Cách xử lý nhanh gọn bài tập phương trình quy về phương trình bậc hai

192 lượt xem

Bài trước

Bài sau

PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

A. Phương pháp giải

1. Phương trình trùng phương

Phương trình trùng phương là phương trình có dạng: ${ax}^{4} + {bx}^{2} + c = 0$ $(a \neq 0)$

Phương trình trùng phương không phải là phương trình bậc hai, có thể đưa nó về phương trình bậc hai bằng cách đặt ẩn phụ. Ví dụ đặt $x^{2} = t$ thì ta được phương trình bậc hai ${at}^{2} + bt + c = 0$ .

Sau đó, sử dụng biệt thức $Δ$ và các công thức nghiệm để tìm t, từ đó suy ra x.

2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức

Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức, ta làm như sau:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình

Bước 2: Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu thức

Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được

Bước 4: Trong các giá trị tìm được của ẩn, loại các giá trị không thỏa mãn điều kiện xác định, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định là nghiệm của phương trình đã cho.

3. Phương trình tích

Đối với phương trình ta sự dụng phép nhân đa thức với đơn thức; đa thức với đa thức để khai triển, chuyển vế đưa phương trình về phương trình bậc hai.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải các phương trình trùng phương

a) $2 x^{4} + x^{2} - 3 = 0$

b) $2 x^{4} - 5 x^{2} + 2 = 0$

Hướng dẫn giải

a) Đặt $x^{2} = t$ . Điều kiện $t \geq 0$ . Ta được phương trình bậc hai với ẩn t: $2 t^{2} + t - 3 = 0$ $(*)$

Phương trình $(*)$ có dạng $a + b + c = 0$ nên phương trình có hai nghiệm $t_{1} = 1$ và $t_{2} = - \frac{3}{2}$ . Đối chiếu điều kiện thấy $t_{1}$ thỏa mãn, $t_{2}$ không thỏa mãn.

Với $t_{1} = 1$ , ta có $x^{2} = 1 \Rightarrow x = \pm 1$

Vậy phương trình có hai nghiệm $x_{1} = - 1$ , $x_{2} = 1$

b) Đặt $x^{2} = t$ . Điều kiện $t \geq 0$ . Ta được phương trình bậc hai với ẩn t: $2 t^{2} - 5 t + 2 = 0$ $(*)$

Ta có: $Δ = {(- 5)}^{2} - 4.2.2 = 9$ >0. Khi đó phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt:

$t_{1} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{1}{2}$ (thỏa mãn) và $t_{2} = \frac{5 + 3}{4} = 2$ (thỏa mãn)

+) Với $t_{1} = \frac{1}{2}$ , ta có $x^{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow x_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ , $x_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

+) Với $t_{2} = 2$ , ta có $x^{2} = 2 \Rightarrow x_{3} = - \sqrt{2}$ , $x_{4} = \sqrt{2}$

Vậy phương trình có bốn nghiệm: $x_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ , $x_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ , $x_{3} = - \sqrt{2}$ , $x_{4} = \sqrt{2}$

Ví dụ 2: Giải các phương trình

a) $\frac{x + 2}{x - 5} + 3 = \frac{6}{2 - x}$

b) $\frac{4}{x + 1} = \frac{- x^{2} - x + 2}{(x + 1) (x + 2)}$

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện: $x \neq 2$ ; $x \neq 5$ , phương trình tương đương:

$\frac{x + 2}{x - 5} + 3 = \frac{6}{2 - x}$

$\Leftrightarrow (x + 2) (2 - x) + 3 (x - 5) (2 - x) = 6 (x - 5)$

$\Leftrightarrow - 4 x^{2} + 15 x + 4 = 0$

Ta có:

$Δ = 15^{2} - 4 (- 4) 4 = 289$ >0

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$[\begin{array}{l} x_{1} = \frac{- 15 - 17}{- 8} = 4 (ktm) \\ x_{2} = \frac{- 15 + 17}{- 8} = - \frac{1}{4} (tm) \end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x = - \frac{1}{4}$

b) Điều kiện: $x \neq - 1$ ; $x \neq - 2$ , phương trình tương đương:

$\frac{4}{x + 1} = \frac{- x^{2} - x + 2}{(x + 1) (x + 2)}$ $\Leftrightarrow 4 (x + 2) = - x^{2} - x + 2$ $\Leftrightarrow x^{2} + 5 x + 6 = 0$ $(*)$

Ta có:

$Δ = 5^{2} - 4.6 = 1$ >0

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$[\begin{array}{l} x_{1} = \frac{- 5 - 1}{2} = - 3 (tm) \\ x_{2} = \frac{- 5 + 1}{2} = - 2 (ktm) \end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x = - 3$

Ví dụ 3: Giải các phương trình

a) $(x^{2} - 2 x + 1) (x^{2} - 4)$

b) $x^{3} + 2 x^{2} - 5 x + 2 = 0$

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

$(x^{2} - 2 x + 1) (x^{2} - 4) = 0$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x^{2} - 2 x + 1 = 0 (1) \\ x^{2} - 4 = 0 (2) \end{cases}$

$(1) \Leftrightarrow x^{2} - 2 x + 1 = 0$

$\Leftrightarrow {(x - 1)}^{2} = 0 \Rightarrow$ phương trình có nghiệm $x_{1} = 1$

$(2) \Leftrightarrow x^{2} - 4 = 0 \Rightarrow$ phương trình có hai nghiệm $x_{2} = - 2$ , $x_{3} = 2$

Vậy phương trình có ba nghiệm: $x_{1} = 1$ , $x_{2} = - 2$ , $x_{3} = 2$

b) Ta có:

$x^{3} + 2 x^{2} - 5 x + 2 = 0$

$\Leftrightarrow x^{3} - x^{2} + 3 x^{2} - 3 x - 2 x + 2 = 0$

$\Leftrightarrow x^{2} (x - 1) + 3 x (x - 1) - 2 (x - 1) = 0 \Leftrightarrow (x - 1) (x^{2} + 3 x - 2) = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x - 1 = 0 \\ x^{2} + 3 x - 2 = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x_{1} = 1 \\ x_{2} = \frac{- 3 - \sqrt{17}}{2} \\ x_{3} = \frac{- 3 + \sqrt{17}}{2} \end{array}$

Vậy phương trình có ba nghiệm: $x_{1} = 1$ , $x_{2} = \frac{- 3 - \sqrt{17}}{2}$ , $x_{3} = \frac{- 3 + \sqrt{17}}{2}$

C. Bài tập tự luyện

Bài 1: (Đề thi vào lớp 10 môn Toán, Tp. Cần Thơ, năm 2017)

Giải các phương trình và hệ phương trình sau trên tập số thực:

a) $2 x^{2} - 9 x + 10 = 0$

b) ${(x - 1)}^{4} - 8 {(x - 1)}^{2} - 9 = 0$

Tài liệu đầy đủ quý Thầy/Cô và bạn đọc vui lòng chọn mục tải xuống để xem chi tiết.

Xem thêm các chương trình khác:

Bài trước

Bài sau

Các dạng bài tập Toán 9

Cách xử lý nhanh gọn bài tập phương trình quy về phương trình bậc hai

Xem thêm các chương trình khác: