Bài tập hệ thức Vi-ét và ứng dụng nâng cao có lời giải chi tiết

580 lượt xem

Bài trước

Bài sau

HỆ THỨC VI-ÉT

A. Kiến thức cần nhớ

1. Hệ thức Vi-ét

Nếu $x_{1}; x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ thì:

$\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = \frac{- b}{a} \\ x_{1} . x_{2} = \frac{c}{a} \end{cases}$

Nếu phương trình $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ có $a + b + c = 0$ thì phương trình có một nghiệm là $x_{1} = 1$ , còn nghiệm kia là $x_{2} = \frac{c}{a}$

Nếu phương trình $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ có $a - b + c = 0$ thì phương trình có một nghiệm là $x_{1} = - 1$ , còn nghiệm kia là $x_{2} = - \frac{c}{a}$

2. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng

Nếu hai số đó có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình $x^{2} - S x + P = 0$

Điều kiện để có hai số đó là: $S^{2} - 4 P \geq 0 (Δ \geq 0)$

1. Phương trình vô nghiệm $\Leftrightarrow \{\begin{cases} a = b = 0 \\ c \neq 0 \end{cases}$ hoặc $\{\begin{cases} a \neq 0 \\ Δ < 0 \end{cases}$

2. Phương trình có nghiệm kép $\Leftrightarrow \{\begin{cases} a \neq 0 \\ Δ = 0 \end{cases}$

3. Phương trình có 2 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \{\begin{cases} a \neq 0 \\ Δ > 0 \end{cases}$

4. Phương trình có 2 nghiệm cùng dấu $\Leftrightarrow a . c < 0$

5. Phương trình có 2 nghiệm cùng dấu $\Leftrightarrow \{\begin{cases} a \neq 0 \\ Δ \geq 0 \\ P > 0 \end{cases}$

6. Phương trình có 2 nghiệm dương $\Leftrightarrow \{\begin{cases} a \neq 0 \\ Δ \geq 0 \\ P > 0 \\ S > 0 \end{cases}$

7. Phương trình có 2 nghiệm phân biệt dương $\Leftrightarrow \{\begin{cases} a \neq 0 \\ Δ > 0 \\ P > 0 \\ S > 0 \end{cases}$

8. Phương trình có 2 nghiệm âm $\Leftrightarrow \{\begin{cases} a \neq 0 \\ Δ \geq 0 \\ P > 0 \\ S < 0 \end{cases}$

9. Phương trình có 2 nghiệm phân biệt dương $\Leftrightarrow \{\begin{cases} a \neq 0 \\ Δ > 0 \\ P > 0 \\ S < 0 \end{cases}$

10. Phương trình có 2 nghiệm đối nhau $\Leftrightarrow \{\begin{cases} a \neq 0 \\ Δ \geq 0 \\ P > 0 \\ S = 0 \end{cases}$

11. Phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa $x_{1} < α < x_{2} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a \neq 0 \\ Δ > 0 \\ a . f (α) < 0 \end{cases}$

12. Phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa $α < x_{1} < x_{2} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a \neq 0 \\ Δ > 0 \\ a . f (α) > 0 \\ \frac{S}{2} > α \end{cases}$

13. Phương trình có 2 nghiệm phân biệt thoả $x_{1} < x_{2} < α \Leftrightarrow \{\begin{cases} a \neq 0 \\ Δ > 0 \\ a . f (α) > 0 \\ \frac{S}{2} < α \end{cases}$

4) Các biểu thức thường gặp trong việc giải toán phương trình bậc hai chứa tham số $(Δ \geq 0)$ :

• ${x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} = {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{1} x_{2} = S^{2} - 2 p$

• ${(x_{1} - x_{2})}^{2} = {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 4 x_{1} x_{2} = S^{2} - 4 p$

• ${x_{1}}^{3} + {x_{2}}^{3} = {(x_{1} + x_{2})}^{3} - 3 x_{1} x_{2} (x_{1} + x_{2})$ $= S^{3} - 3 S p$

• ${x_{1}}^{4} + {x_{2}}^{4} = {({x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2})}^{2} - 2 {x_{1}}^{2} {x_{2}}^{2}$ $= {(S^{2} - 2 p)}^{2} - 2 p^{2}$

• $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = \frac{x_{1} + x_{2}}{x_{1} x_{2}} = \frac{S}{p}$

• $\frac{x_{1}}{x_{2}} + \frac{x_{2}}{x_{1}} = \frac{{x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2}}{x_{1} x_{2}} = \frac{S^{2} - 2 p}{p}$

B. Một số ví dụ

Ví dụ 1: Cho phương trình $m x^{2} + 2 (m - 2) x + m - 3 = 0$ ( là ẩn số).

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương.

(Thi học sinh giỏi Toán 9, TP Hồ Chí Minh năm học 2011 – 2012)

Giải

Tìm cách giải. Những bài toán liên quan đến dấu của nghiệm phương trình bậc hai bao giờ cũng liên quan đến công thức nghiệm và hệ thức Vi-ét. Cụ thể là:

Phương trình có hai nghiệm trái dấu gồm: Phương trình có nghiệm ( $Δ \geq 0$ ) và $x_{1} x_{2} < 0 \Leftrightarrow \frac{c}{a} < 0$ thì điều kiện nghiệm chung là: $a c < 0$

Phương trình có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương gồm: Phương trình có hai nghiệm trái dấu ( $a c < 0$ ) và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương ( $x_{1} + x_{2} < 0$ )

Trình bày lời giải

a) Phương trình có hai nghiệm trái dấu

$\Leftrightarrow a c < 0 \Leftrightarrow m (m - 3) < 0 \Leftrightarrow 0 < m < 3$

b) Phương trình có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có gái trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} a c < 0 \\ x_{1} + x_{2} < 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 0 < m < 3 \\ \frac{- 2 (m - 2)}{m} < 0 \end{cases} \Leftrightarrow 2 < m < 3$ .

Vậy với $2 < m < 3$ thì phương trình có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương.

Ví dụ 2: Cho phương trình: $2 x^{2} + (m - 1) x - m - 1 = 0$ (m là tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm là số đo 2 cạnh của một tam giác vuong có độ dài đường cao kẻ từ đỉnh góc vuông là $\frac{4}{5}$ (đơn vị độ dài).

Giải

Tìm cách giải. Bản chất của bài toán gồm 2 bước:

Bước 1. Phương trình có hai nghiệm $x_{1}; x_{2}$ dương $\Leftrightarrow \{\begin{cases} Δ \geq 0 \\ x_{1} + x_{2} > 0 \\ x_{1} x_{2} > 0 \end{cases}$

Ÿ Bước 2. Hai nghiệm $x_{1}; x_{2}$ là số đo 2 cạnh của một tam giác vuông có độ dài đường cao kẻ từ đỉnh góc vuông là $\frac{4}{5}$ (đơn vị độ dài) thì thỏa mãn:

$\frac{1}{x_{1}^{2}} + \frac{1}{x_{2}^{2}} = \frac{1}{h^{2}}$

Trình bày lời giải

Xét $Δ = {(m - 1)}^{2} + 4.2 . (m + 1) = m^{2} - 2 m + 1 + 8 m + 8 = {(m + 3)}^{2} \geq 0$

Phương trình luôn có hai nghiệm

Để hai nghiệm là số đo hai cạnh của tam giác $\Leftrightarrow$ phương trình có hai nghiệm dương

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{1} + x_{2} > 0 \\ x_{1} x_{2} > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} - \frac{(m - 1)}{2} > 0 \\ \frac{- m - 1}{2} > 0 \end{cases} \Leftrightarrow m < - 1$ .

Hai nghiệm là số đo 2 cạnh của một tam giác vuông có độ dài đường cao kẻ từ đỉnh góc vuông là $\frac{4}{5}$ (đơn vị độ dài)

$\Leftrightarrow \frac{1}{x_{1}^{2}} + \frac{1}{x_{2}^{2}} = \frac{25}{16} \Leftrightarrow \frac{{(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{1} x_{2}}{x_{1}^{2} x_{2}^{2}} = \frac{25}{16} \Leftrightarrow \frac{{(m - 1)}^{2} + 4 m + 4}{{(m + 1)}^{2}} = \frac{25}{16}$

$\Leftrightarrow 9 m^{2} + 18 m - 55 = 0$ . Giải ra, ta được: $m_{1} = - \frac{11}{3}; m_{2} = \frac{5}{3}$ .

Kết hợp điều kiện, ta được $m_{1} = - \frac{11}{3}$ thỏa mãn

Ví dụ 3: Cho phương trình $x^{2} - 3 m x - m = 0$ (m là tham số khác 0) có hai nghiệm phân biệt $x_{1}; x_{2}$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của:

$A = \frac{m^{2}}{x_{2}^{2} + 3 m x_{1} + 3 m} + \frac{x_{1}^{2} + 3 m x_{2} + 3 m}{m^{2}}$

(Thi học sinh giỏi Toán 9, tỉnh Hưng Yên, năm học 2011 -2012)

Giải

Phương trình có hai nghiệm phâm biệt khi $9 m^{2} + 4 m > 0$ hay $m (9 m + 4) > 0$

$\Leftrightarrow m > 0$ hoặc $m < - \frac{4}{9}$ (*)

Theo Vi-ét: $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 3 m \\ x_{1} x_{2} = - m \end{cases}$

Ta có:

$\frac{m^{2}}{x_{2}^{2} + 3 m x_{1} + 3 m} = \frac{m^{2}}{x_{2}^{2} + (x_{1} + x_{2}) x_{1} - 3 x_{1} x_{2}} = \frac{m^{2}}{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - 2 x_{1} x_{2}}$ $= \frac{m^{2}}{{(x_{1} - x_{2})}^{2}} > 0$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương: $A = \frac{m^{2}}{{(x_{1} - x_{2})}^{2}} + \frac{{(x_{1} - x_{2})}^{2}}{m^{2}} \geq 2$

Vậy $A_{\min} = 2 \Leftrightarrow \frac{m^{2}}{{(x_{1} - x_{2})}^{2}} \frac{{(x_{1} - x_{2})}^{2}}{m^{2}}$ $\Leftrightarrow m^{4} = {(x_{1} - x_{2})}^{4}$

$\Leftrightarrow m^{2} = {(x_{1} - x_{2})}^{2} \Leftrightarrow x_{1}^{2} x_{2}^{2} = {(x_{1} - x_{2})}^{2}$

$\Leftrightarrow x_{1}^{2} x_{2}^{2} = {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 4 x_{1} x_{2}$

$\Leftrightarrow x_{1} x_{2} (x_{1} x_{2} + 4) = 9 m^{2} \Leftrightarrow - m (- m + 4) = 9 m^{2}$

$\Leftrightarrow 8 m^{2} + 4 m = 0 \Leftrightarrow 4 m (2 m + 1) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 0 (L) \\ m = - \frac{1}{2} \end{array}$

Vậy với $m = - \frac{1}{2}$ thì $A = 2$

Ví dụ 4: Cho phương trình $x^{2} - 6 x - m = 0$ (với m là tham số). Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm $x_{1}$ và $x_{2}$ thỏa mãn: $x_{1}^{2} - x_{2}^{2} = 12$

(Thi học sinh giỏi Toán 9, Tình Phú Thọ năm học 2012 – 2013)

Giải

$Δ = 36 + 4 m > 0 \Leftrightarrow 4 m > - 36 \Leftrightarrow m > - 9$

* Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 6 \\ x_{1} x_{2} = - m \end{cases}$

* Ta có: $x_{1}^{2} - x_{2}^{2} = (x_{1} + x_{2}) (x_{1} - x_{2}) = 12 \Rightarrow x_{1} - x_{2} = 2$

Suy ra: $x_{1} = 4; x_{2} = 2$

Từ đó suy ra: $m = - 4.2 = - 8$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy với $m = - 8$ thì phương trình có hai nghiệm $x_{1}$ và $x_{2}$ thỏa mãn $x_{1}^{2} - x_{2}^{2} = 12$

Ví dụ 5: Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phương trình $x^{4} - 4 x^{3} + 8 x + m = 0$ có đúng 4 nghiệm phân biệt.

(Thi học sinh giỏi Toán 9, Tỉnh Thanh Hóa năm học 2012 – 2013)

Giải

Cách 1. Ta có $x^{4} - 4 x^{3} + 8 x + m = 0$ (1)

$\Leftrightarrow {(x - 1)}^{4} - 6 {(x - 1)}^{2} + m + 5 = 0$

Đặt $y = {(x - 1)}^{2}, y \geq 0$ phương trình có dạng: $y^{2} - 6 y + m + 5 = 0$ (2)

Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow$ Phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt

. $\Leftrightarrow \{\begin{cases} Δ' > 0 \\ S > 0 \\ P > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 9 - (m + 5) > 0 \\ 6 > 0 \\ m + 5 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 4 - m > 0 \\ m > - 5 \end{cases} \Leftrightarrow - 5 < m < 4$ .

Cách 2. Ta có $x^{4} - 4 x^{3} + 8 x + m = 0$ (1)

$\Leftrightarrow {(x^{2} - 2 x)}^{2} - 4 (x^{2} - 2 x) + m = 0$

Đặt $y = x^{2} - 2 x$ phương trình có dạng: $y^{2} - 4 y + m = 0$ (3)

Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow$ phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt lớn hơn -1

$\{\begin{cases} Δ' > 0 \\ (x_{1} + 1) (x_{2} + 1) > 0 \\ \frac{x_{1} + x_{2}}{2} > - 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 4 - m > 0 \\ x_{1} x_{2} + x_{1} + x_{2} + 1 > 0 \\ x_{1} + x_{2} > - 2 \end{cases}$

$\{\begin{cases} m < 4 \\ 4 + m + 1 > 0 \\ 4 > - 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m < 4 \\ m > - 5 \end{cases} \Leftrightarrow - 5 < m < 4$

Tài liệu đầy đủ quý Thầy/Cô và bạn đọc vui lòng chọn mục tải xuống để xem chi tiết.

Xem thêm các chương trình khác:

Bài trước

Bài sau

Các dạng bài tập Toán 9

Bài tập hệ thức Vi-ét và ứng dụng nâng cao có lời giải chi tiết

Xem thêm các chương trình khác: