80 bài tập về căn thức bậc hai nâng cao có lời giải chi tiết

598 lượt xem

Bài trước

Bài sau

BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI PHẦN CĂN THỨC BẬC HAI

Bài 1: (CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2010 – 2011)

a) Rút gọn biểu thức:

$P = \frac{\sqrt{x + 2 \sqrt{x - 1}} + \sqrt{x - 2 \sqrt{x - 1}}}{\sqrt{x + \sqrt{2 x - 1}} - \sqrt{x - \sqrt{2 x - 1}}}$ với x $\geq 2$

$P = \frac{\sqrt{2} (\sqrt{x - 1 + 2 \sqrt{x - 1} + 1} + \sqrt{x - 1 - 2 \sqrt{x - 1} + 1})}{\sqrt{2 x - 1 + 2 \sqrt{2 x - 1} + 1} - \sqrt{2 x - 1 - 2 \sqrt{2 x - 1} + 1}}$

$P = \frac{\sqrt{2} (\sqrt{{(\sqrt{x - 1} + 1)}^{2}} + \sqrt{{(\sqrt{x - 1} - 1)}^{2}})}{\sqrt{{(\sqrt{2 x - 1} + 1)}^{2}} - \sqrt{{(\sqrt{2 x - 1} - 1)}^{2}}}$

$P = \frac{\sqrt{2} (\sqrt{x - 1} + 1 + |\sqrt{x - 1} - 1|)}{\sqrt{2 x - 1} + 1 - |\sqrt{2 x - 1} - 1|}$

$P = \frac{\sqrt{2} (\sqrt{x - 1} + 1 + \sqrt{x - 1} - 1)}{\sqrt{2 x - 1} + 1 - \sqrt{2 x - 1} + 1}$

(vì $x \geq 2$ nên $\sqrt{x - 1} \geq 1$ và $\sqrt{2 x - 1} \geq 1)$

$P = \frac{\sqrt{2} . 2 \sqrt{x - 1}}{2} = \sqrt{2 x - 2}$

b) Cho biểu thức $S_{n} = (\sqrt{5} + \sqrt{3})^{n} + (\sqrt{5} - \sqrt{3})^{n}$ với n là số nguyên dương.

Ta có:

$S_{2 n} = {(\sqrt{5} + \sqrt{3})}^{2 n} + {(\sqrt{5} - \sqrt{3})}^{2 n}$ $= {[{(\sqrt{5} + \sqrt{3})}^{n}]}^{2} + {[{(\sqrt{5} - \sqrt{3})}^{n}]}^{2}$

$S_{2 n} = {[{(\sqrt{5} + \sqrt{3})}^{n} + {(\sqrt{5} - \sqrt{3})}^{n}]}^{2}$ $- 2 {[(\sqrt{5} + \sqrt{3}) (\sqrt{5} - \sqrt{3})]}^{n}$

$S_{2 n} = {S_{n}}^{2} - 2 . 2^{n} = {S_{n}}^{2} - 2^{n + 1}$ (đpcm)

Ta có:

$S_{1} = 2 \sqrt{5}$

$S_{2} = {S_{1}}^{2} - 2^{2} = (2 \sqrt{5})^{2} - 4 = 16$

$S_{4} = {S_{2}}^{2} - 2^{3} = 16^{2} - 8 = 248$

$S_{8} = {S_{4}}^{2} - 2^{5} = 248^{2} - 32 = 61472$

Bài 2: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2011 – 2012)

a) Rút gọn biểu thức:

Ảnh đính kèm

Cách khác: Áp dụng hằng đẳng thức $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ , ta có:

$P^{2} = (2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}})$ $(2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}})$ $(2 - \sqrt{2 + 2 \sqrt{2 + \sqrt{3}}})$

$= (2 + \sqrt{3})$ $(2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}})$ $(2 - \sqrt{2 + \sqrt{3}})$

$= (2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})$

= 4-2=2

b) Cho $x = \sqrt[3]{1 + \sqrt{65}} - \sqrt[3]{\sqrt{65} - 1}$ . Tính $Q = x^{3} + 12 x + 2009$ .

Ta có:

Ảnh đính kèm

Bài 3: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2011 – 2012)

Rút gọn biểu thức:

Ảnh đính kèm

Bài 4: (CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2012 – 2013)

cho biểu thức

$P = \frac{1}{x - 5 \sqrt{x} + 6} - \frac{\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} - 2} + \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} - 3}$

a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức P.

P xác định $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x \geq 0 \\ x - 5 \sqrt{x} + 6 \neq 0 \\ \sqrt{x} - 2 \neq 0 \\ \sqrt{x} - 3 \neq 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x \geq 0 \\ \sqrt{x} - 2 \neq 0 \\ \sqrt{x} - 3 \neq 0 \end{cases}$ $\Leftrightarrow x \geq 0, x \neq 4, x \neq 9$

Vậy với $x \geq 0, x \neq 4, x \neq 9$ (*) thì biểu thức P xác định.

b) Với điều kiện vừa tìm, rút gọn biểu thức P.

$P = \frac{1}{(\sqrt{x} - 2) (\sqrt{x} - 3)} - \frac{\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} - 2} + \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} - 3}$

$= \frac{1 - {(\sqrt{x} - 3)}^{2} + {(\sqrt{x} - 2)}^{2}}{(\sqrt{x} - 2) (\sqrt{x} - 3)}$

$= \frac{1 - (x - 6 \sqrt{x} + 9) + (x - 4 \sqrt{x} + 4)}{(\sqrt{x} - 2) (\sqrt{x} - 3)}$

$= \frac{2 (\sqrt{x} - 2)}{(\sqrt{x} - 2) (\sqrt{x} - 3)} = \frac{2}{\sqrt{x} - 3}$

c) Tìm các số nguyên x để P có giá trị nguyên.

Theo b) $P = \frac{2}{\sqrt{x} - 3}$ . Do đó, nếu $\frac{2}{\sqrt{x} - 3}$ nguyên thì P nguyên.

$\frac{2}{\sqrt{x} - 3}$ nguyên $\Leftrightarrow (\sqrt{x} - 3)| 2 \Leftrightarrow \sqrt{x} - 3 = \pm 1; \pm 2$

Với $\sqrt{x} - 3 = 1 \Leftrightarrow x = 16;$

Với $\sqrt{x} - 3 = - 1 \Leftrightarrow x = 4$

Với $\sqrt{x} - 3 = 2 \Leftrightarrow x = 25;$

Với $\sqrt{x} - 3 = - 2 \Leftrightarrow x = 1 .$

Kết hợp với điều kiện (*) suy ra $x \in \{1; 16; 25\}$

Tài liệu đầy đủ quý Thầy/Cô và bạn đọc vui lòng chọn mục tải xuống để xem chi tiết.

Xem thêm các chương trình khác:

Bài trước

Bài sau

Các dạng bài tập Toán 9

80 bài tập về căn thức bậc hai nâng cao có lời giải chi tiết

Xem thêm các chương trình khác: