80 bài tập về căn thức bậc hai nâng cao có lời giải chi tiết

1.2 K lượt xem

Bài trước

Bài sau

BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI PHẦN CĂN THỨC BẬC HAI

Bài 1: (CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2010 – 2011)

a) Rút gọn biểu thức:

$P = \frac{\sqrt{x + 2 \sqrt{x - 1}} + \sqrt{x - 2 \sqrt{x - 1}}}{\sqrt{x + \sqrt{2 x - 1}} - \sqrt{x - \sqrt{2 x - 1}}}$ với x $\geq 2$

$P = \frac{\sqrt{2} (\sqrt{x - 1 + 2 \sqrt{x - 1} + 1} + \sqrt{x - 1 - 2 \sqrt{x - 1} + 1})}{\sqrt{2 x - 1 + 2 \sqrt{2 x - 1} + 1} - \sqrt{2 x - 1 - 2 \sqrt{2 x - 1} + 1}}$

$P = \frac{\sqrt{2} (\sqrt{{(\sqrt{x - 1} + 1)}^{2}} + \sqrt{{(\sqrt{x - 1} - 1)}^{2}})}{\sqrt{{(\sqrt{2 x - 1} + 1)}^{2}} - \sqrt{{(\sqrt{2 x - 1} - 1)}^{2}}}$

$P = \frac{\sqrt{2} (\sqrt{x - 1} + 1 + |\sqrt{x - 1} - 1|)}{\sqrt{2 x - 1} + 1 - |\sqrt{2 x - 1} - 1|}$

$P = \frac{\sqrt{2} (\sqrt{x - 1} + 1 + \sqrt{x - 1} - 1)}{\sqrt{2 x - 1} + 1 - \sqrt{2 x - 1} + 1}$

(vì $x \geq 2$ nên $\sqrt{x - 1} \geq 1$ và $\sqrt{2 x - 1} \geq 1)$

$P = \frac{\sqrt{2} . 2 \sqrt{x - 1}}{2} = \sqrt{2 x - 2}$

b) Cho biểu thức $S_{n} = (\sqrt{5} + \sqrt{3})^{n} + (\sqrt{5} - \sqrt{3})^{n}$ với n là số nguyên dương.

Ta có:

$S_{2 n} = {(\sqrt{5} + \sqrt{3})}^{2 n} + {(\sqrt{5} - \sqrt{3})}^{2 n}$ $= {[{(\sqrt{5} + \sqrt{3})}^{n}]}^{2} + {[{(\sqrt{5} - \sqrt{3})}^{n}]}^{2}$

$S_{2 n} = {[{(\sqrt{5} + \sqrt{3})}^{n} + {(\sqrt{5} - \sqrt{3})}^{n}]}^{2}$ $- 2 {[(\sqrt{5} + \sqrt{3}) (\sqrt{5} - \sqrt{3})]}^{n}$

$S_{2 n} = {S_{n}}^{2} - 2 . 2^{n} = {S_{n}}^{2} - 2^{n + 1}$ (đpcm)

Ta có:

$S_{1} = 2 \sqrt{5}$

$S_{2} = {S_{1}}^{2} - 2^{2} = (2 \sqrt{5})^{2} - 4 = 16$

$S_{4} = {S_{2}}^{2} - 2^{3} = 16^{2} - 8 = 248$

$S_{8} = {S_{4}}^{2} - 2^{5} = 248^{2} - 32 = 61472$

Bài 2: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2011 – 2012)

a) Rút gọn biểu thức:

Ảnh đính kèm

Cách khác: Áp dụng hằng đẳng thức $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ , ta có:

$P^{2} = (2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}})$ $(2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}})$ $(2 - \sqrt{2 + 2 \sqrt{2 + \sqrt{3}}})$

$= (2 + \sqrt{3})$ $(2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}})$ $(2 - \sqrt{2 + \sqrt{3}})$

$= (2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})$

= 4-2=2

b) Cho $x = \sqrt[3]{1 + \sqrt{65}} - \sqrt[3]{\sqrt{65} - 1}$ . Tính $Q = x^{3} + 12 x + 2009$ .

Ta có:

Ảnh đính kèm

Bài 3: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2011 – 2012)

Rút gọn biểu thức:

Ảnh đính kèm

Bài 4: (CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2012 – 2013)

cho biểu thức

$P = \frac{1}{x - 5 \sqrt{x} + 6} - \frac{\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} - 2} + \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} - 3}$

a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức P.

P xác định $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x \geq 0 \\ x - 5 \sqrt{x} + 6 \neq 0 \\ \sqrt{x} - 2 \neq 0 \\ \sqrt{x} - 3 \neq 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x \geq 0 \\ \sqrt{x} - 2 \neq 0 \\ \sqrt{x} - 3 \neq 0 \end{cases}$ $\Leftrightarrow x \geq 0, x \neq 4, x \neq 9$

Vậy với $x \geq 0, x \neq 4, x \neq 9$ (*) thì biểu thức P xác định.

b) Với điều kiện vừa tìm, rút gọn biểu thức P.

$P = \frac{1}{(\sqrt{x} - 2) (\sqrt{x} - 3)} - \frac{\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} - 2} + \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} - 3}$

$= \frac{1 - {(\sqrt{x} - 3)}^{2} + {(\sqrt{x} - 2)}^{2}}{(\sqrt{x} - 2) (\sqrt{x} - 3)}$

$= \frac{1 - (x - 6 \sqrt{x} + 9) + (x - 4 \sqrt{x} + 4)}{(\sqrt{x} - 2) (\sqrt{x} - 3)}$

$= \frac{2 (\sqrt{x} - 2)}{(\sqrt{x} - 2) (\sqrt{x} - 3)} = \frac{2}{\sqrt{x} - 3}$

c) Tìm các số nguyên x để P có giá trị nguyên.

Theo b) $P = \frac{2}{\sqrt{x} - 3}$ . Do đó, nếu $\frac{2}{\sqrt{x} - 3}$ nguyên thì P nguyên.

$\frac{2}{\sqrt{x} - 3}$ nguyên $\Leftrightarrow (\sqrt{x} - 3)| 2 \Leftrightarrow \sqrt{x} - 3 = \pm 1; \pm 2$

Với $\sqrt{x} - 3 = 1 \Leftrightarrow x = 16;$

Với $\sqrt{x} - 3 = - 1 \Leftrightarrow x = 4$

Với $\sqrt{x} - 3 = 2 \Leftrightarrow x = 25;$

Với $\sqrt{x} - 3 = - 2 \Leftrightarrow x = 1 .$

Kết hợp với điều kiện (*) suy ra $x \in \{1; 16; 25\}$

Tài liệu đầy đủ quý Thầy/Cô và bạn đọc vui lòng chọn mục tải xuống để xem chi tiết.

Xem thêm các chương trình khác:

Bài trước

Bài sau

Các dạng bài tập Toán 9

80 bài tập về căn thức bậc hai nâng cao có lời giải chi tiết

Xem thêm các chương trình khác: