Các dạng bài tập phương trình bậc hai một ẩn có lời giải chi tiết

226 lượt xem

CHƯƠNG IV. HÀM SỐ $y = {ax}^{2}$ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

BÀI 2: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

A- Lý thuyết:

1. Định nghĩa

Phương trình bậc hai một ẩn (nói gọn là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng: ${ax}^{2} + bx + c = 0$

Trong đó: x là ẩn; a, b, c là những số cho trước gọi là các hệ số và $a \neq 0$ .

2. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

Công thức nghiệm dạng đặc biệt:

+) Nếu phương trình ${ax}^{2} + bx + c = 0$ $(a \neq 0)$ có $a + b + c = 0$ thì phương trình có một nghiệm là $x_{1} = 1$ , nghiệm còn lại là $x_{2} = \frac{c}{a}$ .

+) Nếu phương trình ${ax}^{2} + bx + c = 0$ $(a \neq 0)$ có $a - b + c = 0$ thì phương trình có một nghiệm là $x_{1} = - 1$ , nghiệm còn lại là $x_{2} = - \frac{c}{a}$ .

3. Hệ thức Vi-ét và ứng dụng

Nếu $x_{1}$ , $x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình ${ax}^{2} + bx + c = 0$ $(a \neq 0)$ thì

$\{\begin{cases} S = x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} \\ P = x_{1} . x_{2} = \frac{c}{a} \end{cases}$

B- Bài tập:

Bài 1: Đưa các phương trình sau về dạng ${ax}^{2} + bx + c = 0$

a) $3 x^{2} - 3 x + 3 = 2 + x$

b) $x^{2} - 2 x + 4 = 2 x^{2} + x$

c) $3 x^{2} - 3 x + 3 = m$ (với m là hằng số)

d) $3 x^{2} - 3 x + 3 = m^{2} x + m - 1$ (với m là hằng số)

Giải

a) $3 x^{2} - 3 x + 3 = 2 + x$

$\Leftrightarrow 3 x^{2} - 3 x + 3 - 2 - x = 0$

$\Leftrightarrow 3 x^{2} - 4 x + 1 = 0$

b) $x^{2} - 2 x + 4 = 2 x^{2} + x$

$\Leftrightarrow x^{2} - 2 x + 4 - 2 x^{2} - x = 0$

$\Leftrightarrow - x^{2} - 3 x + 4 = 0$

c) $3 x^{2} - 3 x + 3 = m$

$\Leftrightarrow 3 x^{2} - 3 x + 3 - m = 0$

d) $3 x^{2} - 3 x + 3 = m^{2} x + m - 1$

$\Leftrightarrow 3 x^{2} - 3 x + 3 - m^{2} x - m + 1$

$\Leftrightarrow 3 x^{2} - (3 + m^{2}) x - m + 4 = 0$

Bài 2: Đưa các phương trình sau về dạng ${ax}^{2} + bx + c = 0$ và xác định các hệ số a, b, c.

a) $x^{2} - 3 x + 1 = - 3 - x$

b) $x^{2} - x + 1 = 1 + x - x^{2}$

c) $x^{2} - 3 x = m - 5$ (với m là hằng số)

d) $2 x^{2} - x + 3 = m^{2} x^{2} - mx$ (với m là hằng số)

Giải

a) $x^{2} - 3 x + 1 = - 3 - x$

$\Leftrightarrow x^{2} - 3 x + 1 + 3 + x = 0$

$\Leftrightarrow x^{2} - 2 x + 4 = 0$

Với giá trị các hệ số $\{\begin{cases} a = 1 \\ b = - 1 \\ c = 4 \end{cases}$

b) $x^{2} - x + 1 = 1 + x - x^{2}$

$\Leftrightarrow x^{2} - x + 1 - 1 - x + x^{2} = 0$

$\Leftrightarrow 2 x^{2} - 2 x = 0$

Với giá trị các hệ số $\{\begin{cases} a = 2 \\ b = - 2 \\ c = 0 \end{cases}$

c) $x^{2} - 3 x = m - 5$

$\Leftrightarrow x^{2} - 3 x - m + 5 = 0$

Với giá trị các hệ số $\{\begin{cases} a = 1 \\ b = - 3 \\ c = - m + 5 \end{cases}$

d) $2 x^{2} - x + 3 = m^{2} x^{2} - mx$

$\Leftrightarrow 2 x^{2} - x + 3 - m^{2} x^{2} + mx = 0$

$\Leftrightarrow (2 - m^{2}) x^{2} - (1 - m) x + 3 = 0$

Với giá trị các hệ số $\{\begin{cases} a = 2 - m^{2} \\ b = - (1 - m) \\ c = 3 \end{cases}$

Ảnh đính kèm

Bài 1: Giải các phương trình sau:

a) $3 x^{2} - 3 x = 0$

b) $x^{2} - 2 x + 1 = 0$

Giải

a) $3 x^{2} - 3 x = 0 \Leftrightarrow 3 x (x - 1) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 1 \end{array}$

Vậy phương trình có 2 nghiệm $x_{1} = 0$ và $x_{2} = 1$ .

b) $x^{2} - 2 x + 1 = 0 \Leftrightarrow {(x - 1)}^{2} = 0 \Leftrightarrow x = 1$

Vậy phương trình có 1 nghiệm $x = 1$ .

Bài 2: Giải các phương trình sau:

a) $2 x^{2} - 4 x = 5$

b) $x^{2} - x = - 1$

Giải

a) $2 x^{2} - 4 x = 5 \Leftrightarrow 2 x^{2} - 4 x + 2 = 5 + 2$

$\Leftrightarrow 2 {(x - 1)}^{2} = 7$

$\Leftrightarrow {(x - 1)}^{2} = \frac{7}{2} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x - 1 = \sqrt{\frac{7}{2}} \\ x - 1 = - \sqrt{\frac{7}{2}} \end{array}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 + \sqrt{\frac{7}{2}} \\ x = 1 - \sqrt{\frac{7}{2}} \end{array}$

Vậy phương trình có 2 nghiệm $x_{1} = 1 - \sqrt{\frac{7}{2}}$ , $x_{2} = 1 + \sqrt{\frac{7}{2}}$

b) $x^{2} - x = - 1$

$\Leftrightarrow x^{2} - 2 . \frac{1}{2} . x + \frac{1}{4} = - 1 + \frac{1}{4}$

$\Leftrightarrow {(x^{2} - \frac{1}{2})}^{2} = - \frac{3}{4}$

Phương trình vô nghiệm (do $V T > 0$ ; $V P < 0$ ).

Ảnh đính kèm

Bài 1: Giải các phương trình sau:

a) $2 x^{2} - 3 x + 1 = 0$

b) $x^{2} - 4 x + 4 = 0$

c) $x^{2} + 3 x + 4 = 0$

d) $- 4 y^{2} + 3 y + 1 = 0$

Giải

a) Ta có: $Δ = b^{2} - 4 ac$

$\Leftrightarrow Δ = {(- 3)}^{2} - 4.2.1 \Leftrightarrow Δ = 1$

Vì $Δ > 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt $[\begin{array}{l} x_{1} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a} = \frac{3 - 1}{4} = \frac{1}{2} \\ x_{2} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a} = \frac{3 + 1}{4} = 1 \end{array}$

b) Ta có: $Δ = b^{2} - 4 ac \Leftrightarrow Δ = {(- 4)}^{2} - 4.1.4$

$\Leftrightarrow Δ = 16 - 16 = 0$

Vì $Δ = 0$ nên phương trình có nghiêm kép $x_{1} = x_{2} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{- 4}{2.1} = 2$

c) Ta có: $Δ = b^{2} - 4 ac \Leftrightarrow Δ = {(3)}^{2} - 4.1.4$

$\Leftrightarrow Δ = 9 - 16 = - 7$

Vì $Δ < 0$ nên phương trình vô nghiệm.

d) Ta có: $Δ = b^{2} - 4 ac \Leftrightarrow Δ = {(3)}^{2} - 4 . (- 4) . 1$ $\Leftrightarrow Δ = 9 + 16 = 25$

Vì $Δ > 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt $[\begin{array}{l} y_{1} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a} = \frac{- 3 - 5}{2 . (- 4)} = 1 \\ y_{2} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a} = \frac{- 3 + 5}{2 . (- 4)} = - \frac{1}{4} \end{array}$

Bài 2: Giải các phương trình sau:

a) $4 x^{2} - 6 x + 1 = 0$

b) $2 x^{2} - 5 x + 3 = 0$

c) $7 x^{2} + 13 x + 6 = 0$

d) $- 3 x^{2} + 4 \sqrt{6} x + 4 = 0$

Giải

a) Ta có: $Δ' = {b'}^{2} - 4 ac \Leftrightarrow Δ' = {(- 3)}^{2} - 4.1$

$\Leftrightarrow Δ' = 9 - 4 = 5$

Vì $Δ' > 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt $[\begin{array}{l} x_{1} = \frac{- b' - \sqrt{Δ'}}{a} = \frac{- 3 - \sqrt{5}}{4} \\ x_{2} = \frac{- b' + \sqrt{Δ'}}{a} = \frac{- 3 + \sqrt{5}}{4} \end{array}$

b) Ta thấy phương trình có dạng: $a + b + c = 2 - 5 + 3 = 0$ .

$\Rightarrow$ Phương trình có một nghiệm $x_{1} = 1$ và nghiệm còn lại $x_{2} = \frac{c}{a} = \frac{3}{2}$ .

c) Ta thấy phương trình có dạng: $a - b + c = 7 - 13 + 6 = 0$ .

$\Rightarrow$ Phương trình có một nghiệm $x_{1} = - 1$ và nghiệm còn lại $x_{2} = - \frac{c}{a} = - \frac{6}{7}$ .

d) Ta có: $Δ' = {b'}^{2} - 4 ac$ $\Leftrightarrow Δ' = {(2 \sqrt{6})}^{2} - (- 3) . 4$

$\Leftrightarrow Δ' = 24 + 12 = 36$

Vì $Δ' > 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt $[\begin{array}{l} x_{1} = \frac{- b' - \sqrt{Δ'}}{a} = \frac{- 2 \sqrt{6} - 6}{- 3} = \frac{2 \sqrt{6} + 6}{3} \\ x_{2} = \frac{- b' + \sqrt{Δ'}}{a} = \frac{- 2 \sqrt{6} + 6}{- 3} = \frac{2 \sqrt{6} - 6}{3} \end{array}$

Bài 3: Giải phương trình: $\frac{x + 5}{x^{2} - 5 x} - \frac{x - 5}{2 x^{2} + 10 x} = \frac{x + 25}{2 x^{2} - 50}$

Giải

Điều kiện: $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x^{2} - 5 x \neq 0 \\ 2 x^{2} + 10 x \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \neq 0 \\ x \neq 5 \\ x \neq - 5 \end{cases}$

ta có:

$\frac{x + 5}{x^{2} - 5 x} - \frac{x - 5}{2 x^{2} + 10 x} = \frac{x + 25}{2 x^{2} - 50}$

$\Leftrightarrow \frac{x + 5}{x (x - 5)} - \frac{x - 5}{2 x (x - 5)} = \frac{x + 25}{2 (x - 5) (x + 5)}$

$\Leftrightarrow 2 {(x + 5)}^{2} - {(x - 5)}^{2} = x (x + 25)$

$\Leftrightarrow 2 (x^{2} + 10 x + 25) - (x^{2} - 10 x + 25)$ $= x^{2} + 25 x$

$\Leftrightarrow 5 x + 25 = 0 \Leftrightarrow x = - 5$ (không thỏa mãn)

Vậy phương trình vô nghiệm

Bài 4: (Đề thi vào lớp 10 Chuyên, tỉnh Tiền Giang, năm 2017)

Giải phương trình: $x^{2} - \sqrt{x^{3} + x} = 6 x - 1$

Giải

Điều kiện: $x^{3} + x \geq 0 \Leftrightarrow x (x^{2} + 1) \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 0$ ,

ta có:

$x^{2} - \sqrt{x^{3} + x} = 6 x - 1$

$\Leftrightarrow x^{2} + 1 - \sqrt{x (x^{2} + 1)} - 6 x = 0$

Đặt $t = \sqrt{x^{2} + 1}$ (với $t > 0$ ); $a = \sqrt{x}$ (với $a \geq 0$ ),

ta được phương trình:

$x^{2} + 1 - \sqrt{x (x^{2} + 1)} - 6 x = 0$

$\Leftrightarrow t^{2} - t . a - 6 a^{2} = 0$

Ta có: $Δ_{t} = {(- a)}^{2} - 4 (- 6 a^{2}) = 25 a^{2}$

$[\begin{array}{l} t_{1} = \frac{a - 5 a}{2} = - 2 a (ktm) \\ t_{2} = \frac{a + 5 a}{2} = 3 a (tm) \end{array}$

Với $t = 3 a \Leftrightarrow \sqrt{x^{2} + 1} = 3 \sqrt{x}$

$\Leftrightarrow x^{2} + 1 = 9 x \Leftrightarrow x^{2} - 9 x + 1 = 0$

Ta có: $Δ = {(- 9)}^{2} - 4 (1) = 77$

$[\begin{array}{l} x_{1} = \frac{9 - \sqrt{77}}{2} \\ x_{2} = \frac{9 + \sqrt{77}}{2} \end{array}$ (thỏa mãn)

Vậy phương trình có hai phân biệt $x_{1} = \frac{9 - \sqrt{77}}{2}$ , $x_{2} = \frac{9 + \sqrt{77}}{2}$

Ảnh đính kèm

Bài 1: Tìm m để phương trình $3 x^{2} - 2 x + m - 3 = 0$ vô nghiệm

Giải

Ta có: $Δ' = {b'}^{2} - ac = {(- 1)}^{2} - 3 (m - 3)$

$\Leftrightarrow Δ' = 10 - 3 m$

Để phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi:

$Δ' < 0 \Leftrightarrow 10 - 3 m < 0 \Leftrightarrow m > \frac{10}{3}$

Vậy với $m > \frac{10}{3}$ thì phương trình vô nghiệm

Bài 2: Tìm m để phương trình ${mx}^{2} - x - m - 1 = 0$ có nghiệm kép

Tài liệu đầy đủ quý Thầy/Cô và bạn đọc vui lòng chọn mục tải xuống để xem chi tiết.

Các dạng bài tập Toán 9

Các dạng bài tập phương trình bậc hai một ẩn có lời giải chi tiết

Xem thêm các chương trình khác: