Bài tập giải toán bằng cách lập phương trình dạng hình học có đáp án

216 lượt xem

GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH

BÀI TOÁN CÓ NỘI DUNG LIÊN QUAN ĐẾN HÌNH HỌC

A. Phương pháp giải

1. Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

+ Bước 1: Chọn ẩn, đơn vị cho ẩn, điều kiện thích hợp cho ẩn

+ Bước 2: Biểu đạt các đại lượng khác theo ẩn

+ Bước 3: Dựa vào các dữ kiện của bài toán để lập phương trình hoặc hệ phương trình

+ Bước 4: Giải phương trình hoặc hệ phương trình

+ Bước 5: So sánh kết quả bài toán, tìm kết quả thích hợp và kết luận

2. Các công thức cần nhớ khi giải bài toán dạng hình học

+ Các hệ thức lượng trong tam giác vuông

+ Công thức tính diện tích hình tam giác, hình chữ nhật, hình thoi, hình tròn,…

+ Định lý Pytago

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích là 720m², nếu tăng chiều dài lên 6m và giảm chiều rộng đi 4m thì diện tích của vườn không đổi. Tính chiều dài và chiều rộng.

Hướng dẫn giải

Gọi chiều dài mảnh vườn là x (m) ; đk $x > 0$

Thì chiều rộng mảnh vườn là $\frac{720}{x}$ (m)

Nếu tăng chiều dài 6m: $x + 6$ (m) và giảm chiều rộng 4m: $\frac{720}{x} - 4$ (m)

Thì diện tích của vườn không đổi nên ta có PT:

$(x + 6) (\frac{720}{x} - 4) = 720$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 720 - 4 x + \frac{4320}{x} - 24 = 720 \\ \Leftrightarrow 720 x - 4 x^{2} + 4320 - 24 x = 720 x \\ \Leftrightarrow 4 x^{2} + 24 x - 4320 = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 30 (t / m) \\ x = - 36 (l o a i) \end{array} \end{array}$

Khi đó, chiều dài mảnh vườn là 30(m), suy ra chiều rộng là:

$\frac{720}{30} = 24$ (m)

Vậy chiều dài của mảnh vườn là 30m, chiều rộng là 24m.

Ví dụ 2: Cạnh bé nhất của tam giác vuông có độ dài là 12 cm. Cạnh huyền có độ dài lớn cạnh góc vuông còn lại 4 cm. Tính độ dài cạnh huyền của tam giác vuông đó.

Hướng dẫn giải

Gọi độ dài cạnh huyền của hình tam giác là a (a > 12, cm)

Độ dài cạnh góc vuông còn lại của hình tam giác là b (b > 0, cm)

Theo đề bài, cạnh huyền có độ dài lớn hơn cạnh góc vuông còn lại 4cm nên ta có phương trình a – b = 4 (1)

Theo định lý Pytago ta có phương trình:

$a^{2} = b^{2} + 12^{2} \Leftrightarrow a^{2} - b^{2} = 144$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$\{\begin{cases} a - b = 4 \\ a^{2} - b^{2} = 144 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} a - b = 4 \\ (a - b) (a + b) = 144 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} a - b = 4 \\ a + b = 36 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 a = 40 \\ a + b = 36 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 20 \\ b = 16 \end{cases}$ (thỏa mãn)

Vậy độ dài cạnh huyền của tam giác vuông đó là 20cm.

Ví dụ 3: Một hình chữ nhật có chu vi bằng 400cm. Nếu tăng chiều dài thêm 6cm và giảm chiều rộng 6cm thì diện tích giảm 276cm². Tính chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật.

Hướng dẫn giải:

Nửa chu vi của hình chữ nhật bằng

400 : 2 = 200cm

Gọi chiều dài của hình chữ nhật là x (cm, x>0)

Chiều rộng của hình chữ nhật là 200 – x (cm)

Diện tích ban đầu của hình chữ nhật là: x(200 – x) (cm²)

Tăng chiều dài thêm 6cm được chiều dài có độ dài bằng x + 6 (cm)

Giảm chiều rộng đi 6cm được chiều rộng có độ dài bằng 200 – x – 6 = 194 – x (cm)

Nếu tăng chiều dài thêm 6cm và giảm chiều rộng 6cm thì diện tích giảm 276cm² nên ta có phương trình:

Giải phương trình tính được x = 120 (thỏa mãn)

Suy ra chiều rộng của hình chữ nhật là

200 – 120 = 80 (cm)

Vậy chiều dài của hình chữ nhật bằng 120cm và chiều rộng bằng 80cm.

C. Bài tập tự luyện

Bài 1: Một tam giác có chiều cao bằng $\frac{3}{4}$ cạnh đáy. Nếu chiều cao tăng thêm 3 $d m$ và cạnh đáy giảm đi 3 $d m$ thì diện tích của nó tăng thêm 12 $d m^{2}$ . Tính chiều cao và cạnh đáy của tam giác.

Bài 2: Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi bằng 48 m. Nếu tăng chiều rộng lên bốn lần và chiều dài lên ba lần thì chu vi của khu vườn sẽ là 162 m. Hãy tìm diện tích của khu vườn ban đầu.

Bài 3: Người ta muốn làm một chiếc thùng tôn hình trụ không nắp có bán kính đáy là 25 cm, chiều cao của thùng là 60 cm. Hãy tính diện tích tôn cần dùng (không kể mép nối). Thùng tôn đó khi chứa đầy nước thì thể tích nước chứa trong thùng là bao nhiêu.

Bài 4: Một thửa ruộng hình chữ nhật có diện tích là 100 $m^{2}$ . Tính độ dài các cạnh của thửa ruộng. Biết rằng nếu tăng chiều rộng của thửa ruộng lên 2 m và giảm chiều dài của thửa ruộng đi 5 m thì diện tích của thửa ruộng sẽ tăng thêm 5 $m^{2}$ .

Bài 5: Một khu đất hình chữ nhật có chu vi là 280m, người ta làm đường đi xung quanh rộng 2m nên diện tích phần còn lại để trồng vườn là 4256m². Tính kích thước ban đầu của khu vườn.

Bài 6: Một sân trường hình chữ nhật có chu vi 340m. 3 lần chiều dài hơn 4 lần chiều rộng là 20m. Tính chiều dài và chiều rộng của sân trường.

Bài 7: Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi là 80m, nếu tăng chiều dài thêm 3m, tăng chiều rộng thêm 5m thì diện tích mảnh đất hình chữ nhật tăng thêm 195m². Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất.

Bài 8: Một thửa ruộng hình chữ nhật, nếu tăng chiều dài thêm 2m và tăng chiều rộng thêm 3m thì diện tích tăng thêm 100m². Nếu cùng giảm chiều dài và chiều rộng đi 2m, thì diện tích giảm đi 68m². Tính diện tích của thửa ruộng đó.

Bài 9: Tính chu vi của một hình chữ nhật, biết rằng nếu tăng mỗi cạnh của hình chữ nhật lên 5m thì diện tích hình chữ nhật tăng thêm 225 m². Nếu tăng chiều rộng thêm 2m và giảm chiều dài đi 5m thì diện tích hình chữ nhật bằng diện tích ban đầu.

Bài 10. Một tam giác có chiều cao bằng 1/4 cạnh đáy tương ứng. Nếu tăng chiều cao 2m và giảm cạnh đáy 2m thì diện tích tam giác tăng thêm 2,5 m2. Tính chiều cao và cạnh đáy của tam giác lúc ban đầu.

Các dạng bài tập Toán 9

Bài tập giải toán bằng cách lập phương trình dạng hình học có đáp án

Xem thêm các chương trình khác: