Bài tập chứng minh điểm cố định có đáp án

185 lượt xem

Bài trước

Bài sau

BÀI TOÁN CHỨNG MINH ĐIỂM CỐ ĐỊNH

A. Phương pháp giải

Để giải được bài toán về điểm cố định ta có thể chứng minh theo các cách sau:

+ Chứng minh khoảng cách từ một điểm cố định đến một điểm cố định khác thuộc đường thẳng là không đổi

+ Chứng minh điểm đó là giao điểm của hai đường thẳng cố định

+ Để chứng minh điểm nằm trên đường tròn cố định ta cần chứng minh nó là điểm cuối hay trung điểm của một cung cố định

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho đường tròn (O) luôn thay đổi và ba điểm A, B, C cố định thẳng hàng và sắp xếp theo thứ tự đó. Kẻ AM, AN là hai tiếp tuyến với (O). I là trung điểm của BC. AO cắt MN tại H và (O) tại P và Q (P nằm giữa A và O). BC cắt MN tại K

a) Chứng minh A, M, I, O, N thuộc cùng một đường tròn

b) Chứng minh tíchch AB.AC = AH.AO và K cố định khi (O) thay đổi

Hướng dẫn giải

Ảnh đính kèm

a) + Xét tứ giác AMON có

$\hat{A M O} + \hat{A N O} = 90^{0} + 90^{0} = 180^{0}$

mà hai góc ở vị trí đối nhau

Suy ra tứ giác AMON nội tiếp đường tròn hay 4 điểm $A, M, O, N$ cùng thuộc một đường tròn đường kính $AO$ (1)

+ Trong đường tròn (O) có I là trung điểm của BC

$\Rightarrow O I ⊥ B C$ $\Rightarrow \hat{O I A} = 90^{0}$

Suy ra điểm I thuộc đường tròn đường kính $AO$ (2)

+ Từ (1) và (2) suy ra 5 điểm $A, M, O, N,$ I cùng thuộc một đường tròn

b) Xét tam giác AMB và tam giác ACM có:

$\hat{M A C}$ : chung

$\hat{A M B} = \hat{A C M}$ (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung MB)

Suy ra hai tam giác AMB và ACM đồng dạng với nhau theo trường hợp góc - góc

$\Rightarrow \frac{A M}{A C} = \frac{A B}{A M}$ (các cạnh tương ứng tỉ lệ)

$\Leftrightarrow A M^{2} = A B \cdot A C (3)$

+ Có $OM = ON (= R),$ $AM = AM$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra AO là đường trung trực của MN

Suy ra AO vuông góc với MN tại H

+ Xét tam giác AMO vuông tại M có đường cao MH:

$\Leftrightarrow A M^{2} = A B . A C$ (hệ thức lượng trong tam giác vuông) (4)

+Từ (3) và (4) suy ra A B \cdot A C=A H \cdot A O(5)

+ Xét tam giác $AHK$ và tam giác AIO

$\hat{A H K} = \hat{A I O} = 90 °$

$\hat{O A I}$ : chung

Suy ra tam giác $AHK$ và tam giác AlO đồng dạng với nhau theo trường hợp góc - góc

$\Rightarrow \frac{A H}{A I} = \frac{A K}{A O}$ $\Leftrightarrow A H . A O = A K . A I (6)$

Từ (5) và (6) suy ra

$A K . A I = A B . A C$ $\Leftrightarrow A K = \frac{A B \cdot A C}{A I}$

Vì $A, B, C$ cố định nên $AB, AC, BC$ không đổi

Mà I là trung điểm của BC nên I cố định hay Al không đổi

Suy ra không đổi. Suy ra AK không đổi hay K cố định (vì A cố định)

Ví dụ 2. Cho nửa đường tròn (O; R), đường kính AB cố định. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB chứa đường tròn, vẽ các tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn. Trên nửa đường tròn, lấy điểm C bất kì. Vẽ tiếp tuyến (O) tại C cắt Ax, By lần lượt tại D và E. AC cắt DO tại M, BC cắt OE tại N

a) Tứ giác CMON là hình gì? Vì sao?

b) Chứng minh tích OM.OD + ON.OE không đổi

Hướng dẫn giải

Ảnh đính kèm

a) + Có DA và DC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại D. Suy ra DA = DC

lại có $O A = O C$

suy ra DO là đường trung trực của AC. Suy ra Do vuông góc với AC

mà M là giao điểm của OD và AC. Suy ra $\hat{O M C} = 90^{0}$

+ Tương tự ta cũng có $\hat{O N C} = 90^{0}$

+ Có DC và DA là hai tiếp tuyến cắt nhau tại D suy ra OD là phân giác của $\hat{A O C}$

EC và EB là hai tiếp tuyến cắt nhau tại E suy ra OE là phân giác của $\hat{C O D}$

Có $\hat{A O C} + \hat{C O D} = 180^{0}$

Suy ra

$\hat{D O C} + \hat{E O C} = \frac{180^{0}}{2} = 90^{0}$ $\Leftrightarrow \hat{M O N} = 90^{0}$

+ Xét tứ giác OMCN có

$\hat{O M C} = \hat{O N C} = \hat{M O N} = 90^{0}$

Suy ra tứ giác OMCN là hình chữ nhật.

b) + Xét tam giác AOD vuông tại A có AM vuông góc với DO

Suy ra $A O^{2} = O M . O N$ $\Leftrightarrow O M . O N = R^{2} (1)$

+ Xét tam giác OBE vuông tại B có BN vuông góc bới OE

Suy ra $O B^{2} = O N . O E$ $\Leftrightarrow O N . O E = R^{2}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra

$O M . O D + O N . O E = 2 R^{2}$

Do R không đổi nên OM.OD + ON.OE không đổi.

C. Bài tập tự luyện

Bài 1: Cho đường tròn (O) và một dây BC cố định, một điểm A thay đổi trên cung lớn BC (A khác B và C), vẽ BE vuông góc với AC, CF vuông góc với AB (E thuộc AC và F thuộc AB). Gọi H là giao điểm của BE và CF. Chứng minh rằng:

a, Tứ giác BCEF là tứ giác nội tiếp

b, BF.BA + CE.CA = BC²

c, Đường thẳng đi qua H và vuông góc với EF luôn đi qua một điểm cố định

Tài liệu đầy đủ quý Thầy/Cô và bạn đọc vui lòng chọn mục tải xuống để xem chi tiết.

Xem thêm các chương trình khác:

Bài trước

Bài sau

Các dạng bài tập Toán 9

Bài tập chứng minh điểm cố định có đáp án

Xem thêm các chương trình khác: