Cách xác định điểm thuộc đồ thị hàm số cực hay, chi tiết

240 lượt xem

XÁC ĐỊNH ĐIỂM THUỘC ĐỒ THỊ, ĐIỂM KHÔNG THUỘC ĐỒ THỊ HÀM SỐ

A. Phương pháp giải

+ Điểm M(x_o; y_o) thuộc đồ thị hàm số bậc nhất y = ax + b ⇔ y_o = ax_o + b.

+ Điểm M(x_o; y_o) không thuộc đồ thị hàm số bậc nhất y = ax + b ⇔ y_o $\neq$ ax_o + b.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hàm số y=-x+2. Các điểm sau có thuộc hàm số không

a) A(0;2)

b) B(-1;0)

c) C(-1;3)

Hướng dẫn giải

a) Thay x=0 và y=2 vào hàm số ta được: 2=-0+2 $\Leftrightarrow$ 2=2. Do đó A(0;2) thuộc vào hàm số.

b) Thay x=-1 và y=0 vào hàm số ta được: 0=-(-1)+2 $\Leftrightarrow$ 0=3 (vô lý). Do đó A(-1;0) không thuộc vào hàm số.

c) Thay x=-1 và y=3 vào hàm số ta được: 3=-(-1)+2 $\Leftrightarrow$ 3=3. Do đó A(-1;3) thuộc vào hàm số.

Ví dụ 2: Cho hàm số $y = (m^{2} - 4) x + m + 3$ có đồ thị là đường thẳng d. Tìm m để d đi qua A(-1;5).

Hướng dẫn giải

Thay x=-1; y=5 vào hàm số ta được

$\begin{array}{l} 5 = (m^{2} - 4) (- 1) + m + 3 \\ \Leftrightarrow 5 = - m^{2} + 4 + m + 3 \\ \Leftrightarrow m^{2} - 4 - m - 3 + 5 = 0 \\ \Leftrightarrow m^{2} - m - 2 = 0 \\ \Leftrightarrow (m - 2) (m + 1) = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 2 \\ m = - 1 \end{array} \end{array}$

Vậy với m=2 hoặc m=-1 thì d đi qua điểm A(-1;5).

Ví dụ 3: Cho hàm số (d): y=ax+b.Tìm a và b để hàm số đi qua A(-1;-2) và gốc tọa độ.

Hướng dẫn giải

+ d đi qua gốc tọa độ nghĩa là 0=a.0+b $\Rightarrow$ b=0.

+ d đi qua A(-1;-2) nghĩa là: -2=a.(-1)+b $\Rightarrow$ a=b+2=0+2=2.

Vậy với a=2 và b=0 thì hàm số đi qua A(-1;-2) và gốc tọa độ.

C. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hàm số y=-5x+5. Tìm hoành độ điểm A thuộc vào đồ thị hàm số, khi biết tung độ của điểm A bằng 0.

Hường dẫn giải

Thay y=0 vào hàm số, ta được:

$0 = - 5 x + 5 \Leftrightarrow 5 x = 5 \Leftrightarrow x = 1$ .

Vậy hoành độ điểm A là x=1.

Bài 2. Trong các điểm sau điểm nào thuộc đồ thị hàm số y=x+5
A. (1;1)

B. (2;0)

C. (0;4)

D. (2;-5)

Hướng dẫn giải

Đáp án D

+ Thay x=1; y=1 vào hàm số y=x+5, ta được: $1 = 1 + 5 \Leftrightarrow 1 = 6$ (vô lý) suy ra (1;1) không thuộc vào đồ thị hàm số.

+ Thay x=2; y=0 vào hàm số y=x+5, ta được: $0 = 2 + 5 \Leftrightarrow 0 = 7$ (vô lý) suy ra (2;0) không thuộc vào đồ thị hàm số.

+ Thay x=0; y=4 vào hàm số y=x+5, ta được: $4 = 0 + 5 \Leftrightarrow 4 = 5$ (vô lý) suy ra (0;4) không thuộc vào đồ thị hàm số.

+ Thay x=-2; y=3 vào hàm số y=x+5, ta được: $3 = - 2 + 5 \Leftrightarrow 3 = 3$ suy ra (-2;3) thuộc vào đồ thị hàm số.

Bài 3. Cho hàm số (d): y=12x-5 và (d’): y=8x+3. Điểm nào dưới đây thuộc cả hai hàm số trên.

A. M(-2;-6)

B. N(2;19)

C. P(1;11)

D. Q(1/2;7)

Hướng dẫn giải

Đáp án B

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (d’), ta có:

$\begin{array}{l} 12 x - 5 = 8 x + 3 \\ \Leftrightarrow 12 x - 8 x = 3 + 5 \\ \Leftrightarrow 4 x = 8 \\ \Leftrightarrow x = 2 \Rightarrow y = 8.2 + 3 = 19 . \end{array}$

Vậy tọa độ giao điểm của (d) và (d’) là điểm N(2;19).

Bài 4: Cho hàm số y=(m-2)x+2 luôn đi qua một điểm cố định có tọa độ là:

Hướng dẫn giải

Xét y=(m-2)x+2 $\Leftrightarrow$ mx - 2x – y + 2 =0

Để hàm số luôn đi qua một điểm cố định khi x=0 và 2x-y+2=0

$\Leftrightarrow$ x=0 và y=2.

Vậy đường thẳng luôn đi qua điểm có tọa độ (0;2).

Bài 5: Tìm $a, b$ để đường thẳng y=ax+b đi qua hai điểm A(2;1) và B(1;2).

Hướng dẫn giải

Đường thẳng y=ax+b đi qua hai điểm A(2;1) ta có: 2a+b=1 $\Rightarrow$ b=1-2a (1)

Đường thẳng y=ax+b đi qua hai điểm B(1;2) ta có: a+b=2 (2)

Thế (1) vào (2) ta được: a+1-2a=2 $\Leftrightarrow$ a=-1 $\Rightarrow$ b=3.

Vậy với a= -1 và b=3 thỏa mãn điều kiện bài toán.

Bài 6: Cho đường thẳng (d): y=2x-1. Đường thẳng (d) cắt trục Ox và Oy lần lượt tại A và B Chu vi tam giác OAB bằng:

Hướng dẫn giải

+ $d \cap Ox = \{A\}$

Vì Ox: y=0 $\Rightarrow 0 = 2 x - 1 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}$

Vậy tọa độ điểm A(1/2;0). Suy ra OA=|1/2|=1/2.

+ $d \cap Oy = \{B\}$

Vì Oy: x=0 $\Rightarrow y = 2.0 - 1 \Leftrightarrow y = - 1$

Vậy tọa độ điểm B(0;-1). Suy ra OB=|-1|=1.

+ Do tam giác OAB vuông tại O, ta có:

${AB}^{2} = {OA}^{2} + {OB}^{2}$ $= {(\frac{1}{2})}^{2} + 1^{2} = \frac{5}{4}$ $\Leftrightarrow AB = \frac{\sqrt{5}}{2}$ .

Chu vi tam giác OAB là:

$OA + OB + OC$ $= \frac{1}{2} + 1 + \frac{\sqrt{5}}{2}$ $= \frac{\sqrt{5} + 3}{2}$ .

Vậy chu vi tam giác OAB bằng $\frac{\sqrt{5} + 3}{2}$ .

Bài 7: Đồ thị hàm số nào dưới đây đi qua gốc tọa độ.

A. y=x+1

B. y=2x +1

C. y=7x

D. y=-x-1

Hướng dẫn giải

Đáp án C

Thay x=0 và y=0 vào đồ thị các hàm số trên ta thấy rằng chỉ có hàm số y=7x thỏa mãn 0 = 7.0. Do đó y=7x đi qua gốc tọa độ.

Bài 8: Tọa độ điểm nào dưới đây nằm trên đường thẳng y=x+1 và thỏa mãn đẳng thức:

$\sqrt{x + y} = 0$ .

A. $M (1; \frac{1}{2})$

B. $M (\frac{1}{2}; \frac{1}{2})$

C. $P (- \frac{1}{2}; \frac{1}{2})$

D. $Q (- \frac{1}{2}; - \frac{1}{2})$

Hướng dẫn giải

Đáp án C

Thay y=x+1 vào biểu thức $\sqrt{x + y} = 0$ , ta được:

$\begin{array}{l} \sqrt{x + x + 1} = 0 (x \geq - \frac{1}{2}) \\ \Leftrightarrow \sqrt{2 x + 1} = 0 \\ \Leftrightarrow 2 x + 1 = 0 \\ \Leftrightarrow 2 x = - 1 \\ \Leftrightarrow x = \frac{- 1}{2} (TM) \\ \Rightarrow y = \frac{- 1}{2} + 1 = \frac{1}{2} . \end{array}$

Vậy điểm $P (- \frac{1}{2}; \frac{1}{2})$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài 9: Cho đường thẳng (d): y=x+m-1. Tìm m để (d) cắt trục Ox và Oy lần lượt tại A và B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 18.

Hướng dẫn giải

+ $d \cap Ox = \{A\}$

Vì Ox: y=0 $\Rightarrow 0 = x + m - 1 \Leftrightarrow x = 1 - m$

Vậy tọa độ điểm A(1-m;0). Suy ra OA=|1-m|.

+ $d \cap Oy = \{B\}$

Vì Oy: x=0 $\Rightarrow y = 0 + m - 1 \Leftrightarrow y = m - 1$

Vậy tọa độ điểm B(0;m-1). Suy ra OB=|m-1|.

+ Do tam giác OAB vuông tại O nên diện tích tam giác OAB là:

$\begin{array}{l} S_{Δ OAB} = \frac{1}{2} OA . OB \\ = \frac{1}{2} |1 - m| |m - 1| = 18 \\ \Leftrightarrow \frac{1}{2} {|m - 1|}^{2} = 18 \\ \Leftrightarrow {(m - 1)}^{2} = 36 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m - 1 = 6 \\ m - 1 = - 6 \end{array} \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 7 \\ m = - 5 \end{array} \end{array}$

Vậy với $m \in \{- 5; 7\}$ thì $S_{Δ OAB} = 18$ .

Câu 10: Cho ba đường thẳng $(d_{1}) : y = (m^{2} - 1) x + m^{2} - 5;$ $(d_{2}) : y = x + 1; (d_{3}) : y = - x + 3$ . Xác định m để ba đường thẳng đồng quy.

Hướng dẫn giải

Xét phương trình hoành độ giao điểm của $(d_{2}), (d_{3})$ , ta có:

$x + 1 = - x + 3$ $\Leftrightarrow x + x = 3 - 1$ $\Leftrightarrow 2 x = 2$ $\Leftrightarrow x = 1$ $\Rightarrow y = 1 + 1 = 2$ .

Suy ra giao điểm của $(d_{2}), (d_{3})$ là điểm A(1;2).

Để ba đường thẳng $(d_{1}), (d_{2}), (d_{3})$ đồng quy thì điểm $A \in d_{1}$ , nghĩa là:

$2 = (m^{2} - 1) . 1 + m^{2} - 5$ $\Leftrightarrow 2 = m^{2} - 1 + m^{2} - 5$ $\Leftrightarrow 2 m^{2} = 8$ $\Leftrightarrow m^{2} = 4$ $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 2 \\ m = - 2 \end{array}$ .

Vậy với m=2 hoặc m=-2 thì ba đường thẳng đã cho đồng quy.

Các dạng bài tập Toán 9

Cách xác định điểm thuộc đồ thị hàm số cực hay, chi tiết

Xem thêm các chương trình khác: