Cách tìm điều kiện của tham số m để phương trình có nghiệm chi tiết nhất

273 lượt xem

BÀI TOÁN THAM SỐ ĐIỀU KIỆN NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

A. Phương pháp giải

1. Biện luận theo m sự có nghiệm của $a x^{2} + b x + c = 0$ (trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m)

Xét hệ số a: Có thể có 2 khả năng.

a. Trường hợp $a = 0$ với vài giá trị nào đó của m

Giả sử $a = 0 \leftrightarrow m = m_{0}$ ta có:

(*) trở thành phương trình bậc nhất $a x + c = 0 (* *)$

+ Nếu $b \neq 0$ với $m = m_{0}$ : (**) có một nghiệm $x = - c / b$

+ Nếu $b = 0$ và $c = 0$ với $m = m_{0}$ : (**) vô định ↔ (*) vô định

+ Nếu $b = 0$ và $c \neq 0$ với $m = m_{0}$ : (**) vô nghiệm ↔ (*) vô nghiệm

b. Trường hợp $a \neq 0$ . Tính Δ hoặc $Δ'$

+ Tính $Δ = b^{2} - 4 a c$

Nếu $Δ > 0$ : Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_{1} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}, x_{2} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}$

Nếu $Δ = 0$ : Phương trình có nghiệm kép:

$x_{1} = x_{2} = \frac{- b}{2 a}$

Nếu $Δ < 0$ : Phương trình vô nghiệm

+ Tính $Δ' = b'^{2} - a c$ với $b = 2 b'$

Nếu $Δ' > 0$ : Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_{1} = \frac{- b + \sqrt{Δ'}}{a}, x_{2} = \frac{- b - \sqrt{Δ'}}{a}$

Nếu $Δ' = 0$ : Phương trình có nghiệm kép:

$x_{1} = x_{2} = \frac{- b'}{a}$

Nếu $Δ' < 0$ : Phương trình vô nghiệm

2. Tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậc hai $a x^{2} + b x + c = 0$ (trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m) có nghiệm.

Có hai khả năng để phương trình bậc hai $a x^{2} + b x + c = 0$ có nghiệm:

+ Hoặc $a = 0, b \neq 0$

+ Hoặc $a \neq 0, Δ \geq 0$ hoặc $Δ' \geq 0$

Tập hợp các giá trị m là toàn bộ các giá trị m thoả mãn điều kiện 1 hoặc điều kiện 2.

3. Tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậc hai $a x^{2} + b x + c = 0$ (trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m) có 2 nghiệm phân biệt.

Điều kiện có hai nghiệm phân biệt

$\{\begin{cases} a \neq 0 \\ Δ > 0 \end{cases}$ hoặc $\{\begin{cases} a \neq 0 \\ Δ' > 0 \end{cases}$

4.Tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậc hai $a x^{2} + b x + c = 0$ (trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m) có 1 nghiệm.

CĐiều kiện có một nghiệm:

$\{\begin{cases} a = 0 \\ b \neq 0 \end{cases}$ hoặc $\{\begin{cases} a \neq 0 \\ Δ = 0 \end{cases}$ hoặc $\{\begin{cases} a \neq 0 \\ Δ' = 0 \end{cases}$

5. Tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậc hai $a x^{2} + b x + c = 0$ (trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m) có nghiệm kép.

Điều kiện có nghiệm kép:

$\{\begin{cases} a \neq 0 \\ Δ = 0 \end{cases}$ hoặc $\{\begin{cases} a \neq 0 \\ Δ' = 0 \end{cases}$

6. Tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậc hai $a x^{2} + b x + c = 0$ (trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m) vô nghiệm.

Điều kiện có một nghiệm:

$\{\begin{cases} a \neq 0 \\ Δ < 0 \end{cases}$ hoặc $\{\begin{cases} a \neq 0 \\ Δ' < 0 \end{cases}$

7.Tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậc hai $a x^{2} + b x + c = 0$ (trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m) có 1 nghiệm.

Điều kiện có một nghiệm:

$\{\begin{cases} a = 0 \\ b \neq 0 \end{cases}$ hoặc $\{\begin{cases} a \neq 0 \\ Δ = 0 \end{cases}$ hoặc $\{\begin{cases} a \neq 0 \\ Δ' = 0 \end{cases}$

8.Tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậc hai $a x^{2} + b x + c = 0$ (trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m) có hai nghiệm cùng dấu.

Điều kiện có hai nghiệm cùng dấu:

$\{\begin{cases} Δ \geq 0 \\ P = \frac{c}{a} > 0 \end{cases}$ hoặc $\{\begin{cases} Δ' \geq 0 \\ P = \frac{c}{a} > 0 \end{cases}$

9. Tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậc hai $a x^{2} + b x + c = 0$ (trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m) có 2 nghiệm dương

Điều kiện có hai nghiệm dương:

$\{\begin{cases} Δ \geq 0 \\ P = \frac{c}{a} > 0 \\ S = - \frac{b}{a} > 0 \end{cases}$ hoặc $\{\begin{cases} Δ' \geq 0 \\ P = \frac{c}{a} > 0 \\ S = - \frac{b}{a} > 0 \end{cases}$

10. Tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậc hai $a x^{2} + b x + c = 0$ (trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m) có 2 nghiệm âm

Điều kiện có hai nghiệm âm:

$\{\begin{cases} Δ \geq 0 \\ P = \frac{c}{a} > 0 \\ S = - \frac{b}{a} < 0 \end{cases}$ hoặc $\{\begin{cases} Δ' \geq 0 \\ P = \frac{c}{a} > 0 \\ S = - \frac{b}{a} < 0 \end{cases}$

11.Tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậc hai $a x^{2} + b x + c = 0$ (trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m) có 2 nghiệm trái dấu

Điều kiện có hai nghiệm trái dấu: $P < 0$ hoặc a và c trái dấu.

12. Tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậc hai $a x^{2} + b x + c = 0$ (trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m) có một nghiệm $x = x_{1}$

Cách giải:

Thay $x = x_{1}$ vào phương trình (*) ta có: $a x_{1}^{2} + b x_{1} + c = 0 \to m$

Thay giá trị của m vào (*) → x₁, x₂.

Hoặc $x_{2} = S - x_{1}$ hoặc $x_{2} = \frac{P}{x_{1}}$

13. Tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậc hai $a x^{2} + b x + c = 0$ (trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m) có hai nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn các điều kiện:

a. $α x_{1} + β x_{2} = γ$

b. $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = k$

c. $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = n$

d. $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} \geq h$

e. $x_{1}^{3} + x_{2}^{3} = t$

Điều kiện chung: $Δ \geq 0$ hoặc $Δ' \geq 0$ (*)

Theo định lí Viet ta có:

$\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = \frac{- b}{a} = S (1) \\ x_{1} . x_{2} = \frac{c}{a} = P (2) \end{cases}$

a. Trường hợp $α x_{1} + β x_{2} = γ$

Giải hệ $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = \frac{- b}{a} \\ α x_{1} + β x_{2} = γ \end{cases}$ $\to x_{1}, x_{2}$

Thay x₁, x₂ vào (2) → m

Chọn các giá trị của m thỏa mãn (*)

b. Trường hợp $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = k$ $\leftrightarrow {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{1} . x_{2} = k$

Thay $x_{1} + x_{2} = S = \frac{- b}{a}$ và $x_{1} . x_{2} = P = \frac{c}{a}$ vào ta có:

$S^{2} - 2 P = k \to$ Tìm được giá trị của m thỏa mãn (*)

c. Trường hợp $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = n$ $\leftrightarrow x_{1} + x_{2} = n x_{1} . x_{2}$ $\leftrightarrow - b = n c$

Giải phương trình $- b = n c$ tìm được m thỏa mãn (*)

d. Trường hợp $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} \geq h$ $\leftrightarrow S^{2} - 2 P - h \geq 0$

Giải bất phương trình $S^{2} - 2 P - h \geq 0$ chọn m thỏa mãn (*)

e. Trường hợp $x_{1}^{3} + x_{2}^{3} = t$ $\leftrightarrow S^{3} - 3 P S = t$

Giải phương trình $S^{3} - 3 P S = t$ chọn m thỏa mãn (*)

14. Tìm hai số u và v biết tổng $u + v = S$ và tích $u . v = P$ của chúng.

Ta có u và v là nghiệm của phương trình: $x^{2} - S x + P = 0 (*)$ (Điều kiện $S^{2} - 4 P \geq 0$ )

Giải phương trình (*) ta tìm được hai số u và v cần tìm.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình sau:

$(m - 1) x^{2} - 2 (m - 1) x - m = 0$

Hướng dẫn giải

*) $m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1$ , khi đó phương trình trở thành: -1=0( vô lý)

*) $m - 1 \neq 0 \Leftrightarrow m \neq 1$

Ta có: $Δ = {b'}^{2} - ac$ $= {(- (m - 1))}^{2} - (m - 1) . (- m)$ $\Leftrightarrow Δ = 2 m^{2} - m + 1$

+) Để phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi:

$Δ < 0 \Leftrightarrow 2 m^{2} - 3 m + 1 < 0$

$\Leftrightarrow (2 m - 1) (m - 1) < 0$ $\Leftrightarrow \frac{1}{2} < m < 1$

+) Để phương trình có nghiệm kép khi và chỉ khi:

$Δ = 0 \Leftrightarrow 2 m^{2} - 3 m + 1 = 0$ $\Leftrightarrow (2 m - 1) (m - 1) = 0$ $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = \frac{1}{2} (tm) \\ m = 1 (ktm) \end{array}$

Đối chiếu điều kiện $m = \frac{1}{2}$

+) Để phương trình hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:

$Δ > 0 \Leftrightarrow 2 m^{2} - 3 m + 1 > 0$ $\Leftrightarrow (2 m - 1) (m - 1) > 0$ $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} m < \frac{1}{2} \\ m > 1 \end{array}$

Vậy với $\frac{1}{2} < m < 1$ phương trình vô nghiệm; $m = \frac{1}{2}$ phương trình có nghiệm kép; $[\begin{array}{l} m < \frac{1}{2} \\ m > 1 \end{array}$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Ví dụ 2: Cho phương trình: $x^{2} - (m + 1) x + 2 m - 3 = 0$ $(1)$

a) Chứng minh rằng phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

b) Tìm giá trị của m để phương trình $(1)$ có nghiệm bằng 3.

Tài liệu đầy đủ quý Thầy/Cô và bạn đọc vui lòng chọn mục tải xuống để xem chi tiết.

Các dạng bài tập Toán 9

Cách tìm điều kiện của tham số m để phương trình có nghiệm chi tiết nhất

Xem thêm các chương trình khác: