Bài tập liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây chọn lọc

190 lượt xem

LIÊN HỆ GIỮA DÂY VÀ KHOẢNG CÁCH TỪ TÂM ĐẾN DÂY

I. LÝ THUYẾT

Định lí 1. Trong một đường tròn:

a) Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.

b) Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.

Định lí 2: Trong hai dây của một đường tròn:

a) Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.

b) Dây nào gần tâm thì lớn hơn.

II. BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài 1. Cho đường tròn (O) và một điểm M ở trong đường tròn $(M \neq O)$ . Qua M vẽ hai dây, dây $A B ⊥ O M$ và dây CD bất kì không vuông góc với OM. Chứng minh rằng $A B < C D .$

Bài 2. Cho đường tròn (O; R) và một điểm M cách O một khoảng $\frac{R}{2}$ . Trên đường tròn lấy một điểm A. Tìm giá trị lớn nhất của góc OAM.

Bài 3. Cho đường tròn (O), dây AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai dây AC, BD bằng nhau, cắt nhau tại E. Chứng minh $O E ⊥ A B .$

Bài 4. Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác đều ABC. Từ O kẻ $O M, O N, O P$ lần lượt vuông góc với $A B, B C, C A$ . Chứng minh rằng $O M = O N = O P$ .

Bài 5. Cho đường tròn $(O; 10 c m)$ và hai dây $A B = 8 c m, C D = 6 c m$ . Từ O hạ OH và OK theo thứ tự vuông góc với AB và CD. Hãy tính $O H, O K$ và cho biết đoạn nào dài hơn?

Bài 6. Cho đường tròn $(O; 5 c m)$ và hai dây $A B, C D$ .

Từ O hạ OH và OK theo thứ tự vuông góc với AB và CD

Cho biết $O H = 3 c m; O K = 2 c m$ . Hãy so sánh độ dài hai dây AB và CD

Bài 7. Cho ABC là tam giác cân có góc đỉnh bằng $30 °$ , nội tiếp đường tròn tâm O. Từ O hạ các đường thẳng vuông góc OM và ON xuống các cạnh tương ứng AB và BC.

Chứng minh $O M < O N$ .

Bài 8. Cho nửa đường tròn (O), hai dây AB và CD cắt nhau tại M nằm bên trong đường tròn. Gọi H và K theo thứ tự là trung điểm của AB và CD, cho biết AB > CD. Chứng minh: MH > MK

Bài 9. Cho đường tròn (O) có hai dây AB = CD. Các đường thẳng AB và CD cắt nhau tại điểm S ở bên ngoài đường tròn sao cho B nằm giữa S và A, D nằm giữa S và C. Chứng minh:

a) SO là tia phân giác góc ASC.

b) SA = SC.

Bài 10. Trong hai đường tròn đồng tâm O. Dây AB của đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ tại D và E. Dây AC của đường tròn lơn cắt đường tròn nhỏ tại M và N. Biết AB > AC. Hãy só sánh DE và MN.

Bài 11. Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của OA và OB. Qua M và N lần lượt vẽ dây CD và EF song song với nhau (C và E cùng nằm trên một nửa đường tròn đường kính AB).

a) Chứng minh tứ giác CDEF là hình chữ nhật.

b) Giả sử CD và EF cùng tạo với AB một góc nhọn là $30^{0}$ . Tính diện tích hình chữ nhật CDEF theo R.

Bài 12. Cho đường tròn (O) và một điểm P nằm trong đường tròn. Một đường thẳng d thay đổi qua P, cắt đường tròn tại A và B. Gọi H là trung điểm của AB.

a) Chứng minh H nằm trên một đường tròn xác định.

b) Đường thẳng d ở vị trí nào thì dây AB có độ dài lớn nhất?

Bài 13. Cho đường tròn tâm O, hai dây $M N = P Q$ và đường thẳng $M N, P Q$ cắt nhau tại A ở ngoài đường tròn (N nằm giữa M và A, Q nằm giữa P và A), Chứng minh $A M = A P$ và $A N = A Q$ .

Bài 14. Cho đường tròn tâm O, hai dây CD và EF bằng nhau và vuông góc với nhau tại

I. Biết $I C = 2 c m,$ $I D = 4 c m$ . Tính khoảng cách từ O đến dây EF.

Bài 15. Cho đường tròn (O) và hai dây AB và CD sao cho $A B < C D$ . Hai đường thẳng AB

và CD cắt nhau tại điểm K nằm ngoài đường tròn. Đường tròn tâm O, bán kính OK cắt hai

tia KA và KC lần lượt tại M và N. Chứng minh $K M < K N$ .

Bài 16. Cho đường tròn (O) bán kính 5cm, dây AB bằng 8cm.

a) Tính khoảng cách từ tâm O đến dây AB.

b) Gọi I là điểm thuộc dây AB sao cho $A I = 1 c m$ . Kẻ dây CD đi qua I và vuông góc với AB. Chứng minh rằng $C D = A B$ .

Bài 17. Cho đường tròn (O) có các dây AB và CD bằng nhau, các tia AB và CD cắt nhau tại điểm E nằm bên ngoài đường tròn. Gọi H và K theo thứ tự là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng:

a) $E H = E K$ .

b) $E A = E C$ .

Bài 18. Cho đường tròn (O) bán kính 25cm, dây $A B = 40 c m$ . Vẽ dây CD song song với AB và có khoảng cách đến AB bằng 22cm. Tính độ dài dây CD.

Bài 19. Cho hình bên dưới, trong đó hai đường tròn cùng có tâm là O. Cho biết $A B > C D$ . Hãy so sánh các độ dài:

a) OH và OK.

b) ME và MF.

c) MH và MK.

Bài 20. Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên trong đường tròn. Vẽ dây BC vuông góc với OA tại A. Vẽ dây EF bất kì đi qua A và không vuông góc với OA. So sánh độ dài hai dây BC và EF.

Bài 21. Chứng minh rằng bốn đỉnh $A, B, C, D$ của hình thang cân ABCD thì nằm trên một đường tròn.

Bài 22. Cho đường tròn tâm O, hai dây $A B, C D$ bằng nhau và cắt nhau tại điểm P. Gọi $H, K$ theo thứ tự là các trung điểm của các dây AB, CD. Chứng minh: $P H = P K$ .

Bài 23. Cho hình bình hành $A B C D$ . Hai đường chéo $A C, B D$ cắt nhau tại điểm O. Một đường tròn tâm O cắt các cạnh $A B, B C, C D, D A$ theo thứ tự tại các điểm $M, N, P, Q$ .

a) Chứng minh ba điểm $M, O, P$ thẳng hàng và ba điểm $N, O, Q$ cũng thẳng hàng.

b) Chứng minh tứ giác $M N P Q$ là hình chữ nhật.

Bài 24. Cho đường tròn tâm O; hai dây $A B, C D$ của đường tròn cắt nhau tại một điểm P và cùng hợp với đường kính đi qua P hai góc bằng nhau. Chứng minh: $A B = C D$ .

Bài 25. Cho đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác $A B C$ . Số đo các góc $A, B, C$ tương ứng là $50 °, 60 °, 70 °$ . Từ O kẻ các đường thẳng $O M, O N, O P$ lần lượt vuông góc với các dây $B C, A C, A B$ tại $M, N, P$ . So sánh các khoảng cách $O M, O N$ và $O P$ .

Bài 26. Cho đường tròn tâm O, bán kính 50cm. Hai dây MN và PQ song song với nhau và

có độ dài theo thứ tự là 80cm và 96cm. Tính khoảng cách giữa hai dây ấy.

Bài 27. Cho đường tròn (O). Bốn điểm $A, C, B, D$ nằm trên đường tròn theo thứ tự chiều quay

kim đồng hồ, sao cho $A B = C D, A B$ và CD cắt nhau tại I

a) Chứng minh OI là phân giác của góc AID

b) Chứng minh $I B = I C, I A = I D$

Bài 28. Cho đường tròn tâm O bán kính 10cm. Điểm M cách điểm O 6cm

a) Vẽ và tính độ dài dây ngắn nhất đi qua M

b) Vẽ và tính độ dài dây dài nhất đi qua M

Bài 29. Cho đường tròn (O; 5cm) và hai dây AB, CD song song với nhau, cách nhau 7cm. Biết AB = 6cm, tính diện tích tứ giác có bốn đỉnh là A, B, C, D.

Bài 30. Cho đường tròn (O; 10cm). Hai dây AB, CD song song với nhau, tâm O cách dây AB là 8cm và cách dây CD là 6cm. Biết dây AB và tâm O thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ CD, tính chu vi tứ giác có bốn đỉnh là A, B, C, D.

Bài 31. Cho đường tròn (O; 5cm) và một điểm P sao cho OP = 3cm. Qua P vẽ một dây có độ dài là một số nguyên. Hỏi vẽ được tất cả bao nhiêu dây như vậy?

Bài 32. Cho đường tròn (O) và một điểm A ở bên trong đường tròn . Dựng hình thoi ABCD sao cho B, C, D nằm trên đường tròn (O).

Bài 33. Cho đường tròn (O; R) và một đoạn thẳng AB < 2R. Hãy dựng dây CD sao cho bốn điểm A, B, C, D là bốn đỉnh của một hình bình hành.

Bài 34. Cho đường tròn (O; R) và một đoạn thẳng AB sao cho ba điểm A, O, B không thẳng hàng. Qua A và B hãy dựng hai đường thẳng song song cắt đường tròn lần lượt tại C, D, E, F sao cho bốn điểm C, D, E, F là bốn đỉnh của một hình chữ nhật.

Bài 35. Cho tam giác $A B C (B C = a; A C = b; A B = c)$ nội tiếp đường tròn $(O; R)$ . Tính số đo các góc của tam giác $A B C$ , biết rằng $R (b + c) = a \sqrt{b c}$

Bài 36. Cho AB là dây cung của đường tròn (O; R). Vẽ dây CD của đường tròn (O) sao cho

CD vuông góc với AB. Chứng minh rằng $A C^{2} + B D^{2} + A D^{2} + B C^{2} = 8 R^{2}$

Bài 37. Cho điểm M cố định nằm trong đường tròn (O; R) (M khác O). Hai dây $A B, C D$ di

động và vuông góc với nhau tại M. Xác định vị trí của các dây $A B, C D$ để:

a) $A B + C D$ lớn nhất, nhỏ nhất

b) Diện tích tứ giác $A B C D$ lớn nhất, nhỏ nhất.

Các dạng bài tập Toán 9

Bài tập liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây chọn lọc

Xem thêm các chương trình khác: