Bài tập phương trình vô tỉ cực hay, chi tiết (Chọn từ đề thi học sinh giỏi)

205 lượt xem

PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

A. Kiến thức cần nhớ

Phương trình vô tỉ là phương trình chứa ẩn trong dấu căn. Để giải phương trình vô tỉ, ta thường làm như sau:

+ Đặt điều kiện cho ẩn

+ Bình phương hai vế khi hai vế đều dương.

+ Đặt ẩn phụ, giải phương trình ẩn mới.

+ Đánh giá hai vế của phương trình.

+ Sau khi tìm được nghiệm cần kiểm tra lại điều kiện của nghiệm, chọn thích hợp.

B. Một số ví dụ

Ví dụ 1: Giải phương trình: $4 x^{2} + 10 x + 9 = 5 . \sqrt{2 x^{2} + 5 x + 3}$

(Thi học sinh giỏi Toán 9, Tỉnh Quảng Trị năm học 2012 - 2013)

Giải

Tìm cách giải. Quan sát đề bài, chúng ta nhận thấy bài toán có dạng:

$a . f (x) + b \sqrt{f (x)} + c = 0$ .

Do đó nên đặt: $\sqrt{f (x)} = y$ . Giải phương trình ẩn y.

Trình bày lời giải

Đặt $\sqrt{2 x^{2} + 5 x + 3} = y (y \geq 0)$ , suy ra $2 x^{2} + 5 x + 3 = y^{2}$ .

Phương trình có dạng: $2 y^{2} + 3 = 5 y \Leftrightarrow 2 y^{2} - 5 y + 3 = 0$ .

Giải ra ta được: $y_{1} = 1; y_{2} = \frac{3}{2}$ .

· Với y = 1 thì

$\sqrt{2 x^{2} + 5 x + 3} = 1 \Leftrightarrow 2 x^{2} + 5 x + 3 = 1 \Leftrightarrow 2 x^{2} + 5 x + 2 = 0 \Leftrightarrow x_{1} = - 2; x_{2} = - \frac{1}{2}$

· Với $y = \frac{3}{2}$ thì

$\sqrt{2 x^{2} + 5 x + 3} = \frac{3}{2} \Leftrightarrow 2 x^{2} + 5 x + 3 = \frac{9}{4} \Leftrightarrow 2 x^{2} + 5 x + \frac{3}{4} = 0 \Leftrightarrow x_{3} = \frac{- 5 - \sqrt{19}}{4}; x_{4} = \frac{- 5 + \sqrt{19}}{4}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là

$S = \{- 2; - \frac{1}{2}; \frac{- 5 - \sqrt{19}}{4}; \frac{- 5 + \sqrt{19}}{4}\}$

Ví dụ 2. Giải các phương trình sau:

a) ${(x^{2} - 3 x)}^{2} - 6 (x^{2} - 3 x) - 7 = 0$

b) $\sqrt{8 + \sqrt{x - 3}} + \sqrt{5 - \sqrt{x - 3}} = 5$

c) $\sqrt{x + x^{2}} + \sqrt{x - x^{2}} = x + 1 + \sqrt{x + x^{2}} + \sqrt{x - x^{2}} = x + 1$

(Thi học sinh giỏi Toán 9, TP Hồ Chí Minh, năm học 2007 - 2008)

Giải

a) Đặt $y = x^{2} - 3 x$ , phương trình đã cho trở thành $y^{2} - 6 y - 7 = 0$ .

Giải ra ta được: $y_{1} = - 1; y_{2} = 7$ .

Với y = -1 ta có $x^{2} - 3 x = - 1$ giải ra ta được
$x_{1} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}; x_{2} = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$
Với y = 7 ta có $x^{2} - 3 x = 7$ giải ra ta được
$x_{3} = \frac{3 + \sqrt{37}}{2}; x_{4} = \frac{3 - \sqrt{37}}{2}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là :

$S = \{\frac{3 + \sqrt{5}}{2}; \frac{3 - \sqrt{5}}{2}; \frac{3 + \sqrt{37}}{2}; \frac{3 - \sqrt{37}}{2}\}$

b) Điều kiện $3 \leq x \leq 28$ .

Đặt $y = \sqrt{x - 3} (y \geq 0)$ phương trình đã cho trở thành:

$\sqrt{8 + y} + \sqrt{5 - y} = 5 \Leftrightarrow 8 + y + 2 \sqrt{(8 + y) (5 - y)} + 5 - y = 25$

$\Leftrightarrow \sqrt{(8 + y) (5 - y)} = 6 \Leftrightarrow y^{2} + 3 y - 4 = 0$

Giải ra ta được $y_{1} = 1$ (thỏa mãn); $y_{2} = - 4$ (không thỏa mãn)

Với $y = 1$ ta có: $\sqrt{x - 3} = 1 \Leftrightarrow x = 4$

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 4.

Nhận xét: Ngoài cách giải trên, ta có thể chuyển một dấu căn sang vế kia (cô lập căn thức). Sau đó bình phương hai vế.

c) Điều kiện $x + x^{2} \geq 0; x - x^{2} \geq 0; x + 1 \geq 0$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm ta có:

$\sqrt{(x + x^{2}) . 1} + \sqrt{(x - x^{2}) . 1} \leq \frac{x + x^{2} + 1}{2} + \frac{x - x^{2} + 1}{2} = x + 1$

$\Leftrightarrow \sqrt{x + x^{2}} + \sqrt{x - x^{2}} \leq x + 1$

Dấu bằng xảy ra khi $\{\begin{cases} x + x^{2} = 1 \\ x - x^{2} = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x + x^{2} - 1 = 0 \\ x - x^{2} - 1 = 0 \end{cases}$

Hệ trên vô nghiệm nên dấu bằng không xảy ra. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Ví dụ 3. Giải phương trình: $x^{2} - \sqrt{x + 5} = 5$

(Thi học sinh giỏi tỉnh Bình Định, năm học 2007- 2008)

Giải

Tìm cách giải. Quan sát phương trình ta có thể tiếp cận cách giải theo các hướng sau:

Hướng 1. Quan sát nếu nâng lên lũy thừa để khử căn thì được phương trình bậc bốn, nên nếu có nghiệm thì hoàn toàn giải được bằng cách phân tích đa thức thành nhân tử.
Hướng 2. Bài toán có dạng $x^{2} = m + \sqrt{x + m}$ nên có thể đưa về ${(x + \frac{1}{2})}^{2} = {(\sqrt{x + m} + \frac{1}{2})}^{2}$ . Từ đó giải tiếp được phương trình đơn giản.
Hướng 3. Bài toán có dạng $x^{2} = m + \sqrt{x + m}$ nên có thể chuyển về giải hệ phương trình đối xứng, bằng cách đặt $\sqrt{x + m} = y$ ta được hệ phương trình:
$\{\begin{cases} x^{2} = m + y \\ y^{2} = m + x \end{cases}$

Trình bày lời giải

Cách 1. Ta có: $x^{2} - 5 = \sqrt{x + 5}$ có điều kiện
$\{\begin{cases} x + 5 \geq 0 \\ x^{2} - 5 \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} - 5 \leq x \leq - \sqrt{5} \\ x \geq \sqrt{5} \end{array}$

Bình phương hai vế ta được: $x^{4} - 10 x^{2} + 25 = x + 5$

$x^{4} - 10 x^{2} - x + 20 = 0 \Leftrightarrow (x^{4} + x^{3} - 4 x^{2}) - (x^{3} + x^{2} - 4 x) - (5 x^{2} + 5 x - 20) = 0$

$\Leftrightarrow (x^{2} + x - 4) (x^{2} - x - 5) = 0$ .

Giải phương trình: $x^{2} + x - 4 = 0$ ta được
$x_{1} = \frac{- 1 + \sqrt{17}}{2}; x_{2} = \frac{- 1 - \sqrt{17}}{2}$

Giải phương trình: $x^{2} - x - 5 = 0$ ta được
$x_{3} = \frac{1 + \sqrt{21}}{2}; x_{4} = \frac{1 - \sqrt{21}}{2}$

Kết hợp với tập xác định ta được, nghiệm của phương trình là:

$S = \{\frac{1 + \sqrt{21}}{2}; \frac{- 1 - \sqrt{17}}{2}\}$

Cách 2. Xét $x^{2} - \sqrt{x + 5} = 5 \Leftrightarrow x^{2} + x + \frac{1}{4} = x + 5 + \sqrt{x + 5} + \frac{1}{4}$

$\Leftrightarrow {(x + \frac{1}{2})}^{2} = {(\sqrt{x + 5} + \frac{1}{2})}^{2} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x + \frac{1}{2} = \sqrt{x + 5} + \frac{1}{2} (1) \\ x + \frac{1}{2} = - \sqrt{x + 5} - \frac{1}{2} (2) \end{array}$

- Giải phương trình (1): $x = \sqrt{x + 5}$ đk $x \geq 0$

Suy ra $x^{2} = x + 5 \Leftrightarrow x^{2} - x - 5 = 0$
ta được $x_{1} = \frac{1 + \sqrt{21}}{2}; x_{2} = \frac{1 - \sqrt{21}}{2}$

- Giải phương trình (2): $x + \frac{1}{2} = - \sqrt{x + 5} - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sqrt{x + 5} = - x - 1$ với điều kiện

$- 5 \leq x \leq \sqrt{5} \Leftrightarrow x + 5 = x^{2} + 2 x + 1 \Leftrightarrow x^{2} + x - 4 = 0$

Giải ra ta được: $x_{3} = \frac{- 1 - \sqrt{17}}{2}$ (thỏa mãn),
$x_{4} = \frac{- 1 + \sqrt{17}}{2}$ (loại).

Kết hợp với tập xác định ta được, nghiệm của phương trình là:

$S = \{\frac{1 + \sqrt{21}}{2}; \frac{- 1 - \sqrt{17}}{2}\}$

Cách 3. Đặt $\sqrt{x + 5} = y (y > 0) \Rightarrow x + 5 = y^{2}$

Kết hợp với phương trình đề bài ta có hệ phương trình
$\{\begin{cases} x^{2} = y + 5 (3) \\ y^{2} = x + 5 (4) \end{cases}$

Từ phương trình (3) và (4) vế trừ vế ta được:

$x^{2} - y^{2} = y - x \Leftrightarrow (x - y) (x + y + 1) = 0$

• Trường hợp 1. Xét x = y, thay vào phương trình (3) ta được:

$x^{2} = x + 5 \Leftrightarrow x^{2} - x - 5 = 0$ .

Giải ra ta được $x_{1} = \frac{1 + \sqrt{21}}{2}; x_{2} = \frac{1 - \sqrt{21}}{2}$

• Trường hợp 2. Xét $x + y + 1 = 0 \Leftrightarrow y = - x - 1$ thay vào phương trình (3) ta được:

$x^{2} = - x - 1 + 5 \Leftrightarrow x^{2} + x - 4 = 0$ .

Giải ra ta được: $x_{3} = \frac{- 1 - \sqrt{17}}{2}$ (thỏa mãn),
$x_{4} = \frac{- 1 + \sqrt{17}}{2}$ (loại).

Kết hợp với điều kiện ta được, nghiệm của phương trình là:

$S = \{\frac{1 + \sqrt{21}}{2}; \frac{- 1 - \sqrt{17}}{2}\}$

Ví dụ 4. Giải phương trình: $x^{2} + x + 12 \sqrt{x + 1} = 36$ .

Giải

Điều kiện $x \geq - 1$ .

Cách 1. Đặt $t = \sqrt{x + 1} (t \geq 0)$ phương trình có dạng: $x t^{2} + 12 t - 36 = 0$

x = 0, không phải là nghiệm của phương trình nên $x \neq 0$ . Giải phương trình ẩn t, ta được: $t_{1} = \frac{- 6 - 6 \sqrt{x + 1}}{x}; t_{2} = \frac{- 6 + 6 \sqrt{x + 1}}{x}$

• Trường hợp 1. $t = \frac{- 6 - 6 \sqrt{x + 1}}{x} \Leftrightarrow t x = - 6 - 6 t \Leftrightarrow (x + 6) t = - 6$ (loại) vì $x + 6 > 0, t \geq 0$ .

• Trường hợp 2. $t = \frac{- 6 + 6 \sqrt{x + 1}}{x} \Leftrightarrow t x = - 6 + 6 t \Leftrightarrow t = \frac{6}{6 - x} \Leftrightarrow \sqrt{x + 1} = \frac{6}{6 - x}$ ,
bình phương hai vế ta được: $x + 1 = \frac{36}{36 - 12 x + x^{2}}$
với $x < 6 \Leftrightarrow x^{3} - 11 x^{2} + 24 x = 0 \Leftrightarrow x^{2} - 11 x + 24 = 0$ ,

vì $x \neq 0 \Leftrightarrow x_{1} = 3$ (thỏa mãn), $x_{2} = 8$ (loại)

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \{3\}$ .

Cách 2. $\Leftrightarrow x^{2} + 2 x + 1 = x + 1 - 12 \sqrt{x + 1} + 36 \Leftrightarrow {(x + 1)}^{2} = {(\sqrt{x + 1} - 6)}^{2}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x + 1 = \sqrt{x + 1} - 6 \\ x + 1 = 6 - \sqrt{x + 1} \end{array}$

• Trường hợp 1. $x + 1 = \sqrt{x + 1} - 6 \Leftrightarrow x + 7 = \sqrt{x + 1} \Leftrightarrow x^{2} + 14 x + 49 = x + 1 \Leftrightarrow x^{2} + 13 x + 48 = 0$ vô nghiệm.

• Trường hợp 2. $x + 1 = 6 - \sqrt{x + 1} \Leftrightarrow \sqrt{x + 1} = 5 - x \Leftrightarrow x + 1 = 25 - 10 x + x^{2}$ với điều kiện $x \leq 5$ .

$x^{2} - 11 x + 24 = 0$ .

Giải ra ta được x = 3 (thỏa mãn), x = 8 (không thỏa mãn).

Vậv tập nghiệm của phương trình là $S = \{3\}$ .

Tài liệu đầy đủ quý Thầy/Cô và bạn đọc vui lòng chọn mục tải xuống để xem chi tiết.

Các dạng bài tập Toán 9

Bài tập phương trình vô tỉ cực hay, chi tiết (Chọn từ đề thi học sinh giỏi)

Xem thêm các chương trình khác: