Bài tập hệ thức về cạnh trong tam giác vuông có đáp án

180 lượt xem

Bài trước

Bài sau

CHỨNG MINH CÁC HỆ THỨC VỀ CẠNH

A. Phương pháp giải

+ Để làm được bài toán này ta có thể sử dụng định lý Ta-lét, tính chất đường phân giác, tam giác đồng dạng, các hệ thức lượng trong tam giác vuông.

+ Các bước suy luận để chứng minh:

- Giả sử cần chứng minh:

$AB \cdot AC = AD . AE$

- Ta lập sơ đồ:

$A B . A C = A D . A E$ $\Leftarrow \frac{A B}{A D} = \frac{A E}{A C}$ $\Leftarrow Δ A B E ~ Δ A D C$

- Khi đó bước đầu tiên ta sẽ chứng minh tam giác đồng dạng để suy ra các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ rồi chứng minh được hệ thức hình học đề bài đã ra

+ Ngoài ra có những bài toán ta sẽ không trực tiếp ra được hệ thức cần chứng minh mà cần phải chứng minh từng vế của hệ thức bằng với một hệ thức thứ ba.

B. Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho đường tròn tâm O, đường kính AB có bán kính R, tiếp tuyến Ax. Trên tiếp tuyến Ax lấy điểm F sao cho BF cắt đường tròn tại C. Tia phân giác của góc ABF cắt Ax tại E và cắt đường tròn tại D. Chứng minh rằng BD.BE = BC.BF

Hướng dẫn giải

Ảnh đính kèm

+ Có $\hat{A C B}$ nhìn đường kính AB nên $\hat{A C B} = 90^{\circ}$

+ Có Ax là tiếp tuyến, F thuộc Ax nên $\hat{F A B} = 90^{0}$

+ Xét tam giác FAB và tam giác ACB có:

$\hat{B}$ chung

$\hat{A C B} = \hat{F A B} (= 90^{0})$

Suy ra hai tam giác FAB và ACB đồng dạng theo trường hợp góc - góc

$\Rightarrow \frac{A B}{B C} = \frac{B F}{B A}$ $\Rightarrow B C . B F = A B^{2}$ (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ) (1)

+ Có $\hat{A D B}$ nhìn đường kính AB nên $\hat{A D B} = 90^{0}$

+ Có Ax là tiếp tuyến, E thuộc Ax nên $\hat{E A B} = 90^{0}$

+ Xét tam giác EAB và tam giác ADB có:

$\hat{B}$ : chung

$\hat{A D B} = \hat{E A B} (= 90^{0})$

Suy ra hai tam giác EAB và ADB đồng dạng theo trường hợp góc - góc

$\Rightarrow \frac{B E}{B A} = \frac{A B}{B D}$ $\Rightarrow B E . B D = A B^{2}$ (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

Từ (1) và (2) suy ra $B C . B F = B E . B D (= A B^{2})$ (đpcm)

Ví dụ 2. Cho đường tròn (O), đường kính AB cố định, điểm I nằm giữa A và O sao cho AI = 2/3 AO. Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I, gọi C là điểm tùy ý thuộc cung lớn MN sao cho C không trùng với M, N và B. Nối AC cắt MN tại E. Chứng minh hệ thức: $A M^{2} = A E . A C$ .

Hướng dẫn giải

Ảnh đính kèm

+ Có $\hat{A M B}$ nhìn đường kính AB nên $\hat{A M B} = 90^{0}$

+ Xét tam giác AMB có $\hat{A M B} = 90^{\circ}; M I ⊥ A B^{(MN}$ vuông góc với AB tại I ) có:

$A M^{2} = A I . A B$ (hệ thức lượng trong tam giác vuông) (1)

+ Có $\hat{A C B}$ nhìn đường kính AB nên $\hat{A C B} = 90^{0}$

+ Xét tam giác AEI và tam giác ABC có:

$\hat{A C B} = \hat{A I E} (= 90^{0})$

$\hat{B A C}$ : Chung

Suy ra hai tam giác AEI và tam giác ABC đồng dạng với nhau theo trường hợp góc - góc

$\Rightarrow \frac{A E}{A B} = \frac{A I}{A C}$ $\Rightarrow A E . A C = A I . A B$ (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $A M^{2} = A E . A C$

C. Bài tập tự luyện

Bài 1: Cho đường tròn O cà dây CD. A là điểm chính giữa cung CD. M thuộc CD, dây AN qua M

a, Chứng minh $A C^{2} = A M . A N$

b, Chứng minh $A D . D N = D M . A N$

Tài liệu đầy đủ quý Thầy/Cô và bạn đọc vui lòng chọn mục tải xuống để xem chi tiết.

Xem thêm các chương trình khác:

Bài trước

Bài sau

Các dạng bài tập Toán 9

Bài tập hệ thức về cạnh trong tam giác vuông có đáp án

Xem thêm các chương trình khác: