Tuyệt chiêu giải bài tập rút gọn biểu thức chứa căn có đáp án

230 lượt xem

RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN

A. Phương pháp giải

a) Kiến thức cần nhớ.

- Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho $x^{2} = a$ .

Số a > 0 có hai căn bậc hai là $\sqrt{a}$ và $- \sqrt{a}$ , trong đó $\sqrt{a}$ được gọi là căn bậc hai số học của a.

- Căn bậc ba của một số thực a là số x sao cho $x^{3} = a$ , kí hiệu $x = \sqrt[3]{a}$ .

- Phép khai phương đơn giản:

$\sqrt{A^{2}} = |A|$ (với mọi A)

$\sqrt{AB} = \sqrt{A} \cdot \sqrt{B}$ (với $A, B \geq 0$ )

$\sqrt{\frac{A}{B}} = \frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}$ (với $A \geq 0; B > 0)$

$\sqrt[3]{AB} = \sqrt[3]{A} \cdot \sqrt[3]{B}$ (với mọi $A, B$ )

$\sqrt[3]{\frac{A}{B}} = \frac{\sqrt[3]{A}}{\sqrt[3]{B}}$ (với mọi $B \neq 0$ )

b) Phương pháp giải:

- Sử dụng các hằng đẳng thức để biến đổi biểu thức trong căn.

- Sau đó sử dụng các phép khai phương để biến đổi và rút gọn biểu thức.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính giá trị các biểu thức sau:

a) $\sqrt{5^{2} . 3}$

b) $\sqrt{196}$

c) $\sqrt{{(2 - \sqrt{3})}^{2}} + \sqrt{{(1 - \sqrt{3})}^{2}}$

d) $\sqrt{{(0, 1 - \sqrt{0, 1})}^{2}}$

e) $\sqrt{{(\sqrt{5} - \sqrt{2})}^{2}} + \sqrt{{(\sqrt{5} + \sqrt{2})}^{2}}$

f) $\sqrt{{(\frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{2}})}^{2}}$

Hướng dẫn giải:

a) $\sqrt{5^{2} . 3} = |5| . \sqrt{3} = 5 \sqrt{3}$

b) $\sqrt{196} = \sqrt{2^{2} {. 7}^{2}} = |2| . |7| = 2.7 = 14$

c) $\sqrt{{(2 - \sqrt{3})}^{2}} + \sqrt{{(1 - \sqrt{3})}^{2}}$

$= |\sqrt{3} - 2| + |1 - \sqrt{3}|$

$= 2 - \sqrt{3} + \sqrt{3} - 1 = 1$

(vì $\{\begin{cases} \sqrt{3} < \sqrt{4} = 2 \Rightarrow |\sqrt{3} - 2| = 2 - \sqrt{2} \\ 1 = \sqrt{1} < \sqrt{3} \Rightarrow |1 - \sqrt{3}| = \sqrt{3} - 1 \end{cases}$ )

d) $\sqrt{{(0, 1 - \sqrt{0, 1})}^{2}} = |0, 1 - \sqrt{0, 1}|$

$= \sqrt{0, 1} - 0, 1$ (vì $\sqrt{0, 1} > 0, 1$ ).

Ví dụ 2. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $N = \sqrt{6 + 2 \sqrt{5}} - \sqrt{6 - 2 \sqrt{5}}$

b) $A = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}} - \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}$

Hướng dẫn giải:

a) $N = \sqrt{6 + 2 \sqrt{5}} - \sqrt{6 - 2 \sqrt{5}}$

$= \sqrt{5 + 2 \sqrt{5} + 1} - \sqrt{5 - 2 \sqrt{5} + 1}$

$= \sqrt{{(\sqrt{5} + 1)}^{2}} - \sqrt{{(\sqrt{5} - 1)}^{2}}$

$= |\sqrt{5} + 1| - |\sqrt{5} - 1| = \sqrt{5} + 1 - \sqrt{5} + 1 = 2$

b) $A = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}} - \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}$

$= \sqrt{\frac{4 + 2 \sqrt{3}}{4}} + \sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{3}}{4}}$

$= \frac{1}{2} (\sqrt{{(\sqrt{3} + 1)}^{2}} - \sqrt{{(\sqrt{3} - 1)}^{2}})$

$= \frac{1}{2} (|\sqrt{3} + 1| - |\sqrt{3} - 1|)$

$= \frac{1}{2} (\sqrt{3} + 1 - \sqrt{3} + 1) = 1$ .

Câu 3. Tính giá trị các biểu thức

a) $A = \frac{2 \sqrt{15} - 2 \sqrt{10} + \sqrt{6} - 3}{2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{10} - \sqrt{3} + \sqrt{6}}$

b) $B = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{6} + \sqrt{8} + \sqrt{16}}{\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{4}}$

Hướng dẫn giải:

a) $A = \frac{2 \sqrt{5.3} - 2 \sqrt{5.2} + \sqrt{3.2} - \sqrt{3.3}}{2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5.2} - \sqrt{3} + \sqrt{3.2}}$

$= \frac{2 \sqrt{5} (\sqrt{3} - \sqrt{2}) - \sqrt{3} (\sqrt{3} - \sqrt{2})}{2 \sqrt{5} (1 - \sqrt{2}) - \sqrt{3} (1 - \sqrt{2})}$

$= \frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2}) (2 \sqrt{5} - \sqrt{3})}{(2 \sqrt{5} - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{1 - \sqrt{2}}$

b) $B = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{2.3} + \sqrt{2.4} + \sqrt{4} + \sqrt{4}}{\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{4}}$

$= \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{4} + \sqrt{2.3} + \sqrt{2.4} + \sqrt{2.2}}{\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{4}}$

$= \frac{(\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{4}) + \sqrt{2} (\sqrt{3} + \sqrt{4} + \sqrt{2})}{\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{4}} = 1 + \sqrt{2}$

C. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tính:

a) $(\sqrt{27} - \sqrt{12} + 2 \sqrt{6}) : 3 \sqrt{3}$

b) $(\sqrt{12} - 2 \sqrt{18}) . \frac{\sqrt{2}}{2}$

c) $(\frac{1 - \sqrt{2}}{1 + \sqrt{2}} - \frac{1 + \sqrt{2}}{1 - \sqrt{2}}) : \sqrt{72}$

d) $(\frac{1}{\sqrt{3} - 2} - \frac{1}{\sqrt{3} + 2}) . \frac{2 - \sqrt{2}}{1 - \sqrt{2}}$

Hướng dẫn giải:

a) $(\sqrt{27} - \sqrt{12} + 2 \sqrt{6}) : 3 \sqrt{3}$

$= \frac{3 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} \sqrt{2}}{3 \sqrt{3}}$

$= \frac{\sqrt{3} (1 + 2 \sqrt{2})}{3 \sqrt{3}} = \frac{1 + 2 \sqrt{2}}{3}$

b) $(\sqrt{12} - 2 \sqrt{18}) . \frac{\sqrt{2}}{2}$

$= (\sqrt{12} - 2 \sqrt{18}) . \frac{\sqrt{2}}{{(\sqrt{2})}^{2}}$

$= \sqrt{\frac{12}{2}} - 2 \sqrt{\frac{18}{2}} = \sqrt{6} - 2 \sqrt{9} = \sqrt{6} - 6$

c) $(\frac{1 - \sqrt{2}}{1 + \sqrt{2}} - \frac{1 + \sqrt{2}}{1 - \sqrt{2}}) : \sqrt{72}$

$= \frac{{(1 - \sqrt{2})}^{2} - {(1 + \sqrt{2})}^{2}}{(1 - \sqrt{2}) (1 + \sqrt{2})} : \sqrt{72}$

$= \frac{(1 - \sqrt{2} - 1 - \sqrt{2}) (1 - \sqrt{2} + 1 + \sqrt{2})}{1 - {(\sqrt{2})}^{2}} : \sqrt{72}$

$(\frac{1 - \sqrt{2}}{1 + \sqrt{2}} - \frac{1 + \sqrt{2}}{1 - \sqrt{2}}) : \sqrt{72} = \frac{- 2 \sqrt{2} . 2}{1 - 2} : \sqrt{72}$

$= \frac{4 \sqrt{2}}{\sqrt{72}} = 4 \sqrt{\frac{2}{72}} = \frac{4}{\sqrt{36}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

d) $(\frac{1}{\sqrt{3} - 2} - \frac{1}{\sqrt{3} + 2}) . \frac{2 - \sqrt{2}}{1 - \sqrt{2}}$

$(\frac{1}{\sqrt{3} - 2} - \frac{1}{\sqrt{3} + 2}) . \frac{2 - \sqrt{2}}{1 - \sqrt{2}}$

$= \frac{4}{3 - 4} . \frac{2 - \sqrt{2}}{1 - \sqrt{2}} = \frac{4 \sqrt{2} (\sqrt{2} - 1)}{\sqrt{2} - 1} = 4 \sqrt{2}$

Bài 2. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\sqrt{5 + 2 \sqrt{6}} - \sqrt{5 - 2 \sqrt{6}}$

b) $\sqrt{17 - 12 \sqrt{2}} + \sqrt{9 + 4 \sqrt{2}}$

c) $\sqrt{\sqrt{5} - \sqrt{3 - \sqrt{29 - 12 \sqrt{5}}}}$

Hướng dẫn giải

$\begin{array}{l} \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}} - \sqrt{5 - 2 \sqrt{6}} \\ = \sqrt{{(\sqrt{3})}^{2} + 2 \sqrt{2} . \sqrt{3} + {(\sqrt{2})}^{2}} \\ - \sqrt{{(\sqrt{3})}^{2} - 2 \sqrt{2} . \sqrt{3} + \sqrt{2}} \\ = \sqrt{{(\sqrt{3} + \sqrt{2})}^{2}} - \sqrt{{(\sqrt{3} - \sqrt{2})}^{2}} \\ = |\sqrt{3} + \sqrt{2}| - |\sqrt{3} - \sqrt{2}| \\ = \sqrt{3} + \sqrt{2} - (\sqrt{3} - \sqrt{2}) \\ = \sqrt{3} + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} \\ = 2 \sqrt{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \sqrt{17 - 12 \sqrt{2}} + \sqrt{9 + 4 \sqrt{2}} \\ = \sqrt{{(2 \sqrt{2})}^{2} - 2.3.2 \sqrt{2} + 3^{2}} \\ + \sqrt{{(2 \sqrt{2})}^{2} + 2.2 \sqrt{2} + 1} \\ = \sqrt{{(2 \sqrt{2} - 3)}^{2}} + \sqrt{{(2 \sqrt{2} + 1)}^{2}} \\ = |2 \sqrt{2} - 3| + |2 \sqrt{2} + 1| \\ = 2 \sqrt{2} - 3 + 2 \sqrt{2} + 1 \\ = 2 \sqrt{2} - 2 \end{array}$

$\begin{array}{l} \sqrt{\sqrt{5} - \sqrt{3 - \sqrt{29 - 12 \sqrt{5}}}} \\ = \sqrt{\sqrt{5} - \sqrt{3 - (2 \sqrt{5} - 3)}} \\ = \sqrt{\sqrt{5} - \sqrt{6 - 2 \sqrt{5}}} \\ = \sqrt{\sqrt{5} - \sqrt{5 - 2 \sqrt{5} + 1}} \\ = \sqrt{\sqrt{5} - \sqrt{{(\sqrt{5} - 1)}^{2}}} \\ = \sqrt{\sqrt{5} - | \sqrt{5} - 1 |} \\ = \sqrt{\sqrt{5} - (\sqrt{5} - 1)} \\ = \sqrt{1} = 1 \end{array}$

Bài 4: Rút gọn biểu thức

$A = \sqrt{15 + \sqrt{60} + \sqrt{140} + \sqrt{84}}$

Tài liệu đầy đủ quý Thầy/Cô và bạn đọc vui lòng chọn mục tải xuống để xem chi tiết.

Các dạng bài tập Toán 9

Tuyệt chiêu giải bài tập rút gọn biểu thức chứa căn có đáp án

Xem thêm các chương trình khác: