Các dạng bài tập căn bậc hai và hằng đẳng thức có lời giải

250 lượt xem

Bài trước

Bài sau

CHUYÊN ĐỀ 1: CĂN BẬC HAI & HẰNG ĐẲNG THỨC (Buổi 1)

A – LÝ THUYẾT

I . Căn bậc hai:

1. CĂN BẬC HAI của số thực a là số x sao cho $x^{2}$ = a.

- Số thực a dương: có đúng hai căn bậc hai là số đối nhau: số dương kí hiệu là $\sqrt{a}$ và số âm kí hiệu là $- \sqrt{a}$ .

- Số 0: có đúng 1 căn bậc hai là chính số 0, ta viết $\sqrt{0} = 0$

- Số thực a âm: không có căn bậc hai, khi đó ta nói biểu thức $\sqrt{a}$ không có nghĩa hay không xác định.

2. CĂN BÂC HAI SỐ HỌC của số thực a là số không âm x mà $x^{2}$ = a.

Với a ≥ 0, ta có:

- Số x là căn bậc hai số học của a thì x = $\sqrt{a}$

$x = \sqrt{a} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \geq 0 \\ x^{2} = {(\sqrt{a})}^{2} = a \end{cases}$

- $\sqrt{a} \geq 0$ và $(\sqrt{a})^{2} = a$

3. Với a, b là các số dương, ta có:

a) Nếu a < b thì $\sqrt{a} < \sqrt{b}$

b) Nếu $\sqrt{a} < \sqrt{b}$ thì a < b.

B – BÀI TẬP

DẠNG 1: Phân biệt căn bậc hai và căn bậc hai số học:

Bài tập 1: Tìm câu đúng trong các câu sau:

a) Căn bậc hai của 0,81 là 0,9;

b) Căn bậc hai của 0,81 là 0,09;

c) Căn bậc hai của 0,81 là 0,9 và –0,9;

d) $\sqrt{0, 81} = 0, 9$

e) $\sqrt{0, 81} = \pm 0, 9$

Bài tập 2: Tìm câu đúng trong các câu sau:

a) Số 3 không có căn bậc hai.

b) Căn bậc hai của 3 là $\sqrt{3}$

c) Căn bậc hai của 3 là $\sqrt{3}$ và $- \sqrt{3}$

d) Căn bậc hai số học của 3 là $\sqrt{3}$

e) Căn bậc hai số học của 3 là $\sqrt{3}$ và $- \sqrt{3}$

Bài tập 3: Tìm các căn bậc hai số học của các số sau rồi suy ra căn bậc hai của chúng:

16; 25; 144; 0,09; 225; $\frac{9}{16}$ ; 121; 10 000; 0,01.

DẠNG 2: Chứng minh căn một số là số vô tỉ.

Bài tập 3: Chứng minh $\sqrt{5}$ là số vô tỉ.

Giải:

Chứng minh bằng phương pháp phản chứng:

Giả sử $\sqrt{5}$ là số hữu tỉ.

Như vậy $\sqrt{5}$ có thể biểu diễn dưới dạng phân số tối giản $\frac{m}{n}$ , tức là $\sqrt{5} = \frac{m}{n}$ .

Suy ra $(\sqrt{5})^{2} = {(\frac{m}{n})}^{2}$ hay $5 n^{2} = m^{2}$ (1).

Đẳng thức này chứng tỏ $m^{2} ⋮ 5$ , mà 5 là số nguyên tố nên $m ⋮ 5$ .

Đặt m = 5k (k $\in Z$ ), ta có $m^{2} = 25 k^{2}$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra $5 n^{2} = 25 k^{2}$ nên $n^{2} = 5 k^{2}$ (3).

Từ (3) ta lại có $n^{2} ⋮ 25$ mà 5 là số nguyên tố nên n $⋮$ 5.

m và n cùng chia hết cho 5 nên phân số $\frac{m}{n}$ không tối giản, trái với giả thiết.

Vậy $\sqrt{5}$ không phải là số hữu tỉ, do đó $\sqrt{5}$ là số vô tỉ.

Bài tập 4: Chứng minh rằng:

a) $\sqrt{3}$ là số vô tỉ

b) $\sqrt{7}$ là số vô tỉ

c) $\sqrt{3} + 1$ là số vô tỉ

d) $\sqrt{1 + \sqrt{2}}$ là số vô tỉ

DẠNG 3: Giải phương trình, bất phương trình chứa căn:

Bài tập 5: Giải phương trình:

Chú ý phương trình dạng: $\sqrt{a} = x$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x \geq 0 \\ x^{2} = {(\sqrt{a})}^{2} = a \end{cases}$

Lưu ý: Nếu x < 0 ⇒ phương trình vô nghiệm

a) $\sqrt{x} = 15$

b) $\sqrt{x} - 1 = 3$

c) $2 \sqrt{x} = 14$

d) $\sqrt{x^{2} + 1} = 2$

e) $\sqrt{x^{2} + 5 x + 20} = 4$

f) $\sqrt{x^{2} + 3} = - 1$

Bài tập 6: Tìm x không âm, biết:

a) $\sqrt{x} < \sqrt{4}$

b) $\sqrt{2 x} < 4$

DẠNG 4: So sánh các số có căn:

Bài tập 7: So sánh hai số:

a) $2 \sqrt{3}$ và $3 \sqrt{2}$

b) $6 \sqrt{5}$ và $5 \sqrt{6}$

c) $3 \sqrt{26}$ và 15

d) $- 5 \sqrt{35}$ và -30

Tài liệu đầy đủ quý Thầy/Cô và bạn đọc vui lòng chọn mục tải xuống để xem chi tiết.

Xem thêm các chương trình khác:

Bài trước

Bài sau

Các dạng bài tập Toán 9

Các dạng bài tập căn bậc hai và hằng đẳng thức có lời giải

Xem thêm các chương trình khác: