Bài tập giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình cực hay, chi tiết (các bài toán liên quan)

227 lượt xem

GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH

BÀI TOÁN KHÁC

A. Phương pháp giải

Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

+ Bước 1: Chọn ẩn, đơn vị cho ẩn, điều kiện thích hợp cho ẩn

+ Bước 2: Biểu đạt các đại lượng khác theo ẩn

+ Bước 3: Dựa vào các dữ kiện của bài toán để lập phương trình hoặc hệ phương trình

+ Bước 4: Giải phương trình hoặc hệ phương trình

+ Bước 5: So sánh kết quả bài toán, tìm kết quả thích hợp và kết luận

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Một rạp hát có 300 chỗ ngồi. Nếu mỗi dãy ghế thêm 2 chỗ ngồi và bớt đi 3 dãy ghế thì rạp hát sẽ giảm đi 11 chỗ ngồi. Hãy tính xem trước khi có dự kiến sắp xếp trong rạp hát có mấy dãy ghế?

Hướng dẫn giải

Gọi số chỗ ngồi trong 1 dãy là x (chỗ)

Gọi số dãy ghế là y (dãy); (đk x, y thuộc N*)

Số chỗ ngồi ban đầu là $x . y = 300 (1)$

Mỗi dãy ghế thêm 2 chỗ: x+2 và bớt đi 3 dãy: y – 3 thì số chỗ ngồi giảm 11 chỗ, nghĩa là

$(x + 2) (y - 3) = 300 - 11 = 289 (2)$

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình:

$\{\begin{cases} x . y = 300 \\ (x + 2) (y - 3) = 289 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x . y = 300 \\ x y - 3 x + 2 y - 6 = 289 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x y = 300 \\ - 3 x + 2 y = - 5 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \frac{300}{y} (3) \\ - 3 x + 2 y = - 5 (4) \end{cases}$

Thế (3) vào (4), ta được:

$- 3 . \frac{300}{y} + 2 y = - 5$

$\Leftrightarrow 2 y^{2} + 5 y - 900 = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} y = 20 (T M) \\ y = - \frac{45}{2} (l o a i) \end{array}$

Với y = 20 thì x=15.

Vậy trước khi có dự kiến có 20 dãy ghế trong rạp.

Ví dụ 2: Có 45 người gồm bác sĩ và luật sư, tuổi trung bình của họ là 40. Tính số bác sĩ và luật sư, biết rằng tuổi trung bình của bác sĩ là 35 tuổi, trung bình của luật sư là 50.

Hướng dẫn giải

Gọi số bác sĩ là x (người) ; đk x thuộc N*

Gọi số luật sư là y (người) ; đk y thuộc N*

Ta có 45 người bác sĩ và luật sư nên: x + y = 45 (1)

Tuổi trung bình của bác sĩ là 35 tuổi, trung bình của luật sư là 50 và tuổi trung bình của họ là 40, khi đó:

$\frac{35 x + 50 y}{45} = 40$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ PT

$\{\begin{cases} x + y = 45 \\ \frac{35 x + 50 y}{45} = 40 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x + y = 45 \\ 35 x + 50 y = 1800 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x + y = 45 \\ 7 x + 10 y = 360 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 7 x + 7 y = 315 \\ 7 x + 10 y = 360 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x + y = 45 \\ 3 y = 45 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 30 \\ y = 15 \end{cases}$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy số bác sĩ là 30 người, số luật sư là 15 người.

Ví dụ 3: Hai trường THCS A và B có tất cả 250 học sinh dự thi vào trường trung học phổ thông Hoàng Mai. Biết rằng nếu có $\frac{2}{3}$ số học sinh dự thi của trường THCS A và $\frac{3}{5}$ số học sinh dự thi của trường THCS B trúng tuyển thì số HS trúng tuyển của trường A nhiều hơn số HS trúng tuyển của trường B là 2 HS. Tính số HS dự thi vào trường trung học phổ thông Hoàng Mai của trường THCS A và B.

Hướng dẫn giải

Gọi x là số HS dự thi của trường THCS A (đk: $0 < x < 250$ và $x \in N^{*}$ )

Gọi y là số HS dự thi của trường THCS B (đk: $0 < y < 250$ và $y \in N^{*}$ )

Vì số HS dự thi của cả hai trường THCS A và B là 250 (HS) nên ta có pt: $x + y = 250 (1)$

Số HS trúng tuyển của trường A là: $\frac{2}{3} x (H S)$

Số HS trúng tuyển của trường B là: $\frac{3}{5} y (H S)$

Vì số HS trúng tuyển của trường A nhiều hơn số HS trúng tuyển của trường B là 2 (HS) nên ta có pt:

$\frac{2}{3} x - \frac{3}{5} y = 2 (2)$

Từ (1) và (2) ta có hpt:

$(I) \{\begin{cases} x + y = 250 \\ \frac{2}{3} x - \frac{3}{5} y = 2 \end{cases}$

$(I) \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x + 2 y = 500 \\ 2 x - \frac{9}{5} y = 6 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} \frac{19}{5} y = 494 \\ x + y = 250 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} y = 130 \\ x = 120 \end{cases} (t m)$

Vậy: Số HS dự thi của trường THCS A là 120 HS

Số HS dự thi của trường THCS B là 130 HS

C. Bài tập tự luyện

Bài 1. Trong một phòng học có một số ghế dài. Nếu xếp mỗi ghế 5 người thì có 9 người không có chỗ ngồi. Nếu xếp mỗi ghế 6 người thì thừa một ghế. Hỏi trong phòng có bao nhiêu ghế và có bao nhiêu người dự họp.

Bài 2. Hai lớp 9A và 9B có tổng số 80 bạn. Trong đợt quyên góp sách, vở ủng hộ các bạn vùng bị thiên tai, bình quân mỗi bạn lơp 9A ủng hộ 2 quyển, mỗi bạn 9B ủng hộ 3 quyển. Vì vậy cả hai lớp ủng hộ 198 quyển sách, vở. Tính số học sinh mỗi lớp.

Bài 3: Trong một buổi lao động trồng cây, một tổ học sinh được giao nhiệm vụ trồng 56 cây. Vì có 1 bạn trong tổ được phân công làm việc khác nên để trồng đủ số cây được giao, mỗi bạn còn lại trong tổ đều trồng tăng thêm 1 cây với dự định lúc đầu. Hỏi tổ học có bao nhiêu bạn, biết số cây được phân cho mỗi bạn đều bằng nhau.

trong tổ là 8.

Bài 4: Hai anh Quang và Hùng góp vốn cùng kinh doanh, anh Quang góp 15 triệu đồng, anh Hùng góp 13 triệu đồng. Sau một thời gian được lãi 7 triệu đồng. Lãi được chia tỷ lệ với vốn góp. Hãy tính số tiền lãi mỗi người được hưởng.

Bài 5: Bảy năm trước tuổi mẹ bằng 5 lần tuổi con cộng thêm 4. Đến nay tuổi mẹ vừa đúng gấp 3 lần tuổi con. Hỏi năm nay mỗi người bao nhiêu tuổi?

Bài 6: Tuổi của ông An hơn An 56 tuổi, cách đây 5 năm tuổi của ông An gấp 8 lần tuổi An. Hỏi tuổi của An hiện nay bao nhiêu tuổi?

Bài 7: Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11. Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị tăng mẫu số lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số nghịch đảo của phân số đã cho.

Bài 8: Hai nông dân đem 100 quả trứng ra chợ bán, số trứng của hai người không bằng nhau. Một người nói với người kia: “Nếu số trứng của tôi bằng số trứng của anh thì tôi bán được 15 đồng”. Người kia nói: “Nếu số trứng của tôi bằng số trứng của anh thì tôi chỉ bán được 20/3 đồng thôi”. Hỏi mỗi người có bao nhiêu trứng?

Bài 9: Một đàn khỉ chia thành 2 nhóm

Nhóm chơi đùa vui vẻ ngoài trời

Bằng bình phương một phần tám của đàn

Mười hai con nhảy nhót trên cây

Không khí vui tươi sưởi ấm nơi này

Hỏi đàn khỉ có tất cả bao nhiêu con ?

Bài 10: Trong 1 phòng họp có 80 người họp được xếp đều ngồi trên các dãy ghế. Nếu ta bớt đi 2 dãy thì mỗi dãy còn lại phải xếp thêm 2 người mới đủ chỗ. Hỏi lúc đầu có bao nhiêu dãy ghế và mỗi dãy có bao nhiêu người?

Các dạng bài tập Toán 9

Bài tập giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình cực hay, chi tiết (các bài toán liên quan)

Xem thêm các chương trình khác: