Cách xác định hệ số góc của đường thẳng y=ax+b

234 lượt xem

XÁC ĐỊNH HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG y=ax+b

A. Phương pháp giải

Đường thẳng d có phương trình y=ax+b $(a \neq 0)$ có hệ số góc là a.

Khi a > 0, góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox là góc nhọn và nếu a càng lớn thì góc đó càng lớn nhưng vẫn nhỏ hơn 90°.

Khi a < 0 góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox là góc tù và nếu a càng lớn thì góc đó càng lớn nhưng vẫn nhỏ hơn 180°.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hàm số y = x + 2. Tính góc tạo bởi đường thẳng y = x + 2 với trục Ox (làm tròn đến phút)

Hướng dẫn giải:

Vẽ đồ thị hàm số y = x + 2

Cho x = 0 thì y = 2 ta được điểm A (0; 2)

Cho y = 0 thì x = -2 ta được điểm B (-2; 0).

Đồ thị hàm số đã cho đi qua hai điểm A(0; 2); B(-2; 0).

Ảnh đính kèm

Gọi góc tạo bởi đường thẳng y = x + 2 với trục Ox là α, ta có ∠ABO = α. Xét tam giác vuông OAB , ta có $\tan α = \frac{O A}{O B} = \frac{2}{2} = 1$ (1 chính là hệ số góc của đường thẳng y = x + 2)

Khi đó số đo góc α là α = 45°

Ví dụ 2: Cho đồ thị hai hàm số y = x +100 và y = 3x + 1. Gọi α ;β lần lượt là góc tạo bởi hai đường thẳng đã cho với trục Ox.

Hướng dẫn giải

Hai đường thẳng y = x + 100 và y = 3x + 1 có hệ số góc lần lượt là a = 1 > 0 và a’ = 3 > 0

Suy ra: góc tạo bởi mỗi đường thẳng và trục Ox là góc nhọn.

Lại có: 1 < 3 nên α < β

Vậy α < β < 90°.

Ví dụ 3: Cho (d): y = ax + b . Tìm a, b biết (d) đi qua gốc tọa độ và song song với (d') trong đó (d') có hệ số góc bằng 1.

Hướng dẫn giải:

Theo đầu bài, (d) đi qua gốc tọa độ nên ta có b = 0

Vì (d) song song với (d') và (d') có hệ số góc bằng 1 nên a = 1

Vậy a = 1, b = 0.

C. Bài tập tự luyện

Bài 1: Cho đường thẳng d: y = ax + b (a ≠ 0) . Hệ số góc của đường thẳng d là:

Hướng dẫn giải

Hệ số góc của d: y = ax + b là a.

Bài 2: Cho đường thẳng d: y = ax + b (a > 0) . Gọi α là góc tạo bởi tia Ox và d . Khẳng định nào dưới đây là đúng:

A. a = -tanα

B. a= (180° - α)

C. a = tanα

D. a = -tan(180° - α)

Hướng dẫn giải

Đáp án C

Cho đường thẳng d có phương trình y = ax + b (a ≠ 0).

Gọi α là góc tạo bởi tia Ox và d . Ta có: a = tanα.

Bài 3: Cho đồ thị hàm số y = (100 – 2m)x + 30. Biết rằng đường thẳng trên tạo với trục Ox một góc nhọn. Tìm m?

Hướng dẫn giải

Vì đường thẳng trên tạo với trục Ox một góc nhọn nên:

100 – 2m > 0 ⇔ -2m > -100 ⇔ m < 50

Vậy m<50 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài 4: Cho đường thẳng d: y = (m + 2)x - 5 đi qua điểm có A(-1; 2). Hệ số góc của đường thẳng d là:

Hướng dẫn giải

Thay x=-1 và y=2 vào đồ thị hàm số đã cho ta được:

$2 = (m + 2) . (- 1) - 5$ . $\Leftrightarrow 2 = - m - 2 - 5$ $\Leftrightarrow m = - 9$

Do đó hệ số góc của đường thẳng d là: a=-9+2=-7.

Vậy hệ số góc a=-7.

Bài 5: Tính hệ số góc của đường thẳng d: y = (2m - 4)x + 5 biết nó song song với đường thẳng d': 2x - y - 3 = 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án D

Ta có hệ số góc của đường thẳng d là: a=2m-4.

Hệ số góc của đường thẳng d’: a’=2.

Vì d//d’ nên suy ra a=a’ $\Leftrightarrow 2 m - 4 = 2$ .

Vậy hệ số góc của đường thẳng d là 2.

Bài 6: Cho hàm số bậc nhất y = (2m + 1)x + m – 2. Tìm m biết rằng góc tạo bởi đường thẳng và trục Ox bằng 45°.

Hướng dẫn giải

Gọi góc giữa đường thẳng d và trục Ox là $α$ . Khi đó, ta có:

$\tan α = 2 m + 1$ $\Leftrightarrow \tan 45 ° = 2 m + 1$ $\Leftrightarrow 1 = 2 m + 1$ $\Leftrightarrow m = 0$ .

Vậy với m=0 thì góc tạo bởi đường thẳng và trục Ox bằng 45°.

Bài 7: Cho hai đường thẳng (d): y = 2x + 10 và (d’): y = (3 - m)x + 4. Biết rằng hai đường thẳng trên tạo với trục Ox các góc bằng nhau. Tìm m?

Hướng dẫn giải

Gọi góc giữa đường thẳng d và trục Ox là $α$ và góc giữa đường thẳng d’ và trục Ox là $β$ .

Ta có: $\tan α = 2$ và $\tan β = 3 - m$

Mà $α = β$ $\Rightarrow \tan α = \tan β$ $\Leftrightarrow 2 = 3 - m$ $\Leftrightarrow m = 1$ .

Vậy với m=1 thì hai đường thẳng trên tạo với trục Ox các góc bằng nhau.

Bài 8: Khoanh tròn chữ cái trước câu trả lời đúng

Gọi α và β lần lượt là góc tạo bởi đường thẳng (d): y = - 2x + 1 và (d’): y = - 5x + 2 với trục Ox. Khẳng định nào sau đây là đúng:

A. 90° < β < α

B. 90° < α < β

C. α < β < 90°

D. β < α < 90°

Hướng dẫn giải

Đáp án A

Ta có hệ số góc của đường thẳng d là: a=-2<0 thì hệ số góc của đường thẳng d và trục Ox là góc tù $\Rightarrow α > 90 °$ .

Ta có hệ số góc của đường thẳng d’ là: a’=-5<0 thì hệ số góc của đường thẳng d’ và trục Ox là góc tù $\Rightarrow β > 90 °$ .

Vì a>a’ nên $α > β$ .

Suy ra 90° < β < α.

Vậy 90° < β < α.

Bài 9: Đường thẳng y = (a - 1)x + 6 tạo với trục hoành một góc tù. Khẳng định nào sau đây là đúng:

A. a > 0

B. a < 0

C. a < 1

D. a > 1

Hướng dẫn giải

Đáp án C

Để đường thẳng đã cho tạo với trục hoành một góc tù thì :

a - 1 < 0 ⇔ a < 1.

Vậy a<1 thì đường thẳng y = (a - 1)x + 6 tạo với trục hoành một góc tù.

Bài 10: Cho hai đồ thị hàm số (d): $y = \frac{1}{2} x + 2$ và (d’): y=-x+2. Gọi giao điểm của (d) và (d’) với trục hoành theo thứ tự A, B và gọi giao điểm của hai đường thẳng đó là C. Tính góc ACB.

Hướng dẫn giải

+ Gọi $α$ là góc giữa đường thẳng (d) và trục Ox.

Ta có hệ số góc của đường thẳng (d) là $a = \frac{1}{2}$

$\Rightarrow \tan α = \frac{1}{2}$ $\Rightarrow α \approx 26, 57 °$

Suy ra góc giữa đường thẳng (d) và trục Ox là $26, 57 °$ .

Hay $\hat{CAB} = 26, 57 °$ .

+ Gọi $β$ là góc giữa đường thẳng (d’) và trục Ox.

Ta có hệ số góc của đường thẳng (d’) là a’=-1

$\Rightarrow \tan β = - 1$ $\Rightarrow β \approx 135 °$

Suy ra góc giữa đường thẳng (d’) và trục Ox là $135 °$ .

Hay $\hat{CBA} = 135 °$ .

+ Xét tam giác ABC, ta có:

$\begin{array}{l} \hat{ACB} + \hat{ABC} + \hat{CAB} = 180 ° \\ \Leftrightarrow \hat{ACB} = 180 ° - (\hat{ABC} + \hat{CAB}) \\ \Leftrightarrow \hat{ACB} = 180 ° - (26, 57 ° + 135 °) \\ \Leftrightarrow \hat{ACB} = 18, 43 ° . \end{array}$

Các dạng bài tập Toán 9

Cách xác định hệ số góc của đường thẳng y=ax+b

Xem thêm các chương trình khác: