Bài tập hệ phương trình bậc cao có lời giải chi tiết (chọn lọc từ đề thi học sinh giỏi)

196 lượt xem

Bài trước

Bài sau

HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO

A. Một số ví dụ

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} x^{2} - x y + y^{2} = 1 \\ x^{2} + x y + 2 y^{2} = 4 \end{cases}$

(Tuyển sinh lớp 10, THPT chuyên , Đại học Quốc Gia Hà Nội, năm học 2014-2015)

Giải

· Xét $x = 0$ ta có hệ $\{\begin{cases} y^{2} = 1 \\ y^{2} = 2 \end{cases}$ hệ vô nghiệm

· Xét $y = 0$ ta có hệ $\{\begin{cases} x^{2} = 1 \\ x^{2} = 4 \end{cases}$ hệ vô nghiệm

· Vậy $x; y$ khác 0 đặt $x = t y; t \neq 0$

Ta có hệ $\{\begin{cases} t^{2} y^{2} - t y^{2} + y^{2} = 1 \\ t^{2} y^{2} + t y^{2} + 2 y^{2} = 4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} y^{2} (t^{2} - t + 1) = 1 \\ y^{2} (t^{2} + t + 2) = 4 \end{cases}$ (*)

Vì mỗi vế hệ (*) khác 0 ta chia 2 vế hệ (*) cho nhau ta được :

$\frac{t^{2} - t + 1}{t^{2} + t + 2} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow 4 t^{2} - 4 t + 4 = t^{2} + t + 2 \Leftrightarrow 3 t^{2} - 5 t + 2 = 0$

$\Leftrightarrow (t - 1) (3 t - 2) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 1 \\ t = \frac{2}{3} \end{array}$

_ Với $t = 1 \Rightarrow x = y$ thay vào hệ (*) ta được : $\{\begin{cases} y^{2} = 1 \\ 4 y^{2} = 4 \end{cases}$ giải ra ta có nghiệm

$(x; y) \in \{(1; 1); (- 1; - 1)\}$

_ Với $t = \frac{2}{3} \Rightarrow x = \frac{2}{3} y$ thay vào hệ (*) ta được:

$\{\begin{cases} \frac{4}{9} y^{2} - \frac{2}{3} y^{2} + y^{2} = 1 \\ \frac{4}{9} y^{2} + \frac{2}{3} y^{2} + 2 y^{2} = 4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \frac{7}{9} y^{2} = 1 \\ \frac{28}{9} y^{2} = 4 \end{cases}$

Giải ra ta có nghiệm $(x; y) \in \{(\frac{2 \sqrt{7}}{9}; \frac{\sqrt{7}}{3}); (- \frac{2 \sqrt{7}}{9}; - \frac{\sqrt{7}}{3})\}$

Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là :

$(x; y) \in \{(1; 1); (- 1; - 1); (\frac{2 \sqrt{7}}{9}; \frac{\sqrt{7}}{3}); (- \frac{2 \sqrt{7}}{9}; - \frac{\sqrt{7}}{3})\}$

Nhận xét . Hệ phương trình trên là hệ phương trình đẳng cấp bậc hai . Ngoài cách giải trên, chúng ta còn có thể đồng nhất hai phương trình , bằng cách nhân phương trình (1) với 4 rồi vế trừ vế . Ta được phương trình $3 x^{2} - 5 x y + 2 y^{2} = 0$ : , sau đó phân tích đa thức thành nhân tử

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình : $\{\begin{cases} x^{2} + y^{2} + x + y = 8 \\ x^{2} + y^{2} + x y = 7 \end{cases}$

(Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, tỉnh An Giang , năm học 2008-2009)

Giải

Đặt $x + y = u; x y = v$ hệ phương trình có dạng : $\{\begin{cases} u^{2} - 2 v + u = 8 (1) \\ u^{2} - v = 7 (2) \end{cases}$

Từ phương trình (2) ta có : $v = u^{2} - 7$ thay vào phương trình (1) ta được:

$u^{2} - 2 (u^{2} - 7) + u = 8 \Leftrightarrow u^{2} - u - 6 = 0$ .

Giải ra ta được $u_{1} = - 2; u_{2} = 3$

· Trường hợp 1. Xét $u = - 2$ suy ra $v = {(- 2)}^{2} - 7 = - 3$

Ta được : $\{\begin{cases} x + y = - 2 \\ x y = - 3 \end{cases}$ . Suy ra x,y là nghiệm của phương trình

$X^{2} + 2 X - 3 = 0$ . Giải ra ta được : $X_{1} = 1; X_{2} = - 3$

Do đó nghiệm của hệ phương trình là : $\{\begin{cases} x = 1 \\ y = - 3 \end{cases}; \{\begin{cases} x = - 3 \\ y = 1 \end{cases}$

· Trường hợp 2 . $u = - 3; v = {(- 3)}^{2} - 7 = 2$ , ta được $\{\begin{cases} x + y = - 3 \\ x y = 2 \end{cases}$

Suy ra $x; y$ là nghiệm của phương trình : $X^{2} + 3 X - 2 = 0$

Giải ra ta được $X_{1} = \frac{- 3 + \sqrt{17}}{2}; X_{2} = \frac{- 3 - \sqrt{17}}{2}$

Do đó nghiệm của hệ phương trình là : $\{\begin{cases} x = \frac{- 3 + \sqrt{17}}{2} \\ y = \frac{- 3 - \sqrt{17}}{2} \end{cases}; \{\begin{cases} x = \frac{- 3 - \sqrt{17}}{2} \\ y = \frac{- 3 + \sqrt{17}}{2} \end{cases}$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là :

$(x; y) \in (1; - 3); (- 3; 1); (\frac{- 3 - \sqrt{17}}{2}; \frac{- 3 + \sqrt{17}}{2});$ $(\frac{- 3 + \sqrt{17}}{2}; \frac{- 3 - \sqrt{17}}{2})$

Nhận xét . Hệ phương trình trên là hệ phương trình đối xứng loại một . Hệ phương trình đối xứng loại một là hệ phương trình nếu đổi vai trò của ẩn cho nhau thì mỗi phương trình không thay đổi . Để giải hệ phương trình dạng này, chúng ta thường đặt ẩn phụ $x + y = u; x y = v$ . Sau đó giải hệ phương trình này.

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình :

$\{\begin{cases} x^{3} + 1 = 2 (x^{2} - x + y) (1) \\ y^{3} + 1 = 2 (y^{2} - y + x) (2) \end{cases}$

(Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, tỉnh Tiền Giang , năm học 2011-2012)

Giải

Từ phương trình (1) và (2) vế trừ vế ta được:

$x^{3} - y^{3} = 2 (x^{2} - y^{2}) - 4 (x - y) \Leftrightarrow (x - y) (x^{2} + x y + y^{2} - 2 (x + y) + 4) = 0$

Ta có : $x^{2} + x y + y^{2} - 2 (x + y) + 4 = 0$

$\Leftrightarrow \frac{3 {(x + y)}^{2} + {(x - y)}^{2}}{4} - 2 (x + y) + 4 = 0$

$\Leftrightarrow 3 {(x + y)}^{2} + {(x - y)}^{2} - 8 (x + y) + 16 = 0$

$\Leftrightarrow 2 {(x + y)}^{2} - 8 (x + y) + 8 + {(x + y)}^{2} + {(x - y)}^{2} + 8 = 0$

$\Leftrightarrow 2 {(x + y - 2)}^{2} + {(x + y)}^{2} + {(x - y)}^{2} + 8 = 0$

Phương trình vô nghiệm , nên $x - y = 0$ , thay vào phương trình (1) ta được:

$x^{3} + 1 = 2 x^{2} \Leftrightarrow x^{3} - 2 x^{2} + 1 = 0 \Leftrightarrow (x - 1) (x^{2} - x - 1) = 0$

· Trường hợp 1: $x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1$

· Trường hợp 2: $x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1$

Giải ra ta được $x_{1} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}; x_{2} = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là :

$(x; y) \in \{(1; 1); (\frac{1 + \sqrt{5}}{2}; \frac{1 + \sqrt{5}}{2}); (\frac{1 - \sqrt{5}}{2}; \frac{1 - \sqrt{5}}{2})\}$

Nhận xét . Hệ phương trình trên là hệ phương trình đối xứng loại hai . Hệ phương trình đối xứng loại hai là hệ phương trình nếu đổi vai trò của ẩn cho nhau thì phương trình này thành phương trình kia và ngược lại . Để giải hệ phương trình dạng này, chúng ta lấy vế trừ vế rồi phân tích đa thức thành nhân tử phương trình vừa nhận được .

Ví dụ 4: Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} x^{2} + x y - 2 y^{2} = 0 \\ x y + 3 y^{2} + x = 3 \end{cases}$

(Thi học sinh giỏi Toán lớp 9 , tình Hải Dương , năm học 2011-2012)

Giải

Tìm cách giải . Quan sát kỹ mỗi phương trình, ta nhận thấy phương trình thứ nhất, vế trái phân tích đa thức thành nhân tử được . Từ đó chúng ta có thể đưa về

hệ phương trình tích : $\{\begin{cases} A . B = 0 \\ C = 0 \end{cases} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} A = 0 \\ C = 0 \end{cases} \\ \{\begin{cases} B = 0 \\ C = 0 \end{cases} \end{array}$

Các nghiệm của hai hệ phương trình sau là nghiệm của hệ phương trình đã cho

Trình bày lời giải

$\{\begin{cases} x^{2} + x y - 2 y^{2} = 0 \\ x y + 3 y^{2} + x = 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} (x - y) (x + 2 y) = 0 \\ x y + 3 y^{2} + x = 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x - y = 0 \\ x y + 3 y^{2} + x = 0 \end{cases}$

hoặc $\{\begin{cases} x + 2 y = 0 \\ x y + 3 y^{2} + x = 3 \end{cases}$

· Giải hệ $\{\begin{cases} x - y = 0 \\ x y + 3 y^{2} + x = 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = y \\ x^{2} + 3 x^{2} + x = 3 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x = y \\ 4 x^{2} + x - 3 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = - 1 \\ y = - 1 \end{cases}; \{\begin{cases} x = \frac{3}{4} \\ y = \frac{3}{4} \end{cases}$

· Giải hệ $\{\begin{cases} x + 2 y = 0 \\ x y + 3 y^{2} + x = 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = - 2 y \\ - 2 y^{2} + 3 y^{2} - 2 y = 3 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x = - 2 y \\ y^{2} - 2 y - 3 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 2 \\ y = - 1 \end{cases}; \{\begin{cases} x = - 6 \\ y = 3 \end{cases}$

Vậy nghiệm của phương trình là :

$(x; y) \in \{(- 1; - 1); (\frac{3}{4}; \frac{3}{4}); (2; - 1); (- 6; 3)\}$

Ví dụ 5:Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} x^{2} + y^{2} + 2 x + 2 y = 11 \\ x^{2} y^{2} + 2 x^{2} y + 2 x y^{2} + 4 x y = 24 \end{cases}$

(Thi học sinh giỏi Toán lớp 9 , tỉnh Quảng Ngãi , năm học 2012-2013)

Giải

Tìm cách giải. Hệ phương trình này là hệ phương trình đối xứng loại một nên chúng ta có thể giải như ví dụ 2. Tuy nhiên chúng ta nhận thấy vế trái của phương trình hai phân tích thành nhân tử được mà tổng hai nhân tử chính là vế trái của phương trfinh thứu nhất . Nên chúng ta dùng cách đặt ẩn phụ khác cho lời giả ngắn gọn và hay hơn

Trình bày lời giải

$\{\begin{cases} x^{2} + y^{2} + 2 x + 2 y = 11 \\ x^{2} y^{2} + 2 x^{2} y + 2 x y^{2} + 4 x y = 24 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} (x^{2} + 2 x) + (y^{2} + 2 y) = 11 \\ (x^{2} + 2 x) (y^{2} + 2 y) = 24 \end{cases}$

Đặt : $x^{2} + 2 x = u, y^{2} + 2 y = v$ . Hệ phương trình có dạng : $\{\begin{cases} u + v = 11 \\ u v = 24 \end{cases}$ .

Suy ra u,v là nghiệm của phương trình: $X^{2} - 11 X + 24 = 0$

Giải phương trình , ta được : $X_{1} = 3, X_{2} = 8$

Suy ra : $\{\begin{cases} u = 3 \\ v = 8 \end{cases}; \{\begin{cases} u = 8 \\ v = 3 \end{cases}$

Trườn hợp 1. Xét $\{\begin{cases} u = 3 \\ v = 8 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x^{2} + 2 x = 3 \\ y^{2} + 2 y = 8 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} {(x + 1)}^{2} = 4 \\ {(y + 1)}^{2} = 9 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x + 1 = \pm 2 \\ y + 1 = \pm 3 \end{cases}$

Suy ra nghiệm của phương trình :

$(x; y) \in \{(1; 2), (1; - 4), (- 3; 2), (- 3; - 4)\}$

Trường hợp 2 . Xét $\{\begin{cases} u = 8 \\ v = 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x^{2} + 2 x = 8 \\ y^{2} + 2 y = 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} {(x + 1)}^{2} = 9 \\ {(y + 1)}^{2} = 4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x + 1 = \pm 3 \\ y + 1 = \pm 2 \end{cases}$

Suy ra nghiệm của phương trình

$(x; y) \in \{(2; 1), (2; - 3), (- 4; 1), (- 4; - 3)\}$

Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là :

$(x; y) \in \{(1; 2), (1; - 4), (- 3; 2), (- 3; - 4), (2; 1), (2; - 3), (- 4; 1), (- 4; - 3)\}$

Tài liệu đầy đủ quý Thầy/Cô và bạn đọc vui lòng chọn mục tải xuống để xem chi tiết.

Xem thêm các chương trình khác:

Bài trước

Bài sau

Các dạng bài tập Toán 9

Bài tập hệ phương trình bậc cao có lời giải chi tiết (chọn lọc từ đề thi học sinh giỏi)

Xem thêm các chương trình khác: