Phương pháp giải bài toán bằng cách lập phương trình dạng làm chung làm riêng

301 lượt xem

GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH

DẠNG TOÁN LÀM CHUNG LÀM RIÊNG

A. Phương pháp giải

Bước 1: Lập hệ phương trình (hoặc phương trình):

+ Chọn hai ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho chúng.

+ Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết.

+ Lập hai phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2: Giải hệ hai phương trình (hoặc phương trình) nói trên.

Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thích hợp với bài toán (thỏa mãn điều kiện ở bước 1) và kết luận.

Lưu ý: Sử dụng các kiến thức liên quan đến năng suất, thời gian, năng suất làm việc trong 1 giờ,…

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Để hoàn thành một công việc, hai tổ phải làm chung trong 6h. Sau 2h làm chung thì tổ hai bị điều đi làm việc khác, tổ một đã hoàn thành nốt công việc còn lại trong 10h. Hỏi nếu mỗi tổ làm riêng thì sau bao lâu sẽ hoàn thành công việc.

Hướng dẫn giải

Gọi thời gian người thứ nhất làm một mình xong công việc là x giờ; đk x > 0

Gọi thời gian người thứ hai làm một mình xong công việc là y giờ; đk y > 0

Sau 1h tổ một làm được: $\frac{1}{x}$ (phần công việc)

Sau 1h tổ hai làm được: $\frac{1}{y}$ (phần công việc)

Sau 1h, hai tổ cùng làm được: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ (phần công việc)

Sau 6h, hai tổ hoàn thành công việc, nên ta có phương trình: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6}$ (1)

Sau 2 h làm chung, hai tổ làm được: $\frac{2}{x} + \frac{2}{y}$ (phần công việc)

Trong 10h, tổ một hoàn thành được: $\frac{10}{x}$ (phần công việc)

Do đó, ta có phương trình: $\frac{2}{x} + \frac{2}{y} + \frac{10}{x} = 1$

Theo bài ra ta có HPT:

$\{\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6} \\ \frac{2}{x} + \frac{2}{y} + \frac{10}{x} = 1 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6} \\ \frac{12}{x} + \frac{2}{y} = 1 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} \frac{2}{x} + \frac{2}{y} = \frac{1}{3} \\ \frac{12}{x} + \frac{2}{y} = 1 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} \frac{10}{x} = \frac{2}{3} \\ \frac{12}{x} + \frac{2}{y} = 1 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} \frac{1}{x} = \frac{1}{15} \\ \frac{1}{y} = \frac{1}{10} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 15 \\ y = 10 \end{cases}$ (thỏa mãn)

Vậy tổ một làm một mình xong công việc là 15h, tổ hai làm một mình xong công việc là 10 giờ.

Ví dụ 2: Hai người cùng làm chung một công việc trong $\frac{12}{5}$ giờ thì xong. Nếu mỗi người làm một mình thì người thứ nhất hoàn thành công việc ít hơn người thứ hai là 2 giờ. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu thời gian để xong công việc?

Hướng dẫn giải

Gọi thời gian người thứ nhất làm một mình xong công việc là x giờ (đk $x > 0, x > 12 / 5$ )

Gọi thời gian người thứ hai làm một mình xong công việc là y giờ (đk $y > 0, y > 12 / 5$ )

Trong một giờ người thứ nhất làm được là: $\frac{1}{x}$ (công việc)

Trong một giờ người thứ hai làm được là: $\frac{1}{y}$ (công việc)

Trong một giờ cả hai người làm được là: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{12}$ (công việc) (1)

Người thứ nhất làm ít hơn người thứ hai là 2 giờ, ta có: $y - x = 2$ (2)

Từ (1) và (2), ta có HPT:

$\{\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{12} \\ y - x = 2 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 2} = \frac{5}{12} (3) \\ y = x + 2 (4) \end{cases}$

Xét phương trình (3), ta có:

$\frac{x + 2}{x (x + 2)} + \frac{x}{x (x + 2)} = \frac{5}{12}$

$\Leftrightarrow 12 (x + 2) + 12 x = 5 x (x + 2)$

$\Leftrightarrow 5 x^{2} - 14 x - 24 = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 4 (t / m) \\ x = - \frac{6}{5} (loa i) \end{array}$

Thế x=4 vào phương trình (4), ta được: y = 4+2 = 6 (thỏa mãn)

Vậy người thứ nhất làm một mình xong công việc hết 4 (giờ), người thứ hai làm một mình xong công việc hết 6 (giờ).

Ví dụ 3: Hai người cùng làm một công việc trong 7h 12 phút thì xong công việc nếu người thứ 1 làm trong 4h người thứ 2 làm trong 3h thì được 50% công việc. Hỏi mỗi người làm một mình trong mấy giờ thì xong.

Hướng dẫn giải

Đổi 7h 12 phút = $\frac{36}{5}$ h; 50% (công việc) = $\frac{1}{2}$ (công việc)

Gọi thời gian người thứ 1 làm 1 mình xong công việc là x (h), đk x > 0; gọi thời gian người thứ 2 làm một mình xong việc là y (h), đk y > 0.

Sau 1h, người 1 làm được $\frac{1}{x}$ (công việc); người 2 làm được $\frac{1}{y}$ (công việc).

Trong 1 giờ cả 2 người làm được là $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{36}$ (1)

Người 1 làm trong 4h được: $\frac{4}{x}$ (công việc); người thứ 2 làm trong 3h được $\frac{3}{y}$ (công việc).

Trong 4h người thứ 1 và trong 3h người thứ 2 làm được là

$\frac{4}{x} + \frac{3}{y} = \frac{1}{2}$ (2)

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình

$\{\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{36} \\ \frac{4}{x} + \frac{3}{y} = \frac{1}{2} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} \frac{3}{x} + \frac{3}{y} = \frac{5}{12} \\ \frac{4}{x} + \frac{3}{y} = \frac{1}{2} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} \frac{1}{x} = \frac{1}{12} \\ \frac{4}{x} + \frac{3}{y} = \frac{1}{2} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} \frac{1}{x} = \frac{1}{12} \\ 4 . \frac{1}{12} + \frac{3}{y} = \frac{1}{2} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 12 \\ \frac{1}{y} = \frac{1}{18} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 12 \\ y = 18 \end{cases}$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy người 1 làm một mình trong 12 h thì hoàn thành công việc; người 2 làm một mình trong 18h thì hoàn thành công việc.

C. Bài tập tự luyện

Bài 1: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể sau 4 giờ 48 phút thì đầy bể. Nếu vòi I chảy trong 4 giờ, vòi II chảy trong 3 giờ thì cả hai vòi chảy được $\frac{3}{4}$ bể. Tính thời gian để mỗi vòi chảy riêng một mình đầy bể.

Bài 2: Để hoàn thành một công việc, hai tổ phải làm chung trong 6 giờ. Sau 2 giờ làm chung thì tổ II được điều đi làm việc khác, tổ I đã hoàn thành công việc còn lại trong 10 giờ. Hỏi nếu mỗi tổ làm riêng thì sau bao lâu sẽ xong công việc đó.

Bài 3: Hai lớp 9A và 9B cùng tham gia lao động vệ sinh sân trường thì công việc được hoàn thành sau 1 giờ 20 phút. Nếu mỗi lớp chia nhau làm nửa công việc thì thời gian hoàn tất là 3 giờ. Hỏi nếu mỗi lớp làm một mình thì phải mất bao nhiêu thời gian.

Bài 4: Hai vòi nước cùng chảy vào 1 cái bể cạn sau 4h 48 phút thì đầy bể nếu mở vòi thứ 1 trong 9h sau đó mở vòi thứ 2 6/5h nữa thì đầy bể. Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình trong bao nhiêu lâu thì đầy bể.

Bài 5: Hai máy ủi trong 12h thì san lấp được 1/10 khu đất. Nếu máy ủi thứ 1 làm một mình trong 42h rồi nghỉ sau đó máy ủi thứ 2 làm một mình trong 22h thì cả 2 máy ủi san lấp được 25% khu đất đó. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi máy ủi san lấp xong khu đất trong bao nhiêu lâu?

Bài 6: Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể trong 3h 45 phút thì đầy bể. Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình trong bao nhiêu lâu thì đầy bể? Biết rằng vòi thứ hai chảy lâu hơn vòi thứ 1 4h.

Bài 7: Hai người cùng làm chung một công việc hết 6h. Nếu là riêng mỗi người làm nửa công việc thì tổng số giờ làm là 12h 30 phút. Hỏi nếu mỗi người làm một mình xong cả công việc thì mất bao nhiêu giờ?

Bài 8: Ở một nông trường, có 2 máy cày cùng cày chung 1 thửa ruộng sau 2h thì xong. Nếu mỗi máy cày riêng thửa ruộng đó thì máy thứ 1 cày xong trước máy thứ 2 là 3h. Tính thời gian mỗi máy cày riêng để xong thửa ruộng đó?

Bài 9: Hai đội công nhân cùng làm một công việc trong 3h 36 phút thì xong. Hỏi nếu mỗi đội làm một mình thì phải làm mất bao nhiêu lâu mới xong công việc. Biết rằng thời gian đội 1 làm ít hơn thời gian đội 2 là 3h?

Bài 10: Hai đội công nhân cùng làm một công việc trong 4h thì xong. Nếu mỗi đội làm 1 mình thì để xong công việc thì đội 1 làm ít hơn đội 2 là 6h. Hỏi mỗi đội làm một mình xong công việc ấy hết bao nhiêu giờ?

Các dạng bài tập Toán 9

Phương pháp giải bài toán bằng cách lập phương trình dạng làm chung làm riêng

Xem thêm các chương trình khác: