờ)
Ta có phương trình:
Khi xe chạy chậm hơn 10km mỗi giờ thì:
Vận tốc của xe lúc này là: (km/h)
Thời gian xe đi hết quãng đường AB là: (giờ)
Ta có phương trình:
Từ (1) và (2) ta có hệ:
(thỏa mãn)
Vậy thời gian xe dự định đi hết quãng đường AB là 15 giờ, vận tốc của xe lúc đầu là 40 km/h.
Quãng đường AB có độ dài là:
Ví dụ 3: Một chiếc thuyền xuôi ngược dòng trên một khúc sông dài 40km hết 4h 30 phút. Biết thời gian thuyền xuôi dòng 5km bằng thời gian thuyền ngược dòng 4km. Tính vận tốc dòng nước?
Hướng dẫn giải
Gọi vận tốc của thuyền khi nước yên lặng là x km/h ; đk x > y
Gọi vận tốc của dòng nước là y km/h ; đk y > 0
Vì thời gian thuyền xuôi dòng 4km bằng thời gian thuyền ngược dòng 5km nên ta có phương trình:
Vì chiếc thuyển xuôi ngược dòng trên khúc sông dài 40 km hết 4h 30 phút = nên ta có phương trình
Ta có hệ phương trình:
Giải ra ta được vận tốc của thuyền là , vận tốc dòng nước là
C. Bài tập tự luyện
Bài 1: Một chiếc xe máy và một ô tô cùng đi từ A đến B với vận tốc khác nhau, vận tốc của xe máy là 62 km/h, còn vận tốc của ô tô là 55 km/h nếu hai đến đích cùng một lúc, người ta cho ô tô chạy trước một thời gian. Nhưng vì lý do đặc biệt nên khi chạy 2/3 quãng đường, ô tô phải chạy với vận tốc 27,5 km/h. Vì vậy khi còn cách B 124 km thì xe máy đuổi kịp ô tô. Tính khoảng cách AB.
Bài 2: Tìm vận tốc và chiều dài của một đoàn tàu biết đoàn tàu ấy chạy ngang qua văn phòng ga từ đầu máy đến hết toa cuối cùng mất 7s, cho biết sân ga dài 378m và thời gian kể từ khi đầu máy bắt đầu vào sân ga cho đến khi hết toa cuối cùng rời khỏi sân ga là 25 giây.
Bài 3: Quãng đường AB dài là 60km, người thứ nhất đi từ A đến B, người thứ hai đi từ B đến A. Họ khởi hành cùng một lúc và gặp nhau tại C. Sau 1,2h người thứ nhất đi tiếp đến B với vận tốc giảm hơn trước là 6km/h, người thứ hai đi đến A với vận tốc như cũ, kết quả người thứ nhất đến sớm hơn người thứ hai là 48 phút. Tính vận tốc ban đầu của mỗi người.
Bài 4: Quãng đường AB gồm một đoạn lên dốc dài 4km, đoạn xuống dốc dài 5km. Một người đi xe đạp từ A đến B mất 40 phút và đi từ B về A mất 41 phút (vận tốc lên dốc lúc đi và lúc về bằng nhau). Tính vận tốc lên dốc và vận tốc lúc xuống dốc.
Bài 5: Hai xe khởi hành cùng một lúc từ hai địa điểm cách nhau 130km và gặp nhau 2 giờ. Tính vận tốc của mỗi xe biết xe đi từ B có vận tốc nhanh hơn xe đi từ A là 5 km/h.
Bài 6: Một ô tô đi từ A vào tới bên B lúc 12 giờ trưa, nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì sẽ đến B chậm 2 giờ so với dự định, nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì sẽ đến B sớm hơn 1 giờ so với dự định. Tính độ dài quãng đường AB và thời điểm xuất phát của ô tô tại A?
Bài 7: Một ô tô đi quãng đường AB với vận tốc 50 km/h, rồi đi tiếp BC với vận tốc 45 km/h biết tổng chiều dài quãng đường AB và BC là 165 km và thời gian ô tô đi quãng đường AB ít hơn thời gian quãng đường BC là 30 phút. Tính thời gian ô tô đi trên quãng đường AB và BC.
Bài 8: Ga xe lửa Sài Gòn cách ga Dầu Giây 65 km, xe khách ở Sài Gòn, xe tải ở Dầu Giây đi ngược chiều nhau và xe khách khởi hành sau xe tải 36 phút, sau khi xe khách khởi hành 24 phút thì gặp xe tải. Nếu hai xe khởi hành đồng thời và cùng đi Hà Nội (cùng chiều) thì sau 1 giờ hai xe gặp nhau. Tính vận tốc của mỗi xe biết rằng xe khách đi nhanh hơn xe tải.
Bài 9: Một ô tô và một xe đạp chuyển động đi từ hai đầu một quãng đường, sau 3 giờ thì 2 xe gặp nhau. Nếu đi cùng chiều và xuất phát tại một địa điểm, sau 1 giờ hai xe cách nhau 28 km. Tính vận tốc xe đạp và ô tô. Biết quãng đường dài 156 km.
Bài 10: Hai ca nô cùng khởi hành từ A đến B cách nhau 85 km và đi ngược chiều nhau. Sau 1 giờ 40 phút thì gặp nhau. Tính vận tốc thật của mỗi ca nô, biết rằng vận tốc ca nô đi xuôi dòng lớn hơn vận tốc ca nô đi ngược dòng là 9 km/h và vận tốc dòng nước là 3km/h.
