Bài tập giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dạng tìm số có đáp án chi tiết

289 lượt xem

GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH

BÀI TOÁN TÌM SỐ

A. Phương pháp giải

1. Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

+ Bước 1: Chọn ẩn, đơn vị cho ẩn, điều kiện thích hợp cho ẩn

+ Bước 2: Biểu đạt các đại lượng khác theo ẩn

+ Bước 3: Dựa vào các dữ kiện của bài toán để lập phương trình hoặc hệ phương trình

+ Bước 4: Giải phương trình hoặc hệ phương trình

+ Bước 5: So sánh kết quả bài toán, tìm kết quả thích hợp và kết luận

2. Sử dụng công thức cấu tạo số để giải quyết.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm một số có hai chữ số nếu chia số đó cho tổng hai chữ số được thương là 6 nếu cộng tích hai chữ số với 25 thì được số nghịch đảo.

Hướng dẫn giải

Gọi chữ số hàng chục là x; chữ số hàng đơn vị là y (x, y $\in N$ )

Nếu chia số đó cho tổng 2 chữ số ta có: $\frac{10 x + y}{x + y} = 6$ ;

Nếu lấy tích cộng thêm 25 ta có $x y + 25 = 10 y + x$

Theo bài ra ta có HPT:

$\{\begin{cases} \frac{10 x + y}{x + y} = 6 \\ x y + 25 = 10 y + x \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 10 x + y = 6 x + 6 y \\ x y + 25 = 10 y + x \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 4 x = 5 y \\ x y + 25 = 10 y + x \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \frac{5 y}{4} (1) \\ x y + 25 = 10 y + x (2) \end{cases}$

Thay $x = \frac{5 y}{4}$ vào phương trình (2), ta được:

$\frac{5 y}{4} . y + 25 = 10 y + \frac{5 y}{4}$

$\Leftrightarrow 5 y^{2} + 100 = 40 y + 5 y$

$\Leftrightarrow 5 y^{2} - 45 y + 100 = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} y = 5 \\ y = 4 \end{array}$

Với y = 5 thì x=6,25 (không thỏa mãn)

Với y = 4 thì x = 5 (thỏa mãn)

Vậy số cần tìm là 54.

Ví dụ 2: Tìm 2 số biết tổng của chúng bằng 1006 nếu lấy số lớn chia cho số bé được thương là 2 và số dư 124.

Hướng dẫn giải

Gọi số lớn là x, gọi số bé là y; đk x, y thuộc N

Tổng của chúng là: x + y = 1006 (1)

Số lớn chia số bé được thương là 2, số dư là 124, nghĩa là: $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} y = 5 \\ y = 4 \end{array}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

$\{\begin{cases} x + y = 1006 \\ x = 2 y + 124 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 y + 124 + y = 1006 \\ x = 2 y + 124 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 y = 882 \\ x = 2 y + 124 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} y = 294 \\ x = 2.294 + 124 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} y = 294 \\ x = 712 \end{cases}$

Vậy số lớn là 712; số bé là 294

Ví dụ 3: Cho một số có hai chữ số. Nếu đổi chỗ hai chữ số của nó thì được một số lớn hơn số đã cho là 63. Tổng của số đã cho và số mới tạo thành bằng 99. Tìm số đã cho.

Hướng dẫn giải

Gọi chữ số hàng chục là x, chữ số hàng đơn vị là y: $x, y \in N *; x, y \leq 9$

Số đã cho là $\bar{x y} = 10 x + y$ , và số mới đã đổi chỗ hai chữ số là $\bar{yx} = 10 y + x$

Tổng của hai số đã cho là 99, nghĩa là: $10 x + y + 10 y + x = 99$

Số mới lớn hơn số đã cho 63, ta có: $10 y + x - (10 x + y) = 63$

Từ đó, ta có hệ phương trình:

$\{\begin{cases} 10 y + x - 63 = 10 x + y \\ 10 x + y + 10 y + x = 99 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} - 9 x + 9 y = 63 \\ 11 x + 11 y = 99 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} - 9 x + 9 y = 63 \\ 9 x + 9 y = 81 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} - 9 x + 9 y = 63 \\ 18 y = 144 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} - 9 x + 9.8 = 63 \\ y = 8 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 1 \\ y = 8 \end{cases}$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy số đã cho là: 18.

Ví dụ 4: Tìm số có hai chữ số biết rằng phân số có tử số là số đó, mẫu số là tích của hai chữ số của nó có phân số tối giản là 16/9 và hiệu của số cần tìm với số có cùng các chữ số với nó nhưng viết theo thứ tự ngược lại bằng 27.

Hướng dẫn giải

Gọi số cần tìm là $\bar{x y}$ với $x, y \in; 1 \leq x, y \leq 9$

Số có hai chữ số biết rằng phân số có tử số là số đó, mẫu số là tích của hai chữ số của nó có phân số tối giản là 16/9:

$\frac{\bar{x y}}{x y} = \frac{10 x + y}{x y} = \frac{16}{9}$

Hiệu của số cần tìm với số có cùng các chữ số với nó nhưng viết theo thứ tự ngược lại bằng 27:

$\bar{x y} - \bar{yx} = 10 x + y - (10 y + x) = 27$

Từ đó, ta có hệ phương trình:

$\{\begin{cases} \frac{10 x + y}{x y} = \frac{16}{9} \\ 10 x + y - (10 y + x) = 27 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x - y = 3 \\ 90 x + 9 y = 16 x y \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x = y + 3 (1) \\ 90 x + 9 y = 16 x y (2) \end{cases}$

Thế (1) vào (2), ta được:

$90 (y + 3) + 9 y = 16 (y + 3) y$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 90 y + 270 + 9 y = 16 y^{2} + 48 y \\ \Leftrightarrow 16 y^{2} - 51 y - 270 = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} y = 6 (T M) \\ y = - \frac{45}{16} (l o a i) \end{array} \end{array}$

Với y = 6, suy ra x = 6+3 = 9 (thỏa mãn).

Vậy số cần tìm là 96.

Ví dụ 5: Tìm tất cả các số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng chữ số hàng đơn vị nhỏ hơn chữ số hàng chục là 2 và tích của hai chữ số đó của nó luôn lớn hơn tổng hai chữ số của nó là 34.

Hướng dẫn giải

Gọi chữ số phải tìm là $\bar{a b}; 0 \leq a, b \leq 9, a \neq 0$ .

Vì chữ số hàng đơn vị nhỏ hơn chữ số hàng chục là 2 do đó ta có phương trình:

$a - b = 2 .$

Vì tích của hai chữ số đó của nó luôn lớn hơn tổng hai chữ số của nó là 34, do đó ta có phương trình:

$a . b - (a + b) = 34 .$

Theo bài ra ta có hệ phương trình:

$\{\begin{cases} a - b = 2 \\ a . b - (a + b) = 34 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} a = b + 2 (1) \\ a . b - (a + b) = 34 (2) \end{cases}$

Thế (1) vào (2), ta được:

$(b + 2) . b - (b + 2 + b) = 34$

$\Leftrightarrow b^{2} = 36 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} b = 6 (T M) \\ b = - 6 (l o a i) \end{array}$

Với b = 6, suy ra a = 6+2 = 8.

Vậy số phải tìm là 86.

C. Bài tập tự luyện

Bài 1: Cho số có hai chữ số nếu đổi chỗ hai chữ số thì được một số lớn hơn số đã cho là 63. Tổng của số đã cho và số mới tạo thành bằng 99. Tìm số đã cho.

Bài 2: Cho một số tự nhiên có hai chữ số nếu đổi chỗ hai chữ số của nó thì được một số lớn hơn số đã cho là 36, tổng của số đã cho và số mới tạo thành là 110. Tìm số đã cho.

Bài 3: Tìm một số có hai chữ số, biết rằng tổng các chữ số là 16, nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau thì được số mới nhỏ hơn của số ban đầu là 18 đơn vị.

Bài 4: Tổng của hai số bằng 59, hai lần của số này bé hơn 3 lần của số kia là 7. Tìm hai số đó.

Bài 5: Tìm hai số biết rằng hiệu của chúng bằng 1275 và nếu lấy số lớn chia cho số bé thì được thương là 3 và số dư là 125.

Các dạng bài tập Toán 9

Bài tập giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dạng tìm số có đáp án chi tiết

Xem thêm các chương trình khác: