Bài tập hệ thức Vi-et và ứng dụng

218 lượt xem

I. NHẨM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH:

1. Dạng đặc biệt:

Bài tập áp dụng:

Hãy tìm nhanh nghiệm của các phương trình sau:

1. $35 x^{2} - 37 x + 2 = 0$

2. $7 x^{2} + 500 x - 507 = 0$

3. $x^{2} - 49 x - 50 = 0$

4. $4321 x^{2} + 21 x - 4300 = 0$

5. x²– mx + m – 1= 0 (m là tham số)

6. ax² +bx – (a +b ) = 0 (a, b là tham số; a>0)

2. Cho phương trình, có một hệ số chưa biết, cho trước một nghiệm tìm nghiệm còn lại và chỉ ra hệ số của phương trình :

Bài tập áp dụng:

1. Cho phương trình $x^{2} - 2 (m - 1) x + m^{2} - 2 = 0$ có 1 nghiệm bằng 1.

Tìm m và tìm nghiệm thứ hai.

2. Cho phương trình $x^{2} - m x + 27 = 0$ có 2 nghiệm.

Tìm m và tìm 2 nghiệm của phương trình biết nghiệm này bằng ba lần nghiệm kia

3. Cho phương trình x² –x - 2m +5 = 0. Biết hiệu hai nghiệm bằng 1.

Tìm m và tìm 2 nghiệm của phương trình

4. Tìm nghiệm của phương trình:

a) $5 x^{2} + 24 x + 19 = 0$

b) $x^{2} - (m + 5) x + m + 4 = 0$

II. LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

1. Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm $x_{1}; x_{2}$

Bài tập áp dụng: Lập phương trình bậc hai biết nghiệm của chúng là $x_{1}; x_{2}$ thỏa mãn :

1. $x_{1} = 8$ và $x_{2} = - 3$

2. $x_{1} = 3 a$ và $x_{2} = a$

3. $x_{1} = 36$ và $x_{2} = - 104$

4. $x = 1 + \sqrt{2}$ và $x = 1 - \sqrt{2}$

2. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu thức chứa hai nghiệm của một phương trình cho trước:

Cách 1:

+ Tính trực tiếp $y_{1}; y_{2}$ bằng cách: Tìm nghiệm $x_{1}; x_{2}$ của phương trình đã cho rồi thay vào biểu thức tính $y_{1}; y_{2}$

Cách 2:

Không tính $y_{1}; y_{2}$ mà áp dụng Định lí Vi-et tính $S = y_{1} + y_{2}; P = y_{1} y_{2}$ sau đó lập phương trình bậc hai có các nghiệm là $y_{1}; y_{2}$

Cách 1 chỉ thích hợp khi phương trình ban đầu có nghiệm $x_{1}; x_{2}$ là hữu tỉ do đó nên chọn

Cách 2 để việc tính toán đơn giản và nhanh hơn, cụ thể:

Bài tập áp dụng:

1/ Cho phương trình $3 x^{2} + 5 x - 6 = 0$ có 2 nghiệm phân biệt $x_{1}; x_{2}$ . Không giải phương trình, Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm $y_{1} = x_{1} + \frac{1}{x_{2}}$ và $y_{2} = x_{2} + \frac{1}{x_{1}}$

Đáp số: $y^{2} + \frac{5}{6} y - \frac{1}{2} = 0$ hay $6 y^{2} + 5 y - 3 = 0$ .

2/ Cho phương trình : $x^{2} - 5 x - 1 = 0$ có 2 nghiệm $x_{1}; x_{2}$ . Hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn y thoả mãn $y_{1} = x_{1}^{4}$ và $y_{2} = x_{2}^{4}$ (có nghiệm là luỹ thừa bậc 4 của các nghiệm của phương trình đã cho).

(Đáp số: $y^{2} - 727 y + 1 = 0$ )

3/ Cho phương trình bậc hai: $x^{2} - 2 x - m^{2} = 0$ có các nghiệm $x_{1}; x_{2}$ . Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm $y_{1;} y_{2}$ sao cho:

a) $y_{1} = x_{1} - 3$ và $y_{2} = x_{2} - 3$

b) $y_{1} = 2 x_{1} - 1$ và $y_{2} = 2 x_{2} - 1$

Đáp số : a) $y^{2} - 4 y + 3 - m^{2} = 0$

b) $y^{2} - 2 y - (4 m^{2} - 3) = 0$ .

4/: Lập phương trình bậc hai có các nghiệm bằng nghịch đảo các nghiệm của phương trình $x^{2} + m x - 2$ = 0

5/ Cho phương trình $x^{2} - 2 x - m^{2} = 0$ có hai nghiệm $x_{1}; x_{2}$ . Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm $y_{1} = 2 x_{1} - 1; y_{2} = 2 x_{2} - 1$

6/Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm $x_{1}; x_{2}$ thỏa mãn $\{\begin{cases} x_{1} - x_{2} = 2 \\ {x_{1}}^{3} - {x_{2}}^{3} = 26 \end{cases}$

III. TÌM HAI SỐ BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG

Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình : $x^{2} - S x + P = 0$

(điều kiện để có hai số đó là S² 4P ³ 0 )

* Lưu ý: không phải lúc nào ta cũng tìm được hai số thỏa mãn yêu cầu đề bài

* Lưu ý: Với trường hợp này ta cũng có thể nhận xét ngay

Bài tập áp dụng: Tìm 2 số a và b biết tổng S và tích P

1. S = 3 và P = 2

2. S = 3 và P = 6

3. S = 9 và P = 20

4. S = 2x và P = x² y²

Bài tập nâng cao: Tìm 2 số a và b biết

1. a + b = 9 và a² + b² = 41

2. a b = 5 và ab = 36

3. a² + b² = 61 và ab = 30

IV. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA CÁC BIỂU THỨC NGHIỆM

Đối các bài toán dạng này điều quan trọng nhất là phải biết biến đổi biểu thức nghiệm đã cho về biểu thức có chứa tổng nghiệm S và tích nghiệm P để áp dụng hệ thức VI-ÉT rổi tính giá trị của biểu thức

1. Biến đổi biểu thức để làm xuất hiện : ( $x_{1} + x_{2}$ ) và $x_{1} x_{2}$

Bài tập áp dụng:

1. $x_{1}^{2} - x_{2}^{2}$ ( $= (x_{1} - x_{2}) (x_{1} + x_{2})$ =…….)

2. $x_{1}^{3} - x_{2}^{3}$ ( = $(x_{1} - x_{2}) (x_{1}^{2} + x_{1} x_{2} + x_{2}^{2}) = (x_{1} - x_{2}) [{(x_{1} + x_{2})}^{2} - x_{1} x_{2}]$ =……. )

3. $x_{1}^{4} - x_{2}^{4}$ ( = $(x_{1}^{2} + x_{2}^{2}) (x_{1}^{2} - x_{2}^{2})$ =…… )

4. $x_{1}^{6} + x_{2}^{6}$ ( = $(x_{1}^{2})^{3} + (x_{2}^{2})^{3} = (x_{1}^{2} + x_{2}^{2}) (x_{1}^{4} - x_{1}^{2} x_{2}^{2} + x_{2}^{4})$ = ……..)

5. $x_{1}^{6} - x_{2}^{6}$

6. $x_{1}^{5} + x_{2}^{5}$

7. $x_{1}^{7} + x_{2}^{7}$

8. $\frac{1}{x_{1} - 1} + \frac{1}{x_{2} - 1}$

9. $|x_{1} - x_{2}|$

10 . $|x_{1}| + |x_{2}|$

2. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức nghiệm

a) Cho phương trình: $x^{2} - 8 x + 15 = 0$ . Không giải phương trình, hãy tính

1. $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ 2. $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}}$

3. $\frac{x_{1}^{}}{x_{2}} + \frac{x_{2}}{x_{1}}$ 4. ${(x_{1}^{} + x_{2})}^{2}$

b) Cho phương trình: $8 x^{2} - 72 x + 64 = 0$ . Không giải phương trình, hãy tính:

1. $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}}$ 2. $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$

c) Cho phương trình: $x^{2} - 14 x + 29 = 0$ . Không giải phương trình, hãy tính:

1. $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}}$ 2. $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$

d) Cho phương trình : $2 x^{2} - 3 x + 1 = 0$ Không giải phương trình, hãy tính:

1. $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}}$ 2. $\frac{1 - x_{1}}{x_{1}} + \frac{1 - x_{2}}{x_{2}}$

3. $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ 4. $\frac{x_{1}}{x_{2} + 1} + \frac{x_{2}}{x_{1} + 1}$

e) Cho phương trình $x^{2} - 4 \sqrt{3} x + 8 = 0$ có 2 nghiệm $x_{1}, x_{2}$ , không giải phương trình, tính:

$Q = \frac{6 x_{1}^{2} + 10 x_{1} x_{2} + 6 x_{2}^{2}}{5 x_{1} x_{2}^{3} + 5 x_{1}^{3} x_{2}}$

Nhận xét: Với dạng bài này ta không cần giải phương trình để tìm các nghiệm

V. TÌM HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA HAI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAO CHO HAI NGHIỆM NÀY KHÔNG PHỤ THUỘC (HAY ĐỘC LẬP) VỚI THAM SỐ

Để làm các bài toán loại này, ta làm lần lượt theo các bước sau:

- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x₁ và x₂ (thường là a ¹ 0 và D ³ 0)

- Áp dụng hệ thức Vi-et viết S = x₁ + x₂ v à P = x₁ x₂ theo tham số

- Dùng quy tắc cộng hoặc thế để tính tham số theo x₁ và x₂ . Từ đó đưa ra hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x₁ và x₂.

Nhận xét:

- Lưu ý điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm

- Sau đó dựa vào hệ thức Vi-et rút tham số theo tổng nghiệm, theo tích nghiệm sau đó đồng nhất các vế ta sẽ được một biểu thức chứa nghiệm không phụ thuộc vào tham số.

Tài liệu đầy đủ quý Thầy/Cô và bạn đọc vui lòng chọn mục tải xuống để xem chi tiết.

Các dạng bài tập Toán 9

Bài tập hệ thức Vi-et và ứng dụng

Xem thêm các chương trình khác: