Bài tập vị trí tương đối của hai đường thẳng có lời giải chi tiết

182 lượt xem

Bài trước

Bài sau

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG

A. Phương pháp giải

Trường hợp 1. Cho hai đường thẳng $(d_{1}) : y = a_{1} x + b_{1}$ $(a_{1} \neq 0)$ và $(d_{2}) : y = a_{2} x + b_{2}$ $(a_{2} \neq 0) .$

Mối quan hệ	Kí hiệu	Điều kiện
Cắt nhau	$(d_{1}) \cap (d_{2})$	$a_{1} \neq a_{2}$
Song song	$(d_{1}) / / (d_{2})$	$\{\begin{cases} a_{1} = a_{2} \\ b_{1} \neq b_{2} \end{cases}$
Trùng nhau	$(d_{1}) \equiv (d_{2})$	$\{\begin{cases} a_{1} = a_{2} \\ b_{1} = b_{2} \end{cases}$
Vuông góc	$(d_{1}) ⊥ (d_{2})$	$a_{1} . a_{2} = - 1$

Trường hợp 2. Cho hai đường thẳng $(d_{1}) : a_{1} x + b_{1} y = c$ $(a_{1}, b_{1}, c_{1} \neq 0)$ và $(d_{2}) : a_{2} x + b_{2} y = c_{2}$ $(a_{2}, b_{2}, c_{2} \neq 0) .$

Mối quan hệ	Kí hiệu	Điều kiện
Cắt nhau	$(d_{1}) \cap (d_{2})$	$\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}$
Song song	$(d_{1}) / / (d_{2})$	$\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}$
Trùng nhau	$(d_{1}) \equiv (d_{2})$	$\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$
Vuông góc	$(d_{1}) ⊥ (d_{2})$	$a_{1} . a_{2} + b_{1} . b_{2} = 0$

Chú ý: Khi $\{\begin{cases} a_{1} \neq a_{2} \\ b_{1} = b_{2} \end{cases}$ thì hai đường thẳng có cùng tung độ góc, do đó chúng cắt nhau tại một điểm trên trục tung có tung độ bằng $b$ (hay $b') .$

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tìm giao điểm của hai đường thẳng $(d_{1}) : y = x + 1$ và $(d_{2}) : y = 2 x + 4 .$

Hướng dẫn giải:

Ta có phương trình hoành độ giao điểm M của hai đường thẳng $(d_{1})$ và $(d_{2})$ là:

$x + 1 = 2 x + 4$ $\Leftrightarrow - x = 3$ $\Leftrightarrow x = - 3 .$

Thay $x = - 3$ vào phương trình đường thẳng $(d_{1})$ (hoặc $(d_{2})$ ), ta được $y = - 2$ .

Vậy $M (- 3; - 2) .$

Ví dụ 2. Tìm giá trị m để hai đường thẳng $(d_{1}) : y = (m - 2) x + m - 2$ và $(d_{2}) : y = \frac{2 m}{3} x + m + 1$ cắt nhau tại $M (- 3; - 2) .$

Hướng dẫn giải:

Do $(d_{1}) \cap (d_{2}) = M$ nên tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình:

$\{\begin{cases} - 2 = (m - 2) . (- 3) + m - 2 \\ - 2 = \frac{2 m}{3} . (- 3) + m + 1 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} - 2 m + 6 = 0 \\ - m = - 3 \end{cases}$ $\Leftrightarrow m = 3 .$

Vậy $m = 3$ thì $(d_{1}) \cap (d_{2}) = M (- 3; - 2) .$

Ví dụ 3. Tìm m để hai đường thẳng $(d_{1}) : y = x + 2$ và $(d_{2}) : y = (2 m^{2} - m) x + m^{2} + m$ song song với nhau.

Hướng dẫn giải:

Hai đường thẳng $(d_{1}) : y = x + 2$ và $(d_{2}) : y = (2 m^{2} - m) x + m^{2} + m$ song song với nhau khi

$\{\begin{cases} 1 = 2 m^{2} - m \\ 2 \neq m^{2} + m \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 m^{2} - m - 1 = 0 \\ m^{2} + m - 2 \neq 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} (2 m + 1) (m - 1) = 0 \\ (m - 1) (m + 2) \neq 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} [\begin{array}{l} m = - \frac{1}{2} \\ m = 1 \end{array} \\ (m - 1) (m + 2) \neq 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow m = - \frac{1}{2}$

Vậy $m = - \frac{1}{2}$ thì hai đường thẳng $(d_{1})$ và $(d_{2})$ song song với nhau.

Ví dụ 4. Tìm m để đường thẳng $(d_{1}) : y = \frac{2 m + 3}{5} x + \frac{4}{7}$ và $(d_{2}); y = \frac{5 m + 2}{3} x - \frac{1}{2}$ vuông góc với nhau.

Tài liệu đầy đủ quý Thầy/Cô và bạn đọc vui lòng chọn mục tải xuống để xem chi tiết.

Xem thêm các chương trình khác:

Bài trước

Bài sau

Các dạng bài tập Toán 9

Bài tập vị trí tương đối của hai đường thẳng có lời giải chi tiết

Xem thêm các chương trình khác: