Phương pháp rút gọn biểu thức chứa căn có ví dụ chi tiết

194 lượt xem

Bài trước

Bài sau

RÚT GỌN BIỂU THỨC

A. PHƯƠNG PHÁP

Phương pháp:

1. Dùng các quy tắc tính, nhân chia đa thức và các hằng đẳng thức đáng nhớ.

a. ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

b. ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$

c. $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$

d. ${(a + b)}^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$

e. ${(a - b)}^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}$

f. $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$

g. $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$

2. Các phép toán về căn bậc hai

a. Hằng đẳng thức căn bậc hai.

$\sqrt{A^{2}} = |A|$

b. Khai phương một tích

Cho A, B là những biểu thức không âm ta có tính chất:

$\sqrt{A . B} = \sqrt{A} . \sqrt{B}$

c. Khai phương một thương.

Cho A là biểu thức không âm, B là biểu thức dương ta có tính chất:

$\sqrt{\frac{A}{B}} = \frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}$

3. Sử dụng các quy tắc cộng trừ phân số, quy tắc đăth mẫu số chung, quy tắc đặt nhân tử chung và rút gọn

B. BÀI TẬP MẪU CÓ HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài tập mẫu 1: Rút gọn các biểu thức sau(giả sử các biểu thức đều có nghĩa):

a. $A = (\frac{1}{\sqrt{x} - 1} - \frac{\sqrt{x}}{x - 1}) : \frac{1}{\sqrt{x} + 1}$

b. $B = (\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2} + \frac{2}{\sqrt{x} - 2}) : \frac{x + 4}{\sqrt{x} + 2}$

c. $C = \frac{x - 1}{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 1)} : \frac{\sqrt{x} + 1}{x - 1}$

d. $D = (\frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} - \frac{3 x + 3}{x - 9}) :$ $(\frac{2 \sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} - 3} - 1)$

e. $E = (\frac{1}{\sqrt{x} + 2} + \frac{1}{\sqrt{x} - 2}) : \frac{\sqrt{x}}{x - 4}$

f. $F = (1 + \frac{1}{\sqrt{x}}) (\frac{1}{\sqrt{x} + 1} + \frac{1}{\sqrt{x} - 1} - \frac{2}{x - 1})$

g. $T = \frac{x + 6 \sqrt{x} + 9}{\sqrt{x} + 3} - \frac{x - 4}{\sqrt{x} - 2}$

h. $Q = (\frac{1}{\sqrt{x} + 4} + \frac{1}{\sqrt{x} - 4}) . \frac{\sqrt{x} + 4}{\sqrt{x}}$

Hướng dẫn giải

a. MTC: $(\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 1)$

Ta có biến đổi: $A = (\frac{1}{\sqrt{x} - 1} - \frac{\sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 1)}) : \frac{1}{\sqrt{x} + 1}$

$A = \frac{\sqrt{x} + 1 - \sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 1)} \times \frac{\sqrt{x} + 1}{1}$

Vậy: $A = \frac{1}{\sqrt{x} - 1}$ .

b. MTC: $(\sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 2)$

Ta có biến đổi: $B = \frac{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 2) + 2 (\sqrt{x} + 2)}{(\sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 2)} \times \frac{\sqrt{x} + 2}{x + 4}$

$\begin{array}{l} B = \frac{x - 2 \sqrt{x} + 2 \sqrt{x} + 4}{\sqrt{x} - 2} \times \frac{1}{x + 4} \\ B = \frac{x + 4}{\sqrt{x} - 2} \times \frac{1}{x + 4} \end{array}$

Vậy: $B = \frac{1}{\sqrt{x} - 2}$ .

c. Ta có biến đổi:

$C = \frac{x - 1}{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 1)} : \frac{\sqrt{x} + 1}{x - 1}$

$\begin{array}{l} C = \frac{x - 1}{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 1)} \times \frac{(\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x} + 1} \\ C = \frac{x - 1}{\sqrt{x}} \end{array}$

Vậy: $C = \frac{x - 1}{\sqrt{x}}$ .

d. MTC: $(\sqrt{x} - 3) (\sqrt{x} + 3)$

Ta có biến đổi:

$D = (\frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} - \frac{3 x + 3}{(\sqrt{x} - 3) (\sqrt{x} + 3)}) :$ $(\frac{2 \sqrt{x} - 2 - (\sqrt{x} - 3)}{\sqrt{x} - 3})$

$D = \frac{2 \sqrt{x} (\sqrt{x} - 3) + \sqrt{x} (\sqrt{x} + 3) - 3 x - 3}{(\sqrt{x} - 3) (\sqrt{x} + 3)} \times \frac{\sqrt{x} - 3}{2 \sqrt{x} - 2 - \sqrt{x} + 3}$

$\begin{array}{l} D = \frac{2 x - 6 \sqrt{x} + x + 3 \sqrt{x} - 3 x - 3}{(\sqrt{x} - 3) (\sqrt{x} + 3)} \times \frac{\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} + 1} \\ D = \frac{- 3 \sqrt{x} - 3}{(\sqrt{x} - 3) (\sqrt{x} + 3)} \times \frac{\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} + 1} \end{array}$

$D = \frac{- 3 (\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} - 3) (\sqrt{x} + 3)} \times \frac{\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} + 1} = \frac{- 3}{\sqrt{x} + 3}$

Vậy: $D = \frac{- 3}{\sqrt{x} + 3}$

e. MTC: $(\sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 2)$

Ta có biến đổi:

$E = \frac{\sqrt{x} - 2 + \sqrt{x} + 2}{(\sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 2)} \times \frac{(\sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 2)}{\sqrt{x}}$

$E = \frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{x}} = 2$

Vậy: $E = 2$

f. MTC: $\sqrt{x}$ và $(\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 1)$ cho hai biểu thức trong ngoặc.

Ta có biến đổi:

$F = (\frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}}) (\frac{1}{\sqrt{x} + 1} + \frac{1}{\sqrt{x} - 1} - \frac{2}{(\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 1)})$

$\begin{array}{l} F = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}} \times \frac{\sqrt{x} - 1 + \sqrt{x} + 1 - 2}{(\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 1)} \\ F = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}} \times \frac{2 \sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 1)} \\ F = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}} . \frac{2 (\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 1)} \\ F = \frac{2}{\sqrt{x}} \end{array}$

Vậy: $F = \frac{2}{\sqrt{x}}$ .

g. Ta có biến đổi:

$T = \frac{{(\sqrt{x} + 3)}^{2}}{\sqrt{x} + 3} - \frac{(\sqrt{x} - 2) (\sqrt{x} + 2)}{\sqrt{x} - 2}$

$T = \sqrt{x} + 3 - \sqrt{x} - 2 = 1$

Vậy: $T = 1$ .

h. MTC: $(\sqrt{x} + 4) (\sqrt{x} - 4)$

Ta có biến đổi:

$Q = \frac{\sqrt{x} - 4 + \sqrt{x} + 4}{(\sqrt{x} + 4) (\sqrt{x} - 4)} . \frac{\sqrt{x} + 4}{\sqrt{x}}$

$\begin{array}{l} Q = \frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{x} - 4} . \frac{1}{\sqrt{x}} \\ Q = \frac{2}{\sqrt{x} - 4} \end{array}$

Vậy: $Q = \frac{2}{\sqrt{x} - 4}$ .

Bài tập mẫu 2: Rút gọn các biểu thức sau:

a. $B = \frac{3}{\sqrt{x} - 2} + \frac{4}{\sqrt{x} + 2} - \frac{12}{x - 4}$

b. $B = (\frac{1}{\sqrt{x} - 2} + \frac{1}{\sqrt{x} + 2}) : \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2}$

c. $A = \frac{1}{x + \sqrt{x}} + \frac{2 \sqrt{x}}{x - 1} - \frac{1}{x - \sqrt{x}}$

d. $A = \frac{x}{\sqrt{x} - 1} + \frac{\sqrt{x} - 2 x}{x - \sqrt{x}}$

e. $P = \frac{x - 2 \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} (\frac{x + \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} + 1)$

f. $C = (\frac{1}{\sqrt{x} + 1} - \frac{1}{{(\sqrt{x})}^{2} + \sqrt{x}}) \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1}$

g. $G = (\frac{x \sqrt{y} + y \sqrt{x}}{\sqrt{x y}}) . (\sqrt{x} - \sqrt{y})$

h. $A = \frac{a - \sqrt{a}}{a - 1} - \frac{\sqrt{a} - 1}{\sqrt{a} + 1}$

i. $P = \frac{x \sqrt{x} - 3 \sqrt{x} + 3 x - 9}{x - 9} - \frac{x + 3 \sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

Hướng dẫn giải

a. Ta có biến đổi:

$B = \frac{3}{\sqrt{x} - 2} + \frac{4}{\sqrt{x} + 2} - \frac{12}{(\sqrt{x} - 2) (\sqrt{x} + 2)}$

MTC: $(\sqrt{x} - 2) (\sqrt{x} + 2)$ .

Biểu thức trở thành:

$B = \frac{3 (\sqrt{x} + 2) + 4 (\sqrt{x} - 2) - 12}{(\sqrt{x} - 2) (\sqrt{x} + 2)} B = \frac{3 \sqrt{x} + 6 + 4 \sqrt{x} - 8 - 12}{(\sqrt{x} - 2) (\sqrt{x} + 2)}$

$B = \frac{7 \sqrt{x} - 14}{(\sqrt{x} - 2) (\sqrt{x} + 2)} B = \frac{7 (\sqrt{x} - 2)}{(\sqrt{x} - 2) (\sqrt{x} + 2)} B = \frac{7}{\sqrt{x} + 2}$

Vậy: $B = \frac{7}{\sqrt{x} + 2}$

b. Ta có biến đổi:

$B = (\frac{1}{\sqrt{x} - 2} + \frac{1}{\sqrt{x} + 2}) \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}}$

$B = \frac{\sqrt{x} + 2 + \sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x} - 2) (\sqrt{x} + 2)} . \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}}$

$B = \frac{2}{(\sqrt{x} + 2)}$

Vậy: $B = \frac{2}{(\sqrt{x} + 2)}$

c. Ta có biến đổi:

$A = \frac{1}{\sqrt{x} (\sqrt{x} + 1)} + \frac{2 \sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 1)} - \frac{1}{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 1)}$

$\begin{array}{l} A = \frac{(\sqrt{x} - 1) + 2 \sqrt{x} . \sqrt{x} - (\sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 1)} \\ A = \frac{\sqrt{x} - 1 + 2 x - \sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 1)} \end{array}$

$A = \frac{2 x - 2}{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 1)}$

$A = \frac{2 (\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 1)}$

$A = \frac{2}{\sqrt{x}}$

Vậy: $A = \frac{2}{\sqrt{x}}$ .

d. Ta có biến đổi:

$A = \frac{x}{\sqrt{x} - 1} + \frac{\sqrt{x} - 2 x}{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 1)}$

MTC: $\sqrt{x} (\sqrt{x} - 1)$ .

Biểu thức trở thành:

$A = \frac{x \sqrt{x} + \sqrt{x} - 2 x}{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 1)}$

$\begin{array}{l} A = \frac{\sqrt{x} (x - 2 \sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 1)} \\ \Leftrightarrow A = \frac{x - 2 \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} \\ A = \frac{{(\sqrt{x} - 1)}^{2}}{\sqrt{x} - 1} \\ \Leftrightarrow A = \sqrt{x} - 1 \end{array}$

Vậy: $A = \sqrt{x} - 1$ .

e. Ta có biến đổi:

$P = \frac{{(\sqrt{x} - 1)}^{2}}{\sqrt{x} - 1} . \frac{x + \sqrt{x} + \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 1}$

$\begin{array}{l} P = (\sqrt{x} - 1) . \frac{x + 2 \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 1} \\ P = (\sqrt{x} - 1) \frac{{(\sqrt{x} + 1)}^{2}}{\sqrt{x} + 1} \\ P = (\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 1) \\ P = x - 1 \end{array}$

Vậy: $P = x - 1$

f. Ta có biến đổi:

$C = (\frac{1}{\sqrt{x} + 1} - \frac{1}{\sqrt{x} (\sqrt{x} + 1)}) \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1}$

$\begin{array}{l} C = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} (\sqrt{x} + 1)} . \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} \\ C = \frac{1}{\sqrt{x} + 1} \end{array}$

Vậy: $C = \frac{1}{\sqrt{x} + 1}$

g. Ta có biến đổi:

$G = \frac{\sqrt{x y} (\sqrt{x} + \sqrt{y})}{\sqrt{x y}} . (\sqrt{x} - \sqrt{y})$

$\begin{array}{l} G = (\sqrt{x} + \sqrt{y}) . (\sqrt{x} - \sqrt{y}) \\ G = x - y \end{array}$

Vậy: $G = x - y$ .

h. Ta có biến đổi:

$A = \frac{\sqrt{a} (\sqrt{a} - 1)}{(\sqrt{a} - 1) (\sqrt{a} + 1)} - \frac{\sqrt{a} - 1}{\sqrt{a} + 1}$

$\begin{array}{l} A = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + 1} - \frac{\sqrt{a} - 1}{\sqrt{a} + 1} \\ A = \frac{\sqrt{a} - \sqrt{a} + 1}{\sqrt{a} + 1} \\ A = \frac{1}{\sqrt{a} + 1} \end{array}$

Vậy: $A = \frac{1}{\sqrt{a} + 1}$ .

i. Ta có biến đổi:

$P = \frac{\sqrt{x} (x - 3) + 3 (x - 3)}{(\sqrt{x} - 3) (\sqrt{x} + 3)} - \frac{\sqrt{x} (\sqrt{x} + 3)}{\sqrt{x}}$

$\begin{array}{l} P = \frac{(x + 3) (\sqrt{x} + 3)}{(\sqrt{x} - 3) (\sqrt{x} + 3)} - (\sqrt{x} + 3) \\ \Leftrightarrow P = \frac{x + 3}{\sqrt{x} - 3} - (\sqrt{x} + 3) \\ P = \frac{x + 3 - (\sqrt{x} + 3) (\sqrt{x} - 3)}{\sqrt{x} - 3} \\ \Leftrightarrow P = \frac{x + 3 - x + 9}{\sqrt{x} - 3} = \frac{12}{\sqrt{x} - 3} \end{array}$

Vậy: $P = \frac{12}{\sqrt{x} - 3}$

Bài tập mẫu 3: Rút gọn các biểu thức sau(giả sử các biểu thức đều có nghĩa):

a. $A = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 5} - \frac{10 \sqrt{x}}{x - 25} - \frac{5}{\sqrt{x} + 5},$

b. $P = (\frac{3 \sqrt{x} - 1}{x - 1} - \frac{1}{\sqrt{x} - 1}) : \frac{1}{x + \sqrt{x}}$

c. $P = (\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} - 1} - \frac{1}{a - \sqrt{a}}) : (\frac{1}{\sqrt{a} + 1} + \frac{2}{a - 1})$

d. $P = \frac{15 \sqrt{x} - 11}{x + 2 \sqrt{x} - 3} + \frac{3 \sqrt{x} - 2}{1 - \sqrt{x}} - \frac{2 \sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 3}$

e. $B = \frac{4}{\sqrt{x} + 1} + \frac{2}{1 - \sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x} - 5}{x - 1}$

f. $N = (\frac{1}{\sqrt{a} + 2} + \frac{1}{\sqrt{a} - 2}) : \frac{3 \sqrt{a}}{a - 4}$

Hướng dẫn giải

a. Ta có biến đổi:

$N = (\frac{1}{\sqrt{a} + 2} + \frac{1}{\sqrt{a} - 2}) : \frac{3 \sqrt{a}}{a - 4}$

MTC: $(\sqrt{x} - 5) (\sqrt{x} + 5)$ .

Biểu thức trở thành:

$A = \frac{\sqrt{x} (\sqrt{x} + 5) - 10 \sqrt{x} - 5 (\sqrt{x} - 5)}{(\sqrt{x} - 5) (\sqrt{x} + 5)}$

$\begin{array}{l} A = \frac{x + 5 \sqrt{x} - 10 \sqrt{x} - 5 \sqrt{x} + 25}{(\sqrt{x} - 5) (\sqrt{x} + 5)} \\ A = \frac{x - 10 \sqrt{x} + 25}{(\sqrt{x} - 5) (\sqrt{x} + 5)} \\ A = \frac{{(\sqrt{x} - 5)}^{2}}{(\sqrt{x} - 5) (\sqrt{x} + 5)} \end{array}$

Vậy: $A = \frac{\sqrt{x} - 5}{\sqrt{x} + 5}$ .

b. MTC: $(\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 1)$

Ta có biến đổi:

$P = (\frac{3 \sqrt{x} - 1}{(\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 1)} - \frac{1}{\sqrt{x} - 1}) : \frac{1}{\sqrt{x} (\sqrt{x} + 1)}$

$P = \frac{3 \sqrt{x} - 1 - \sqrt{x} - 1}{(\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 1)} \times \frac{\sqrt{x} (\sqrt{x} + 1)}{1}$

$P = \frac{2 (\sqrt{x} - 1) \sqrt{x} (\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 1)}$

Vậy: $P = 2 \sqrt{x}$

c. MTC: $\sqrt{a} (\sqrt{a} - 1)$ và $(\sqrt{a} - 1) (\sqrt{a} + 1)$ cho hai biểu thức trong ngoặc

Ta có biến đổi:

$P = (\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} - 1} - \frac{1}{\sqrt{a} (\sqrt{a} - 1)}) : (\frac{1}{\sqrt{a} + 1} + \frac{2}{(\sqrt{a} - 1) (\sqrt{a} + 1)})$

$P = \frac{a - 1}{\sqrt{a} (\sqrt{a} - 1)} \times \frac{(\sqrt{a} - 1) (\sqrt{a} + 1)}{\sqrt{a} + 1}$

$\begin{array}{l} P = \frac{(a - 1) (\sqrt{a} + 1)}{\sqrt{a} (\sqrt{a} + 1)} \\ P = \frac{a - 1}{\sqrt{a}} \end{array}$

Vậy: $P = \frac{a - 1}{\sqrt{a}}$ .

d. Ta có biến đổi:

$P = \frac{15 \sqrt{x} - 11}{(\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 3)} - \frac{3 \sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} - 1} - \frac{2 \sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 3}$

MTC: $(\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 3)$ .

Biểu thức trở thành

$P = \frac{15 \sqrt{x} - 11 - (3 \sqrt{x} - 2) (\sqrt{x} + 3) - (2 \sqrt{x} + 3) (\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 3)}$

$\begin{array}{l} P = \frac{15 \sqrt{x} - 11 - 3 x - 9 \sqrt{x} + 2 \sqrt{x} + 6 - 2 x + 2 \sqrt{x} - 3 \sqrt{x} + 3}{(\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 3)} \\ P = \frac{- 5 x + 7 \sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 3)} \\ P = \frac{(\sqrt{x} - 1) (2 - 5 \sqrt{x})}{(\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 3)} \\ P = \frac{2 - 5 \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} \end{array}$

Vậy: $P = \frac{2 - 5 \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3}$

e. MTC: $(1 - \sqrt{x}) (1 + \sqrt{x})$

Ta có biến đổi:

$B = \frac{4}{\sqrt{x} + 1} + \frac{2}{1 - \sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x} - 5}{(1 - \sqrt{x}) (1 + \sqrt{x})}$

$B = \frac{1 - \sqrt{x}}{(1 - \sqrt{x}) (1 + \sqrt{x})} = \frac{1}{1 + \sqrt{x}}$

Vậy: $B = \frac{1}{1 + \sqrt{x}}$ .

f. Ta có biến đổi:

$N = (\frac{\sqrt{a} + 2 + \sqrt{a} - 2}{(\sqrt{a} + 2) (\sqrt{a} - 2)}) \times \frac{a - 4}{3 \sqrt{a}}$

$N = \frac{2 \sqrt{a}}{a - 4} \times \frac{a - 4}{3 \sqrt{a}}$

Vậy: $N = \frac{2}{3}$

Tài liệu đầy đủ quý Thầy/Cô và bạn đọc vui lòng chọn mục tải xuống để xem chi tiết.

Xem thêm các chương trình khác:

Bài trước

Bài sau

Các dạng bài tập Toán 9

Phương pháp rút gọn biểu thức chứa căn có ví dụ chi tiết

Xem thêm các chương trình khác: