Bài tập giải hệ phương trình (chọn từ đề thi học sinh giỏi, đề ôn thi vào lớp 10)

241 lượt xem

GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Bài 1: Giải các phương trình sau bằng phương pháp thế:

a) $\{\begin{cases} 4 x + y = 2 \\ 8 x + 3 y = 5 \end{cases}$

b) $\{\begin{cases} 3 x - 2 y = 11 \\ 4 x - 5 y = 3 \end{cases}$

c) $\{\begin{cases} 5 x - 4 y = 3 \\ 2 x + y = 4 \end{cases}$

d) $\{\begin{cases} x + y = \frac{4 x - 3}{5} \\ x + 3 y = \frac{15 - 9 y}{14} \end{cases}$

e) $\{\begin{cases} \frac{x + y}{5} = \frac{x - y}{3} \\ \frac{x}{4} = \frac{y}{2} + 1 \end{cases}$

f) $\{\begin{cases} \frac{5 x}{3} - \frac{2 y}{5} = 19 \\ 4 x + \frac{3 y}{2} = 21 \end{cases}$

Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:

a) $\{\begin{cases} - x + 2 y = - 4 (x - 1) \\ 5 x + 3 y = - (x + y) + 8 \end{cases}$

b) $\{\begin{cases} 9 x - 6 y = 4 \\ 3 (4 x - 3 y) = - 3 x + y + 7 \end{cases}$

c) $\{\begin{cases} 3 (x + 1) + 2 y = - x \\ 5 (x + y) = - 3 x + y - 5 \end{cases}$

d) $\{\begin{cases} 2 (2 x + 3 y) = 3 (2 x - 3 y) + 10 \\ 4 x - 3 y = 4 (6 y - 2 x) + 3 \end{cases}$

e) $\{\begin{cases} (\sqrt{3} - \sqrt{2}) x + y = \sqrt{2} \\ x + (\sqrt{3} + \sqrt{2}) y = \sqrt{6} \end{cases}$

f) $\{\begin{cases} (x + 5) (y - 2) = (x + 2) (y - 1) \\ (x - 4) (y + 7) = (x - 3) (y + 4) \end{cases}$

Bài 3: Giải các hệ phương trình sau

a) $\{\begin{cases} 2 x + 3 |y| = 13 \\ 3 x - y = 3 \end{cases}$

b) $\{\begin{cases} 3 \sqrt{x} - 2 \sqrt{y} = - 2 \\ 2 \sqrt{x} + \sqrt{y} = 1 \end{cases}$

c) $\{\begin{cases} 2 \sqrt{x - 1} - \sqrt{y - 1} = 1 \\ \sqrt{x - 1} + \sqrt{y - 1} = 2 \end{cases}$

d) $\{\begin{cases} \frac{4}{x + y - 1} - \frac{5}{2 x - y + 3} = \frac{5}{2} \\ \frac{3}{x + y - 1} + \frac{1}{2 x - y + 3} = \frac{7}{5} \end{cases}$

e) $\{\begin{cases} \frac{2}{x + y} + \frac{1}{x - y} = 3 \\ \frac{1}{x + y} - \frac{3}{x - y} = 1 \end{cases}$

f) $\{\begin{cases} {(x - 1)}^{2} - 2 y = 2 \\ 3 {(x - 1)}^{2} + 3 y = 1 \end{cases}$

Bài 4: Giải và biện luận các hệ phương trình sau:

a) $\{\begin{cases} m x - y = 2 m \\ 4 x - m y = m + 6 \end{cases}$

b) $\{\begin{cases} m x + y = 3 m - 1 \\ x + m y = m + 1 \end{cases}$

Bài 5: Tìm m nguyên để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên:

a) $\{\begin{cases} m x + 2 y = m + 1 \\ 2 x + m y = 2 m - 1 \end{cases}$

b) $\{\begin{cases} (m + 1) x - 2 y = m - 1 \\ m^{2} x - y = m^{2} + 2 m \end{cases}$

Bài 6: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:

a) $\{\begin{cases} 4 x + 3 y = 13 \\ 5 x - 3 y = - 31 \end{cases}$

b) $\{\begin{cases} 7 x + 5 y = 19 \\ 3 x + 5 y = 31 \end{cases}$

c) $\{\begin{cases} 7 x - 5 y = 3 \\ 3 x + 10 y = 62 \end{cases}$

d) $\{\begin{cases} x + 5 y = - 5 \\ 3 x + 2 y = 11 \end{cases}$

e) $\{\begin{cases} 3 x + 2 y = 8 \\ 4 x - 3 y = - 12 \end{cases}$

f) $\{\begin{cases} 2 x + 3 y = - 2 \\ 3 x - 2 y = - 3 \end{cases}$

Bài 7: Giải các hệ phương trình sau:

a) $\{\begin{cases} 3 (x + 1) + 2 y = - x \\ 5 (x + y) = - 3 x + y - 5 \end{cases}$

b) $\{\begin{cases} 2 x + 5 = - (x + y) \\ 6 x + 3 y = y - 10 \end{cases}$

c) $\{\begin{cases} x + y = - 2 (x - 1) \\ 7 x + 3 y = x + y + 5 \end{cases}$

d) $\{\begin{cases} \sqrt{2} x - \sqrt{3} y = 1 \\ x + \sqrt{3} y = \sqrt{2} \end{cases}$

e) $\{\begin{cases} x - 2 \sqrt{2} y = \sqrt{5} \\ \sqrt{2} x + y = 1 - \sqrt{10} \end{cases}$

f) $\{\begin{cases} (\sqrt{2} - 1) x - y = \sqrt{2} \\ x + (\sqrt{2} + 1) y = 1 \end{cases}$

Bài 8: Xác định a và b để đồ thị của hàm số $y = a x + b$ đi qua hai điểm A và B trong mỗi trường hợp sau:

a) $A (2; 1)$ , $B (1; 2)$

b) $A (1; 3)$ , $B (3; 2)$

c) $A (1; - 3)$ , $B (2; 3)$

d) $A (- 1; 1)$ , $B (2; 3)$

e) $A (2; - 2)$ , $B (- 1; - 2)$

f) $A (1; 0)$ , $B (1; - 6)$

Bài 9: Chứng tỏ rằng khi m thay đổi, các đường thẳng có phương trình sau luôn đi qua một điểm cố định:

a) $(- 5 m + 4) x + (3 m - 2) y + 3 m - 4 = 0$

b) $(2 m^{2} + m + 4) x - (m^{2} - m - 1) y$ $- 5 m^{2} - 4 m - 13 = 0$

Bài 10. (Đề thi vào lớp 10 môn Toán tỉnh Bình Dương năm 2017)

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} 2 x - y = 5 \\ x + 5 y = - 3 \end{cases}$

Tính $P = {(x + y)}^{2017}$ với x, y vừa tính được

Bài 11: (Đề thi vào lớp 10 môn Toán tỉnh Nam Định, năm 2017)

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} 2 x + 3 y = x y + 5 \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y + 1} = 1 \end{cases}$

Bài 12 :(Đề thi vào lớp 10 mônToán tỉnh Tây Ninh, năm 2017)

Tìm a và b biết hệ phương trình $\{\begin{cases} a x + y = 1 \\ a x + b y = - 5 \end{cases}$ có một nghiệm là $(2; - 3)$

Bài 13: (Đề thi vào lớp 10 Chuyên tin Thủ đô Hà Nội, năm 2017)

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} x + y + x y = 3 \\ \sqrt{x} + \sqrt{y} = 2 \end{cases}$

Bài 14: Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} \frac{3 x}{x - 1} - \frac{2}{y + 2} = 4 \\ \frac{2 x}{x - 1} + \frac{1}{y + 2} = 5 \end{cases}$

Bài 15: Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} \frac{x + 1}{x - 1} - \frac{3 y}{y + 2} = 7 \\ \frac{x}{x - 1} + \frac{5}{y + 2} = 4 \end{cases}$

Bài 16: Giải hệ phương trình: $\{\begin{cases} |x| + 4 |y| = 18 \\ 3 |x| + |y| = 10 \end{cases}$

Bài 17: (Đề thi vào lớp 10 Chuyên Hùng Vương, tỉnh Phú Thọ, năm 2016)

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} 2 x^{3} + x^{2} y + 2 x^{2} + x y + 6 = 0 \\ x^{2} + 3 x + y = 1 \end{cases}$

Bài 18: Giải và biện luận hệ phương trình sau: $\{\begin{cases} m x - y = 2 (1) \\ x - m y = m (2) \end{cases}$

Bài 19: Giải và biện luận hệ phương trình sau: $\{\begin{cases} m x + y = 3 m - 1 (1) \\ x + m y = m + 1 (2) \end{cases}$

Bài 20: Tìm a, b để hệ phương trình sau có nghiệm là: $(2; - 1)$

$\{\begin{cases} 2 a x - (a + 1) y = a - b \\ (a + 2) x + 3 b y = 2 a + 1 \end{cases}$

Bài 22: Cho hệ phương trình: $\{\begin{cases} x + m y = 1 \\ m x - 3 y = 2 \end{cases}$

a) Chứng minh rằng hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất với mọi m.

b) Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm $(1; 3)$

c) Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm $(x; y)$ thỏa mãn hệ thức: $x - 3 y = \frac{18}{m^{2} + 3} - 3$

Bài 23. Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} \frac{1}{x} - \frac{3}{y - 2} = 2 \\ \frac{2}{x} - \frac{1}{2 - y} = 11 \end{cases}$

(Thi HSG Toán lớp 9, tỉnh Vĩnh Long, năm học 2012 -2013)

Bài 24. Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} \frac{1}{x + y - 2} + \frac{2 + 2 y + 4}{x + 2 y} = 3 \\ \frac{x + y}{x + y - 2} - \frac{8}{x + 2 y} = 1 \end{cases}$

(Tuyển sinh lớp 10, Đại học sư phạm TP Hồ Chí Minh, 2012 - 2013)

Bài 25. Xác định hàm số $y = a x + b$ biết $f (x) + 2 . f (\frac{1}{x}) = x$ với $x \neq 0$

Bài 26. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm $A (- 1; 3); B (3; - 1); C (- 3; 5)$ . Chứng minh rằng ba điểm A, B, C thẳng hàng.

Bài 27. Giải hệ phương trình: $\{\begin{cases} \sqrt{\frac{2 x - 3}{y + 5}} + \sqrt{\frac{y + 5}{2 x - 3}} = 2 \\ 3 x + 2 y = 19 \end{cases}$

(Với $x > \frac{2}{3}; y > - 5$ )

(Thi học sinh giỏi toán 9, tỉnh Kiên Giang, năm học 2012 - 2013)

Bài 28. Giải hệ phương trình:

a) $\{\begin{cases} \frac{4}{x + y - 1} + \frac{5}{y - 2 x - 3} = \frac{5}{2} \\ \frac{3}{x + y - 1} - \frac{1}{y - 2 x - 3} = \frac{7}{5} \end{cases}$

b) $\{\begin{cases} \frac{5 x}{x + 1} + \frac{y}{y - 3} = 27 \\ \frac{2 x}{x + 1} - \frac{3 y}{y - 3} = 4 \end{cases}$

c) $\{\begin{cases} \frac{3}{x + 2} - \frac{y}{y + 1} = - 1 \\ \frac{x}{x + 2} + \frac{2}{y + 1} = - \frac{5}{3} \end{cases}$

Bài 29. Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} \frac{1}{x + 1} - \frac{2}{y + 2} = - 3 \\ \frac{3 x}{x + 1} + \frac{4 y}{y + 2} = 2 \end{cases}$

Bài 30. Trong mặt phẳng Oxy cho ba đường thẳng:

$(d_{1}) : 2 x - y + 3 = 0$

$(d_{2}) : 15 x + 3 y + 5 = 0$

$(d_{3}) : 3 m x - 3 y + 4 m + 15 = 0$

a) Tìm m để 3 đường thẳng chỉ có một điểm chung

b) Với giá trị m vừa tìm được hãy tính diện tích và chu vi tam giác tạo bởi $(d_{3})$ với các trục $O x; O y$ .

Bài 31. Xác định hàm số $f (x)$ biết: $f (x) + x . f (- x) = x + 1$

Bài 32. Cho hệ phương trình $\{\begin{cases} (a - 1) x - b y = 2 a - b - 2 \\ (c + 4) x + c y = 12 b - 4 a + 44 \end{cases}$

Tìm các số a, b, c để hệ phương trình có vô số nghiệm, trong đó có nghiệm $x = 1$ và $y = 3$

(Thi học sinh giỏi Toán 9, Tỉnh Hải Dương, năm học 2006 - 2007)

Bài 33. Cho $f (x) = x^{4} - a x^{2} + b$ . Tìm a và b để $f (x)$ chia hết cho $x^{2} - 3 x + 2$

Bài 34. Viết phương trình đường thẳng $(d)$ biết $(d)$ đi qua hai điểm:

a) $A (2; 3)$ và $B (1; 4)$

b) $A (3; - 6)$ và $B (- 2; 4)$

c) $A (4; - 2)$ và $B (- 1; 3)$

Bài 35. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Chứng minh rằng ba điểm A, B, C thẳng hàng trong trường hợp sau:

b) $A (1; 1); B (0; - 1); C (2; 3)$

c) $A (2; 0); B (4; - 1); C (- 2; 2)$

Các dạng bài tập Toán 9

Bài tập giải hệ phương trình (chọn từ đề thi học sinh giỏi, đề ôn thi vào lớp 10)

Xem thêm các chương trình khác: