Bài tập phương trình quy về phương trình bậc hai chọn lọc

228 lượt xem

PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Phương trình trùng phương

Phương trình trùng phương là phương trình có Dạng $a x^{4} + b x^{2} + c = 0$ $(a \neq 0)$ .

Cách giải: Đặt $t = x^{2}$ $(t \geq 0)$ , đưa về phương trình bậc hai $a t^{2} + b t + c = 0$ .

2. Phương trình bậc bốn dạng: $(x + a) (x + b) (x + c) (x + d) = m$ với $a + b = c + d$

Cách giải: Đặt $t = x^{2} + (a + b) x$ , đưa về phương trình bậc hai $(t + a b) (t + c d) = m .$

3. Phương trình bậc bốn dạng: ${(x + a)}^{4} + {(x + b)}^{4} = c$

Cách giải: Đặt $t = x + \frac{a + b}{2}$ , đưa về phương trình trùng phương theo t.

Chú ý: ${(x \pm y)}^{4} = x^{4} \pm 4 x^{3} y + 6 x^{2} y^{2} \pm 4 x y^{3} + y^{4} .$

4. Phương trình bậc bốn dạng: $a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} \pm b x + a = 0$

Cách giải:

- Nhận xét $x = 0$ không phải là nghiệm của phương trình.

- Với $x \neq 0$ , chia 2 vế của phương trình cho $x^{2}$ ta được: $a (x^{2} + \frac{1}{x^{2}}) + b (x \pm \frac{1}{x}) + c = 0 .$

Đặt $t = x \pm \frac{1}{x}$ , đưa về phương trình bậc hai theo t.

5. Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức

Cách giải: Thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.

Bước 2: Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu thức.

Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.

Bước 4: Trong các giá trị tìm được của ẩn, loại các giá trị không thỏa mãn điều kiện xác định, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định là nghiệm của phương trình đã cho.

6. Phương trình tích

Phương trình tích là phương trình có dạng $A . B = 0 .$

Cách giải: $A . B = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} A = 0 \\ B = 0 \end{array}$

7. Phương trình chứa căn thức

$\sqrt{f (x)} = g (x) \Leftrightarrow \{\begin{cases} g (x) \geq 0 \\ f (x) = {[g (x)]}^{2} \end{cases}$

$a f (x) + b \sqrt{f (x)} + c = 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} t = \sqrt{f (x)}, t \geq 0 \\ a t^{2} + b t + c = 0 \end{cases}$

8. Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

Cách giải: Có thể dùng các phương pháp sau để bỏ giá trị tuyệt đối:

+ Dùng định nghĩa hoặc tính chất giá trị tuyệt đối.

+ Đặt ẩn phụ.

9. Phương trình dạng $A^{2} + B^{2} = 0$

Cách giải: $A^{2} + B^{2} = 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} A = 0 \\ B = 0 \end{cases}$

10. Tìm m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt:

- Nhẩm một nghiệm $x_{0}$ rồi đưa phương trình về dạng: $(x - x_{0}) (a x^{2} + b x + c) = 0$ . Để phương trình có 3 nghiệm phân biệt thì: $f (x) = a x^{2} + b x + c = 0$ phải có hai nghiệm phân biệt khác $x_{0}$ . Suy ra:

$\{\begin{cases} a \neq 0 \\ Δ > 0 \\ f (x_{0}) \neq 0 \end{cases} \Rightarrow$ m

11. Tìm m để phương trình ${ax}^{4} + {bx}^{2} + c = 0$ (1) có 4 nghiệm:

- Đặt $t = x^{2}$ $(t \geq 0)$ . Suy ra $a t^{2} + b t + c = 0$ (2). Để phương trình (1) có 4 nghiệm thì phương trình (2) phải có hai nghiệm dương phân biệt. Suy ra:

$\{\begin{cases} a \neq 0; Δ > 0 \\ \frac{- b}{a} > 0 \\ \frac{c}{a} > 0 \end{cases} \Rightarrow$ m

B. BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1: Giải các phương trình sau:

a) $4 x^{4} + 8 x^{2} - 12 = 0$

b) $12 x^{4} - 5 x^{2} + 30 = 0$

c) $8 x^{4} - x^{2} - 7 = 0$

d) $5 x^{4} - 3 x^{2} + \frac{7}{16} = 0$

e) $4 x^{4} + 7 x^{2} - 2 = 0$

f) $x^{4} - 13 x^{2} + 36 = 0$

g) $2 x^{4} + 5 x^{2} + 2 = 0$

Bài 2: Giải các phương trình sau:

a) $x (x + 1) (x + 2) (x + 3) = 24$

b) $(x + 1) (x + 4) (x^{2} + 5 x + 6) = 24$

c) ${(x + 1)}^{4} + {(x + 3)}^{4} = 2$

d) ${(x + 2)}^{2} (x^{2} + 4 x) = 5$

e) $3 (x^{2} + \frac{1}{x^{2}}) - 16 (x + \frac{1}{x}) + 26 = 0$

f) $2 (x^{2} + \frac{1}{x^{2}}) - 7 (x - \frac{1}{x}) + 2 = 0$

Bài 3: Giải các phương trình sau:

a) ${(x^{2} - 2 x)}^{2} - 2 (x^{2} - 2 x) - 3 = 0$

b) ${(x^{2} + 4 x + 2)}^{2} + 4 x^{2} + 16 x + 11 = 0$

c) ${(x^{2} - x)}^{2} - 8 (x^{2} - x) + 12 = 0$

d) ${(2 x + 1)}^{4} - 8 {(2 x + 1)}^{2} - 9 = 0$

e) $(x^{4} + 4 x^{2} + 4) - 4 (x^{2} + 2) - 77 = 0$

f) ${(\frac{2 x - 1}{x + 2})}^{2} - 4 (\frac{2 x - 1}{x + 2}) + 3 = 0$

Bài 4: Giải các phương trình sau:

a) $\frac{2 x - 5}{x - 1} = \frac{3 x}{x - 2}$

b) $\frac{4 x}{x + 2} = \frac{x + 1}{x - 2}$

c) $\frac{2 x}{x - 2} - \frac{5}{x - 3} = \frac{5}{x^{2} - 5 x + 6}$

d) $\frac{1}{3 x^{2} - 27} + \frac{3}{4} = 1 + \frac{1}{x - 3}$

e) $\frac{x}{x - 2} + \frac{x + 3}{x - 1} = 6$

f) $\frac{2 x - 1}{x} + 3 = \frac{x + 3}{2 x - 1}$

Bài 5: Giải các phương trình sau:

a) $(4 x^{2} - 25) (2 x^{2} - 7 x - 9) = 0$

b) ${(2 x^{2} - 3)}^{2} - 4 {(x - 1)}^{2} = 0$

c) $2 x {(3 x - 1)}^{2} - 9 x^{2} + 1 = 0$

d) $x^{3} + 3 x^{2} + x + 3 = 0$

e) $x^{3} + 5 x^{2} + 7 x + 3 = 0$

f) $x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6 = 0$

Bài 6: Tìm m để các phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:

a) $x^{3} - (2 m + 1) x^{2} + 3 (m + 4) x - m - 12 = 0$

b) $x^{3} + (2 m - 3) x^{2} + (m^{2} - 2 m + 2) x - m^{2} = 0$

Bài 7: Tìm m để các phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt:

a) $x^{4} - (2 m + 1) x^{2} + m^{2} = 0$

b) $(x^{2} - 1) (x + 3) (x + 5) = m$

Bài 8: Giải các phương trình sau:

a) $3 x^{2} - 14 |x| - 5 = 0$

b) $|x - 1| + x^{2} = x + 3$

c) $|x + 2| - 2 x + 1 = x^{2} + 2 x + 3$

d) $|x^{2} + 1| - \sqrt{x^{2} - 4 x + 4} = 3 x$

Bài 9: Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt{x - 5} = x - 7$

b) $\sqrt{x + 2} - \sqrt{x - 6} = 2$

c) $\sqrt{3 x + 7} - \sqrt{x + 1} = 2$

d) $x^{2} + \sqrt{x^{2} - 3 x + 5} = 3 x + 7$

e) $\sqrt{x^{2} - 4 x} = \sqrt{x + 14}$

f) $\sqrt{2 x^{2} + 6 x + 1} = x + 2$

Bài 10: Giải các hệ phương trình sau: (Đưa về Dạng $A^{2} + B^{2} = 0$ )

a) $\{\begin{cases} x^{2} + y^{2} + z^{2} = 27 \\ x y + y z + z x = 27 \end{cases}$

b) $\{\begin{cases} x + y + z = 6 \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 12 \end{cases}$

Bài 11: Giải các phương trình trùng phương

a) $2 x^{4} + x^{2} - 3 = 0$

b) $2 x^{4} - 5 x^{2} + 2 = 0$

Bài 12: Giải các phương trình

a) $\frac{x + 2}{x - 5} + 3 = \frac{6}{2 - x}$

b) $\frac{4}{x + 1} = \frac{- x^{2} - x + 2}{(x + 1) (x + 2)}$

Bài 13: Giải các phương trình

a) $(x^{2} - 2 x + 1) (x^{2} - 4)$

b) $x^{3} + 2 x^{2} - 5 x + 2 = 0$

Bài 14: (Đề thi vào lớp 10 môn Toán, Tp. Cần Thơ, năm 2017)

Giải các phương trình và hệ phương trình sau trên tập số thực:

a) $2 x^{2} - 9 x + 10 = 0$

b) $\{\begin{cases} 3 x - 2 y = 9 \\ x - 3 y = 10 \end{cases}$

c) ${(x - 1)}^{4} - 8 {(x - 1)}^{2} - 9 = 0$

Bài 15: Giải các phương trình sau

a) ${(x + 2)}^{2} + {(x + 4)}^{4} = 16$

b) $2 x^{4} + 5 x^{3} - x^{2} - 5 x + 2 = 0$

Tài liệu đầy đủ quý Thầy/Cô và bạn đọc vui lòng chọn mục tải xuống để xem chi tiết.

Các dạng bài tập Toán 9

Bài tập phương trình quy về phương trình bậc hai chọn lọc

Xem thêm các chương trình khác: