Cách giải phương trình chứa căn chi tiết có đáp án

267 lượt xem

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN

A. Phương pháp giải

Giải phương trình chứa căn theo các bước sau:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định

Bước 2: Sử dụng các phương pháp sau để biến đổi phương trình:

+ Khai phương

+ Đặt nhân tử chung

+ Nâng lên lũy thừa

+ Đặt ẩn phụ

+ Sử dụng bất đẳng thức, đánh giá hai vế của phương trình.

Bước 3: So sánh điều kiện nghiệm và kết luận.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải phương trình $\sqrt{4 {(x - 1)}^{2}} = 6$

Hướng dẫn giải:

Điều kiện xác định: $\sqrt{4 {(x - 1)}^{2}} = 6$ với mọi x

Khi đó, ta có:

$\sqrt{4 {(x - 1)}^{2}} = 6 \Leftrightarrow |2 (x - 1)| = 6$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} 2 (x - 1) = 6 \\ 2 (x - 1) = 6 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 4 \\ x = - 2 \end{array}$

Vậy $x = 4$ hoặc $x = - 1$ là nghiệm của phương trình

Ví dụ 2: Giải phương trình: $\sqrt{x - 1} = \sqrt{4 - x}$

Hướng dẫn giải:

Điều kiện xác định:

$\{\begin{cases} x - 1 \geq 0 \\ 4 - x \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \geq 1 \\ x \leq 4 \end{cases} \Leftrightarrow 1 \leq x \leq 4$

Ta có:

$\begin{array}{l} \sqrt{x - 1} = \sqrt{4 - x} \\ \Leftrightarrow x - 1 = 4 - x \\ \Leftrightarrow 2 x = 5 \end{array}$

$\Leftrightarrow x = \frac{5}{2}$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình đã có một nghiệm là: $x = \frac{5}{2}$ .

Ví dụ 3: Giải phương trình sau: $\sqrt{4 x + 20} - 3 \sqrt{5 + x} + \frac{4}{3} \sqrt{9 x + 45} = 6$ (1)

Phương trình

$(1)$ $\Leftrightarrow 2 \sqrt{x + 5} - 3 \sqrt{5 + x} + \frac{4}{3} . 3 \sqrt{x + 5} = 6$

Điều kiện xác định: $x + 5 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq - 5$

Khi đó, ta có:

$\begin{array}{l} 2 \sqrt{x + 5} - 3 \sqrt{5 + x} + \frac{4}{3} . 3 \sqrt{x + 5} = 6 \\ \Leftrightarrow \sqrt{x + 5} (2 - 3 + \frac{4}{3} . 3) = 6 \\ \Leftrightarrow 3 \sqrt{x + 5} = 6 \\ \Leftrightarrow \sqrt{x + 5} = 2 \\ \Leftrightarrow x + 5 = 4 \end{array}$

$\Leftrightarrow x = - 1$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = -1.

Ví dụ 4: Giải phương trình sau: $2 x + 5 - 5 \sqrt{2 x + 1} = 0$ (2)

Hướng dẫn giải

Điều kiện $2 x + 1 \geq 0 \Leftrightarrow 2 x \geq - 1 \Leftrightarrow x \geq - \frac{1}{2}$

Ta có: $2 x + 5 - 5 \sqrt{2 x + 1} = 0$

$\Leftrightarrow (2 x + 1) - 5 \sqrt{2 x + 1} + 4 = 0$

Đặt: $t = \sqrt{2 x + 1},$ (điều kiện: $t \geq 0$ )

Phương trình (2) trở thành:

$\begin{array}{l} t^{2} - 5 t + 4 = 0 \\ \Leftrightarrow (t - 4) (t - 1) = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t - 4 = 0 \\ t - 1 = 0 \end{array} \end{array}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 1 \\ t = 4 \end{array}$ (thỏa mãn điều kiện)

+ Với $t = 1 \Rightarrow \sqrt{2 x + 1} = 1$

$\Leftrightarrow 2 x + 1 = 1 \Leftrightarrow x = 0$ (thỏa mãn)

+ Với $t = 4 \Rightarrow \sqrt{2 x + 1} = 4$

$\Leftrightarrow 2 x + 1 = 16 \Leftrightarrow x = \frac{15}{2}$ (thỏa mãn)

Vậy phương đã cho có hai nghiệm $x = 0; x = \frac{15}{2}$ .

Ví dụ 5: Giải phương trình: $\sqrt{3 + x} + \sqrt{6 - x} = 3$

Hướng dẫn giải:

Điều kiện xác định:

$\{\begin{cases} 3 + x \geq 0 \\ 6 - x \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \geq - 3 \\ x \leq 6 \end{cases} \Leftrightarrow - 3 \leq x \leq 6$

Bình phương cả hai vế của phương trình đã cho, ta được:

$3 + x + 6 - x + 2 \sqrt{(3 + x) (6 - x)} = 9$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow (3 + x) (6 - x) = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 3 + x = 0 \\ 6 - x = 0 \end{array} \end{array}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 3 \\ x = 6 \end{array}$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình có 2 nghiệm là $x = - 3$ và $x = 6$ .

C. Bài tập tự luyện

Bài 1: Giải phương trình:

a) $\sqrt{9 x^{2}} = 2 x + 1$

b) $\sqrt{x^{4}} = 7$

c) $\sqrt{x^{2} + 6 x + 9} = 3 x - 1$

d) $\sqrt{x^{2}} = 7$

e) $\sqrt{x^{2}} = |- 8|$

f) $\sqrt{1 - 4 x + 4 x^{2}} = 5$

g) $\sqrt{x^{4}} = 9$

h) $\sqrt{{(x + 2)}^{2}} = 2 x + 1$

i) $\sqrt{x^{2} - 6 x + 9} = 5$

j) $\sqrt{4 x^{2} - 12 x + 9} = x - 3$

k) $\sqrt{4 x^{2} - 4 x + 1} = \sqrt{x^{2} - 2 x + 1}$

l) $\sqrt{4 x^{2} - 12 x + 9} = \sqrt{9 x^{2} - 24 x + 16}$

Bài 2: Giải phương trình:

a) $\sqrt{16 x} = 8$

b) $\sqrt{4 x} = \sqrt{5}$

c) $\sqrt{4 (x^{2} - 2 x + 1)} - 6 = 0$

d) $\sqrt{4 (x^{2} - 2 x + 1)} - 6 = 0$

e) $\sqrt{x - 5} = 3$

f) $\sqrt{x - 10} = - 2$

g) $\sqrt{2 x - 1} = \sqrt{5}$

h) $\sqrt{4 - 5 x} = 12$

i) $\sqrt{4 x^{2}} = x + 5$

k) $\sqrt{{(x - 3)}^{2}} = 2 x - 1$

l) $\sqrt{3 x} = \sqrt{6}$

m) $\sqrt{7 (x - 1)} = \sqrt{21}$

n) $\sqrt{2} x - \sqrt{50} = 0$

o) $\sqrt{2} x - \sqrt{50} = 0$

Bài 3: Giải các phương trình:

a) $\sqrt{\frac{2 x - 3}{x - 1}} = 2$ và $\sqrt{\frac{2 x - 3}{x - 1}} = 2$

b) $\sqrt{\frac{4 x - 3}{x + 1}} = 3$ và $\sqrt{\frac{4 x - 3}{x + 1}} = 3$

Bài 4: Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt{25 x - 25} - \frac{15}{2} \sqrt{\frac{x - 1}{9}} = 6 + \sqrt{x - 1}$

b) $\sqrt{4 x - 20} - \frac{1}{3} \sqrt{9 x - 45} + \sqrt{x - 5} = 4$

c) $\sqrt{16 x + 16} - \sqrt{9 x + 9} + \sqrt{4 x + 4}$ $= 16 - \sqrt{x + 1}$

d) $\sqrt{1 - x^{2}} = x - 1$

e) $\sqrt{x^{2} + 4 x + 4} = x - 2$

f) $\sqrt{2 x^{2} + 7} = 2 - x$

g) $\sqrt{x^{2} + 4 x + 3} = x - 2$

h) $\sqrt{x^{2} - 4} + 2 - x = 0$

i) $\sqrt{x^{2} - 4 x + 4} = 2 x - 1$

j) $\sqrt{(2 x + 4) (x - 1)} = x + 1$

k) $\sqrt{2 x^{2} + 4 x - 1} = x - 2$

l) $\sqrt{2 x + 9} = \sqrt{5 - 4 x}$

m) $\sqrt{2 x - 1} = \sqrt{x - 1}$

n) $\sqrt{x + 3} = \sqrt{x + 3}$

o) $\sqrt{x^{2} - x} = \sqrt{3 - x}$

p) $\sqrt{x^{2} + 3 x + 1} = \sqrt{x + 1}$

q) $\sqrt{2 x^{2} - 3} = \sqrt{4 x - 3}$

r) $\sqrt{x^{2} - x - 6} = \sqrt{x - 3}$

s) $\sqrt{9 x^{2} - 4 x} = \sqrt{2 x - 3}$

Bài 5: Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt{x + 4 \sqrt{x - 4}} = 5$

b) $\sqrt{x + 2 \sqrt{x - 1}} + \sqrt{x - 2 \sqrt{x - 1}} = 2$

c) $\sqrt{x + 2 - 4 \sqrt{x - 2}}$ $+ \sqrt{x + 7 - 6 \sqrt{x - 2}} = 1$

d) $\sqrt{x + 2 - 3 \sqrt{2 x - 5}}$ $+ \sqrt{x + 2 + 3 \sqrt{2 x - 5}} = 2 \sqrt{2}$

Bài 6: Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt{x^{2} - 3 x + 5} + x^{2} - 3 x = 7$

b) $5 \sqrt{x^{2} + 5 x + 28} = x^{2} + 5 x + 4$

c) $2 \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 5} = 2 x^{2} - 3 x - 6$

d) $\sqrt{2 x^{2} + 3 x + 9} + 2 x^{2} + 3 x = 33$

Bài 7: Giải các phương trình sau:

a) $\frac{5}{3} \sqrt{15 x} - \sqrt{15 x} + 11 = \frac{1}{3} \sqrt{15 x}$

b) $\frac{3 \sqrt{x} + 1}{7 \sqrt{x} - 5} = \frac{8}{15}$

c) $\sqrt{{(2 x - 1)}^{2}} = 3$

d) $\sqrt{2 - x} + \sqrt{8 - 4 x} = 3$

Các dạng bài tập Toán 9

Cách giải phương trình chứa căn chi tiết có đáp án

Xem thêm các chương trình khác: